2021年湖南省永州市易江中学高三数学理期末试题含解析

2021年湖南省永州市易江中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=(

)A．（0，2]． B．（0，1]． C．（﹣1，0] D．（0，4]参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求解一元二次不等式化简A，求函数的值域化简B，取交集得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，得﹣1≤x≤2，∴A={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1，2]，又B={y|y=2x}=（0，+∞），∴A∩B=（0，2]．故选：A．【点评】本题考查交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，考查了函数值域的求法，是基础题．2.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是（

）A．圆面

B．矩形面

C．梯形面

D．椭圆面或部分椭圆面参考答案：C3.已知命题P：若平面向量，，满足（?）?=（?）?，则向量与一定共线．命题Q：若?＞0，则向量与的夹角是锐角．则下列选项中是真命题的是（）A．P∧Q B．（￢P）∧Q C．（￢P）∧（￢Q） D．P∧（￢Q）参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断出命题P和命题Q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：命题P：若平面向量，，满足（?）?=（?）?，则向量与共线或为零向量．故为假命题，命题Q：若?＞0，则向量与的夹角是锐角或零解，故为假命题．故命题P∧Q，（￢P）∧Q，P∧（￢Q）均为假命题，命题（￢P）∧（￢Q）为真命题，故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，向量的运算，向量的夹角等知识点，难度中档．4.已知S—ABC是正四面体，M为AB的中点，则SM与BC所成的角的余弦值为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略5.已知都是正实数，函数的图象过(0,1)点，则的最小值是A．

B．

C．4

D．2参考答案：A略6.已知集合，则（RA）∩B=

（

） A． B． C． D．参考答案：C7.将函数的图像（

），可得函数的图像.A．向左平移个单位

B．向左平移个单位

C．向右平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：B略8.已知二次曲线+=1，则当m∈[﹣2，﹣1]时，该曲线的离心率e的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先判断当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线，将方程化为标准方程，求得a，b，c，再由离心率公式，即可得到范围．【解答】解：由当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线，双曲线+=1即为﹣=1，且a2=4，b2=﹣m，则c2=4﹣m，即有，故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围，属于基础题．9.设，求的值为A

B

C

D参考答案：B10.平面直角坐标系上有两个定点和动点，如果直线和的斜率之积为定值，则点的轨迹不可能是(下列轨迹的一部分)A．圆

B．椭圆 C．双曲线

D．抛物线参考答案：D以AB的中点为原点，AB的所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设

则，整理可得，所以点的轨迹不可能是抛物线。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知随机变量的分布列如右表，则

；

.12

参考答案：，12.已知，定义．经计算…，照此规律，则

．参考答案：试题分析：观察各个式子，发现分母都是，分子依次是，前边是括号里是，故．考点：归纳推理的应用．13.一盒子中有编号为1至7的7个红球和编号为1至6的6个白球，现从中摸出5个球，并从左到右排成一列，使得这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则不同的排法有______种.（用数字作答）参考答案：288【分析】由题意先确定取球的4种方法，再按要求排列即可．【详解】要满足这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则从中摸出5个球可能是2个红色奇数号球和3个白色偶数号球；也可能是2个白色奇数号球和3个红色偶数号球；或2个红色偶数号球和3个白色奇数号球；也可能是2个白色偶数号球和3个红色奇数号球；当2个红色奇数号球和3个白色偶数号球按要求排列时，有种方法；当2个白色奇数号球和3个红色偶数号球按要求排列时，有种方法；当2个红色偶数号球和3个白色奇数号球按要求排列时，有种方法；当2个白色偶数号球和3个红色奇数号球按要求排列时，有种方法；综上共有72+36+36+144=288种排法.【点睛】本题考查排列组合的实际应用问题，考查了分析问题的逻辑思维能力，注意合理地进行分类．14.一个容量为的样本数据，分组后组距与频数如下表：组距频数

2

3

4

5

4

2则样本在区间

上的频率为__________________。参考答案：

解析：15.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．若AE=8，AB=10，则CE的长为

．参考答案：1考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连接OD，BC，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；解答： 解：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE．又AE⊥DE，∴DE⊥OD．而OD为半径，∴DE是⊙O的切线；连接BC，交OD于G，AB是圆的直径，所以AC⊥BC，所以四边形CEDG是矩形，∵OD∥AE，O是AB中点，∴G是BC中点，∴CG=DE=BC=3，∴BG=3，OG=4，∴DG=1，所以CE=1；故答案为：1．点评：本题考查了圆周角定理以及切线的判断、矩形的判断等知识点；比较综合，但难度不大．16.数列的前项和，则使得的最大整数的值是.参考答案：417.如图，等腰△PAB所在平面为α，PA⊥PB，AB=6.G是△PAB的重心.平面α内经过点G的直线l将△PAB分成两部分，把点P所在的部分沿直线l翻折，使点P到达点P′（P′平面α）.若P′在平面α内的射影H恰好在翻折前的线段AB上，则线段P′H的长度的取值范围是

．

参考答案：因为等腰所在平面为，，.G是的重心，所以可得，连接，在中，，，当H与A重合时HG最大为2，此时最小，与A重合）作于H，此时GH最小为1,最大为，的长度的取值范围是，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE?DC=AB?BE．参考答案：【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．【解答】解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…所以，…所以AE?DC=AB?BE…【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，注意圆的切线的性质的灵活运用，属于中档题．19.（本小题满分12分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．参考答案：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段的学生人数为（人），参加社区服务在时间段的学生人数为（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为（人）．（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段的学生有4人，记为；参加社区服务在时间段的学生有2人，记为．

从这6人中任意选取2人有共15种情况．

事件包括共7种情况．

所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．20.（本小题满分l2分）已知△ABC的三内角分别为A，B，C，B＝记函数f（A）＝（1）若f（A）＝0，b＝2，求△ABC的面积；（2）若关于A的方程f（A）＝k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围。参考答案：21.如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B（1，0），直线l是圆Γ在点B处的切线，过A（﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．（1）求证：|EA|+|EB|为定值；（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴的交点为N，则EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|====4；（2）确定E，F均在椭圆=1上，设直线EF的方程为x=my+1（m≠0），联立，E，B，F，Q在同一条直线上，|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等价于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，利用韦达定理，即可证明结论．【解答】证明：（1）设AE切圆于M，直线x=4与x轴的交点为N，则EM=EB，∴|EA|+|EB|=|AM|====4为定值；（2）同理|FA|+|FB|=4，∴E，F均在椭圆=1上，设直线EF的方程为x=my+1（m≠0），令x=4，yQ=，直线与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=﹣∵E，B，F，Q在同一条直线上，∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等价于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2