沪科版九年级上册数学课件(第23章-解直角三角形)

第二十三章解直角三角形23.1锐角的三角函数第1课时锐角的三角函数——正切第二十三章解直角三角形23.1锐角的三角函数第1课时1课堂讲解正切函数的定义、正切函数的应用、坡度和坡角2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解正切函数的定义、2课时流程逐点课堂小结作业提升汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一.汽车的爬坡能力是指汽车在通常情况下满载时所能爬越的最大坡度.怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？

汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一1知识点正切函数的定义知1－导在下图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面，坡面AB和A1B1哪个更陡？你是怎样判断的？1知识点正切函数的定义知1－导在下图中，有两个直角三角形，直知1－导类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？你又是怎样判断的？知1－导类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？你又是知1－导如图，在锐角A的一边任取一点B,过点B作另一边的垂线BC，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形都相似.在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比

……究竟有怎样的关系？

知1－导如图，在锐角A的一边任取一点B,1.正切的定义：如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝要点精析：(1)tanA表示锐角A的正切，一般省略“∠”，但当用三个字母表示角时，不能省略“∠”．如tan∠ABC.(2)∠A的范围与tanA的范围：①0°＜∠A＜90°；②tanA＞0.(3)tanA随着∠A的增大而增大，∠A越接近90°，tanA的值就增加得越快，tanA可以等于任何一个正数．

(4)正切值的大小由锐角的度数决定，与其在哪个直角三角形中无关．知1－讲

1.正切的定义：如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么知1－讲2.拓展：根据正切的定义可得互余的两角的正切值的关系为：若∠A＋∠B＝90°，则tanA·tanB＝1.

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则tanA＝，tanB＝，∴tanA·tanB＝＝1.3.易错警示：正切是一个比值，不是一个角度，所以它没有单位．

知1－讲2.拓展：根据正切的定义可得互余的两角的正切值的关【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,

知1－讲

，则tanA＝________．导引：由正切定义可知tanA＝，在本题已知两边之比的情况下，可运用参数法，由，可设BC＝

15a，AB＝17a，从而可用勾股定理表示出第三边AC＝，再用正切的定义求解得tanA＝【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,知1－讲总结知1－讲

直角三角形中求锐角正切值的方法：(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解．总结知1－讲直角三角形中求锐角正切值的方法：1

(包头)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边

BC的3倍，则tanB的值是(

)知1－练

在△ABC中，AC＝5，BC＝4，AB＝3，那么下列各式正确的是(

)A．tanA＝B．tanA＝C．tanB＝D．tanB＝21(包头)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直

知1－练

3如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶3，则tanB的值为(

)知1－练3如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC2知识点正切函数的应用知2－讲【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，

tanA＝，求AB的长．导引：先根据∠A的正切值求出AC的长，再利用勾股定理求AB的长．解：∵在Rt△ABC中，tanA＝，BC＝9，∴AC＝12.

根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即122＋92＝AB2，∴AB＝15.

2知识点正切函数的应用知2－讲【例2】如图，在Rt△ABC总结知2－讲

由定义法，即根据正切的定义，列出锐角的正切与对边、邻边的关系式，将已知数据代入，可求得未知数据．已知正切与对边可得到邻边；已知正切与邻边也可求得对边．总结知2－讲由定义法，即根据正切的定义，列出锐角的正(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝0.6，求AC和AB；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，c＝2，tanB＝，求a，b的值及△ABC的面积和周长.知2－练

(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝2(山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，

B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(

)

知2－练

2(山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，知2－练

3如图，P是边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则tanα的值为(

)知2－练3如图，P是边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)知3－讲3知识点坡度和坡角

1．定义：如图，坡面的铅直高度h与水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝2．坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有i＝tanα＝

知3－讲3知识点坡度和坡角1．定义：如图，坡面的铅直高度h知3－讲3.拓展：(1)坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大，坡度越大，坡面越陡．

(2)坡度一般写成1∶m的形式，比的前项是1，后项可以是小数或带根号的数．4.易错警示：坡角和坡度是两个不同的概念：坡角是斜坡与水平面的夹角，是个角度；坡度是坡角的正切值，是个比值，没有单位．

知3－讲3.拓展：(1)坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大

【例3】如图是一座水库大坝横截面的一部分，若已知坝高h＝6m，迎水坡AB＝10m，斜坡的坡角为α，则tanα＝________．

知3－讲导引：如图，构造一个直角三角形，先借助勾股定理求出迎水坡的水平距离，再求坡度．过点A作AC垂直于水平面，交水平线于点C，在Rt△ABC中，AC＝6m，AB＝10m，由勾股定理，得BC＝，所以tanα＝【例3】如图是一座水库大坝横截面的一部分，若已知坝高h总结知3－讲

求解与坡度有关问题的方法：首先应作辅助线构造直角三角形(一般是过斜面的上顶点作水平线的垂线)，如果铅直高度和水平宽度有一边未知，通常用勾股定理先求出未知边，再利用坡度公式i＝tanα＝来求解．总结知3－讲求解与坡度有关问题的方法：1计算图（一）、图（二）中坡面AB和A1B1的坡度.知3－练

图（一）图（二）1计算图（一）、图（二）中坡面AB和A1B1的坡度.知32(中考·怀化)如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4m，此时，他离地面的高度为h＝2m，则这个土坡的坡角∠A＝________．知3－练

2(中考·怀化)如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所知知3－练

3如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC.若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是(

)A．7米B．9米C．12米D．15米知3－练3如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC第二十三章解直角三角形23.1锐角的三角函数第2课时锐角的三角函数——

正弦与余弦第二十三章解直角三角形23.1锐角的三角函数第2课1课堂讲解正弦函数、余弦函数、锐角三角函数的取值范围2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解正弦函数、余弦函数、2课时流程逐点课堂小结作业提升1知识点正弦函数如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即

sinA=知1－讲

1知识点正弦函数如图，在Rt△ABC中，我们把【例1】如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=12,BC=5.求∠A的正弦函数值.知1－讲解：在Rt△ABC中,AC=12,BC=5，∠C=90°，

【例1】如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=12,BC=52(贵阳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，

BC＝5，则sinA的值为(

)知1－练

1把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(

)A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定2(贵阳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，3如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则∠α的正弦值为(

)知1－练

3如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，知1－练

4(威海)在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是(

)知1－练4(威海)在如图所示的网格中，小正方形的边长2知识点余弦函数知2－讲如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即

cosA=2知识点余弦函数知2－讲如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A知2－讲【例2】求例1中∠A的余弦函数值、正切函数值.

解：知2－讲【例2】求例1中∠A的余弦函数值、正切函数值.解如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AB=10，AC=6，求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB.

知2－练

12如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=8，CD⊥AB,求sin∠ACD、cos∠BCD.如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AB=10，

3(温州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

AB＝5，BC＝3，那么cosA的值等于(

)知2－练

3(温州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，知知2－练

4(丽水)如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(

)知2－练4(丽水)如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC知3－讲3知识点锐角三角函数的取值范围1.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数．要点精析：在锐角三角函数的概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°＜∠A＜90°.三个比值是因变量，当∠A确定时，三个比值(正弦、余弦、正切)分别唯一确定，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为因变量的函数．2.锐角三角函数的取值范围：

0<sinθ<1，0<cosθ<1，tanθ>0（θ是锐角）.知3－讲3知识点锐角三角函数的取值范围1.锐角A的正弦、余弦1若α是锐角，sinα＝3m－2，则m的取值范围是(

)A.＜m＜1B．2＜m＜3C．0＜m＜1D．m＞2如果0°＜∠A＜90°，并且cosA是方程(x+)(x－

0.35)＝0的一个根，那么cosA的值是______．知3－练

1若α是锐角，sinα＝3m－2，则m的取值范围是(求锐角三角函数值的三种方法：(1)在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出．(2)利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角(若该角的三角函数值知道或者易求)．(3)利用互余的两个角间的特殊关系求．求锐角三角函数值的三种方法：第二十三章解直角三角形第3课时30°，45°，60°角的三角函数值23.1锐角的三角函数第二十三章解直角三角形第3课时30°，45°，601课堂讲解30°，45°，60°角的三角函数值、由特殊三角函数值求角、同角(余角)三角函数间的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解30°，45°，60°角的三角函数值、2课时流程逐

如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°.设BC=1，则AB=2，AC=（为什么？）.于是有

sin30°=，cos30°=，tan30°=;sin60°=，cos60°=，tan60°=.如图(2)，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°.设BC=1，则AC=1,AB=（为什么？）.于是有sin45°=，cos45°=，tan45°=.如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，1知识点30°，45°，60°角的三角函数值特殊角的三角函数值：知1－讲30°45°60°sin

αcos

αtan

α1三角函数α1知识点30°，45°，60°角的三角函数值特殊角的三角函数知1－讲说明：由上表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角．要点精析：(1)特殊角的三角函数值必须熟练记住，既能由角得值，又能由值得角．记忆这个结果，可以结合三角形三边的大小关系，也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分子分别为而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分别为；其正切值分别为或记作(2)对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，如15°，22.5°，75°，36°等．(3)等边三角形、等腰直角三角形及与30°，45°角相联系的其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答．

知1－讲说明：由上表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊知1－讲

【例1】求下列各式的值：（1）2sin60°+3tan30°+tan45°；（2）cos245°+tan60°cos30°.解：（1）2sin60°+3tan30°+tan45°（2）cos245°+tan60°cos30°知1－讲【例1】求下列各式的值：解：（1）2sin60°知1－练

1填空：三角函数值30°45°60°sin

αcos

αtan

αα三角函数知1－练1填空：三角函数值30°45°60°si

2(天津)cos60°的值等于(

)知1－练

3(滨州)下列运算：sin30°＝π0＝π，2－2＝－4，其中运算结果正确的个数为(

)A．4B．3C．2D．14(包头)计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结果是(

)2(天津)cos60°的值等于()知1－练3(滨州2知识点由特殊三角函数值求角知2－讲

【例2】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若则∠C的度数是(

)A．30°

B．45°

C．60°

D．90°导引：先根据绝对值及平方的非负性，得sinA＝，cosB

＝；再根据特殊角的三角函数值，求得∠A＝30°，∠B＝60°；最后利用三角形内角和定理，求得∠C＝

180°－30°－60°＝90°.D

2知识点由特殊三角函数值求角知2－讲【例2】在△ABC中

(酒泉)已知α、β均为锐角，且满足知2－练

1则α＋β＝________．2(庆阳)在△ABC中，若角A，B满足则∠C的大小是(

)A．45°B．60°C．75°D．105°(酒泉)已知α、β均为锐角，且满足知2－练1则α＋β知2－练

3在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是(

)A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定知2－练3在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝知3－讲3知识点同角（余角）三角函数间的关系

1.同角的正弦、余弦、正切的关系：同角的正弦与余弦值的比等于该角的正切值，即在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，

c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则sinA＝cosA＝．∴tanA＝

2．任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值.

即sinα＝cos(90°－α)或cosα＝sin(90°－α)；

3．任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，即tanα·tan(90°－α)＝1.

知3－讲3知识点同角（余角）三角函数间的关系1.【例3】计算：sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°.

知3－讲导引：通过观察可知，运用互余两角的正弦值、余弦值之间的关系：sinα＝cos(90°－α)将原式变形，再根据

sin2α＋cos2α＝1求解．解：原式＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋cos244°

＋…＋cos22°＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋

(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋

sin245°＝44＋

【例3】计算：sin21°＋sin22°＋…＋sin总结知3－讲

灵活运用sin2α＋cos2α＝1与sinα＝cos(90°－α)(0°＜α＜90°)是解答本题的关键．总结知3－讲灵活运用sin2α＋cos2α＝1在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝，则sinB的值是(

)

2在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则cosA的值为(

)知3－练

1在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝3已知α、β都是锐角，如果sinα＝cosβ，那么α与β之间满足的关系是(

)A．α＝βB．α＋β＝90°C．α－β＝90°D．β－α＝90°知3－练

3已知α、β都是锐角，如果sinα＝cosβ，那么巧记特殊锐角三角函数值的方法:(1)三角板记忆法：借助如图所示的三角板记忆．(2)特点记忆法：30°，45°，60°角的正弦值记为余弦值相反，正切值记为(3)口诀记忆法：1，2，3；3，2，1；3，9，27；弦比2，切比3，分子根号别忘添．巧记特殊锐角三角函数值的方法:第二十三章解直角三角形23.1锐角的三角函数第4课时一般锐角的三角函数值第二十三章解直角三角形23.1锐角的三角函数第4课1课堂讲解用计算器求已知锐角的三角函数值、已知锐角的三角函数值用计算器求锐角2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解用计算器求已知锐角的三角函数值、2课时流程逐点课堂1知识点用计算器求已知锐角的三角函数值问题上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值,但如果是任意的一个锐角,如何求它的三角函数值呢?比如让你求sin36°的值.知1－导1知识点用计算器求已知锐角的三角函数值问题上节课我们学习了知识点知1－讲利用计算器求锐角三角函数值：①当锐角的大小以度为单位时，可先按然后从高位到低位输入表示度数的数(可以是整数，也可以是小数)，最后按，就可以在显示屏上显示出结果；②当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助键计算，按键顺序是：(或)、度数、、分数、、秒数、

知识点知1－讲【例1】求sin40°的值（精确到0.0001）.知1－讲

解：按键顺序显示∴sin40°=0.6428.0.6427876094sin0=【例1】求sin40°的值（精确到0.0001）.【例2】求值：（精确到0.0001）知1－讲解：（1）cos34°35′；（2）tan66°15′17″.（1）按键顺序显示1.0.8233015122.0.823301512coscos34D.M，S35D.M，S=（34+35÷60）=∴cos34°35′=0.8233.【例2】求值：（精确到0.0001）知1－讲解：（1）co

知1－讲（2）按键顺序显示1.2.2731810872.2.273181087tantan66D.M，S15D.M，S=（66+15÷60）=∴tan66°15′17″=2.2732.+17÷6300D.M，S17知1－讲（2）按键顺序显示1.2.27318108721用计算器计算，并填写下表中的各个三角函数值.知1－练

αsinαcosαtanα0°90°2用计算器求三角函数值：（精确到0.0001）（1）sin10°；（2）cos50°18′；（3）tan13°12′；（4）sin14°36′.1用计算器计算，并填写下表中的各个三角函数值.知1－练

3用科学计算器求sin9°的值，以下按键顺序正确的是(

)A.B.C.D.

知1－练3用科学计算器求sin9°的值，以下按键顺序正确知1－练

4(威海)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是(

)A.5÷tan26°＝B.5÷sin26°＝C.5×cos26°＝D.5×tan26°＝知1－练4(威海)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠知1－练

5下列各式不成立的是(

)A．sin50°＜sin89°B．cos1°＜cos88°C．tan22°＜tan45°D．cos23°＞sin23°知1－练5下列各式不成立的是()2知识点已知锐角的三角函数值用计算器求锐角知2－讲已知锐角三角函数值求锐角的度数：如果是特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数．求角的度数要先按键，将、、转化成它们的第二功能键；当三角函数值为分数时，应先化成小数．2知识点已知锐角的三角函数值用计算器求锐角知2－讲已知锐角三知2－讲【例3】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：

(1)sinA＝0.5168(结果精确到0.01°)；

(2)cosA＝0.6753(结果精确到1″)；

(3)tanA＝0.189(结果精确到1°)．导引：已知锐角三角函数值，利用计算器求锐角的度数时要注意先按键．知2－讲【例3】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的知2－讲

解：(1)依次按键：，显示结果为：31.11784556，即∠A≈31.12°.(2)依次按键：，显示结果为：47°31′21.18″，即∠A≈47°31′21″.(3)依次按键：，显示结果为：10.70265749，即∠A≈11°.知2－讲解：(1)依次按键：总结知2－讲

计算器直接计算出的角的单位是度，而不是度、分、秒，因此若要得到用度、分、秒表示的角度，可以借助和键．总结知2－讲计算器直接计算出的角的单位是度，而不是度已知三角函数值，用计算器求锐角A和B：（精确到

1′）（1）sinA=0.7083,sinB=0.5688；（2）cosA=0.8290,cosB=0.9931；（3）tanA=0.9131,tanB=31.80.知2－练

已知三角函数值，用计算器求锐角A和B：（精确到知2－练已知β为锐角，且tanβ＝3.387，则β约等于(

)A．73°33′B．73°27′C．16°27′D．16°21′

在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算器求∠A约等于(

)A．24°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′知2－练

3已知β为锐角，且tanβ＝3.387，则β约等于()知知2－练

4如果∠A为锐角，cosA＝，那么(

)A．0°<∠A<30°B．30°<∠A<45°C．45°<∠A<60°D．60°<∠A<90°知2－练4如果∠A为锐角，cosA＝，那么1.利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为：先按键或键或键，再按角度值，最后按键就求出相应的三角函数值．2．已知锐角的三角函数值也可求相应的锐角，按键顺序为：先按键，再按键或键或键，然后输入三角函数值，最后按键就求出相应角度．1.利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为：先第二十三章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形及方位角的应用第二十三章解直角三角形23.2解直角三角形及其应1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升已知两边解直角三角形、已知一边及一锐角解直角三角形、已知一边及一锐角的三角函数值解直角三角形、方位角1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结作业提升已知两边解直角三角形1知识点已知两边解直角三角形知1－讲【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝，解这个直角三角形．导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理求出斜边长，然后根据正切的定义求出∠A的度数，再利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．1知识点已知两边解直角三角形知1－讲【例1】在Rt△ABC知1－讲

如图所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝6，b＝解：∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.知1－讲如图所示，在Rt△ABC中，解：∴∠A＝60°，∴总结知1－讲

本题运用数形结合思想和定义法解题．已知两条直角边，解直角三角形的一般步骤是：(1)根据c＝求出斜边的长；(2)根据tanA＝求出∠A的度数；(3)利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数.总结知1－讲本题运用数形结合思想和定义法解题．已知两知1－讲【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝，解这个直角三角形．导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理求出另一条直角边，然后根据正弦(或余弦)的定义求出∠A的度数，再利用∠B＝90°－∠A求出∠B

的度数．知1－讲【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c知1－讲

如图所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝5，c＝解：∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°.知1－讲如图所示，在Rt△ABC中，解：∴∠A＝45°，∴总结知1－讲

本题运用数形结合思想和定义法解题，已知一直角边和斜边解直角三角形的一般步骤是：(1)根据a＝或b＝求出另一直角边；(2)根据sinA＝（或cosA＝）求出∠A的度数；(3)利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．总结知1－讲本题运用数形结合思想和定义法解题，已知一2(兰州)如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝(

)知1－练

1根据下面条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b＝3.

2(兰州)如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2A知1－练

3如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tanB＝(

)知1－练3如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠2知识点已知一边及一锐角解直角三角形知2－讲【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，∠A

＝60°，解这个直角三角形．导引：先根据∠B＝90°－∠A求出∠B的度数，然后根据sinA＝，求出BC的长，再运用勾股定理求出AC的长．2知识点已知一边及一锐角解直角三角形知2－讲【例3】如图，知2－讲

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30°.解：知2－讲在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°，解总结知2－讲

本题运用数形结合思想和定义法解题．已知斜边和一锐角解直角三角形的一般步骤是：(1)根据∠A＋∠B＝90°求出另一锐角；(2)根据sinA＝求出a的值；(3)根据cosA＝求出b的值或根据勾股定理求出b的值．总结知2－讲本题运用数形结合思想和定义法解题．已知斜知2－讲【例4】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，∠B＝42°6′.解这个直角三角形(精确到0.01)．导引：先根据∠A＋∠B＝90°求出∠A的度数，再根据cosB

＝求出AB的长，最后根据tanB＝求出AC

的长．知2－讲【例4】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，知2－讲

在Rt△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝90°－42°6′＝47°54′.∵cosB＝，∴cos42°6′＝，∴AB＝≈20.22.解：∵tanB＝，∴AC＝BC·tanB＝15·tan42°6′≈13.55.知2－讲在Rt△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，解：∵ta总结知2－讲

本题运用数形结合思想和定义法求解．已知一直角边和一锐角解直角三角形的一般步骤是：(1)根据∠A＋∠B＝90°，求出另一锐角；(2)当已知一锐角和其邻边时，运用余弦的定义求出斜边，运用正切的定义求出其对边；当已知一锐角和其对边时，运用正弦的定义求出斜边，运用勾股定理求出其邻边．总结知2－讲本题运用数形结合思想和定义法求解．已知一知2－练

1根据下面条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝30，∠B＝80°；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝40°.2(杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于(

)A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°

知2－练1根据下面条件，解直角三角形：2(杭州)在直角三角知2－练

3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(

)A．3.5B．4.2C．5.8D．7知2－练3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B知3－讲3知识点已知一边及一锐角的函数值解直角三角形【例5】(中考·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB

＝，AD＝1.(1)求BC的长；

(2)求tan∠DAE的值．知3－讲3知识点已知一边及一锐角的函数值解直角三角形【例5】知3－讲解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1.

在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝，∴BC＝BD＋DC＝知3－讲解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，知3－讲

(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝∴DE＝CE－CD＝∴tan∠DAE＝知3－讲(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE＝2如图，在△ABC中，AC＝5，cosB＝，sinC

＝，则△ABC的面积是(

)A.B．12C．14D．21知3－练

1(滨州)如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC＝，则对角线AC的长为________．2如图，在△ABC中，AC＝5，cosB＝4知识点方位角知4－讲方向角问题：指北或指南方向线(或者指东或指西方向线)与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°.特别地，像目标方向线OD表示南偏西45°通常称目标方向线OD为西南方向．同理还有东北方向、西北方向、东南方向．4知识点方位角知4－讲方向角问题：指北或指南方向线(或者指东知4－讲【例6】如图，一船以20的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行1h到达B

处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C

四周10nmile内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？知4－讲【例6】如图，一船以20知4－讲

分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10nmile.解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=xnmile.在Rt△ACD中，AD=.在Rt△BCD中,BD=.由AB=AD-BD,得AB=即解方程，得答：这船继续向东航行是安全的.知4－讲分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB知4－练

1(南充)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB长是(

)A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里知4－练1(南充)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方2如图，一只船以每小时20千米的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°方向上，2小时后，船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°方向上，则灯塔B到船所在的航线AC的距离是(

)知4－练

A．(18＋)千米B．(19＋)千米C．(20＋)千米D．(21＋)千米2如图，一只船以每小时20千米的速度向正东航行，起知4知4－练

3(吉林)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数)；(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．

(参考数据：sin53°≈0.80，

cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，≈1.41)知4－练3(吉林)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方的边角关系直角三角形解直角三角形解直角三角形实际应用知一边一锐角解直角三角形知两边解直角三角形添设辅助线解直角三角形知斜边一锐角解直角三角形知一直角边一锐角解直角三角形知两直角边解直角三角形知一斜边一直角解直角三角形直接抽象出直角三角形抽象出图形，再添设辅助线求解的边角关系解直角三角形解直角三角形实际应用知一边一锐角解直角第二十三章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第2课时视角在解直角三角形中的应用第二十三章解直角三角形23.2解直角三角形及其应1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升仰角的应用、俯角的应用1课堂讲解2课时流程逐点课堂小结作业提升仰角的应用、上海东方明珠塔于1994年10月1日建成，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？

ABECD上海东方明珠塔于1994年10月1日建为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200米处的地面上，用高1.20米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为60°48′．根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48′.

根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB的长吗？为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离1知识点仰角的应用在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角（angleofelevation）；当视线在水平线下方时叫做俯角（angleofdepression）.知1－讲1知识点仰角的应用在进行高度测量时，由视线与水平知1－讲【例1】如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角器的架高CE=1.6m，问树高AB为多少米？（精确到0.1m）知1－讲【例1】如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他知1－讲解：在Rt△ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8m.

由tan∠ACD=，得

AD=CD·tan∠ACD=8×tan52°=8×1.2799≈10.2（m）.

由DB=CE=1.6m，得

AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8（m）.

答：树高AB为11.8m.

知1－讲知1－练

1(长沙)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(

)A.米B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米知1－练1(长沙)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度知1－练

2(聊城)湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为(

)(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)A．34米B．38米C．45米D．50米知1－练2(聊城)湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景知1－讲【例2】解决本章引言所提问题.如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C,D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°

和30°，同时量得CD为50m.

已知测角器高为1m,问电视塔的高度为多少米？（精确到1m）知1－讲【例2】解决本章引言所提问题.如图，某校九年级学生要知1－讲解：设AB1=xm.

在Rt△AC1B1中，由∠AC1B1=45°，得

C1B1=AB1.

在Rt△AD1B1中，由∠AD1B1=30°，得

tan∠AD1B1=，即解方程，得x=25(+1)≈68.∴AB=AB1+B1B≈68+1=69(m).

答：电视塔的高度为69m.

知1－讲知1－练

1(衡阳)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为(

)A．50米

B．51米

C．(50＋1)米

D．101米知1－练1(衡阳)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处知1－练

2(德州)如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为________m．(结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)知1－练2(德州)如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与B知2－讲2知识点俯角的应用【例3】（云南，实际应用题）如图所示．某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端点D与点C，B在同一条直线上，已知AC＝32m，CD

＝16m，求荷塘宽BD为多少米？

(取≈1.73，结果保留整数)导引：将相关量转化为直角三角形ABC

中的有关元素，然后选择合适的边角关系求得BD的长即可.知2－讲2知识点俯角的应用【例3】（云南，实际应用题）如图所

知2－讲解：由题意可得∠ABC＝30°.

在Rt△ABC中，∵tan∠ABC＝.∴BC＝∴BD＝BC－CD＝32－16≈32×1.73－16≈39(m)．答：荷塘宽BD约为39m.知2－讲解：由题意可得∠ABC＝30°.知2－练

1如图，飞机的飞行高度AB=1000m,从飞机上测得到地面着陆点C的俯角为18°，求飞机到着陆点的距离AC的值（精确到1m）.知2－练1如图，飞机的飞行高度AB=1000m,从飞机上知2－练

2(哈尔滨)如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机所在的A处与指挥台B的距离为(

)A．1200mB．1200mC．1200mD．2400m知2－练2(哈尔滨)如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方知2－练

3(东营)4月26日，2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则A、B两点的距离是________米．知2－练3(东营)4月26日，2015黄河口(东营)国际马知2－练

4(潍坊)观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是________m.知2－练4(潍坊)观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其1.(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;(2)仰角和俯角都是锐角.2.解答含有仰角、俯角问题的方法：

(1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．

(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和测量点到物体的水平距离，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．

(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．1.(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是第二十三章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第3课时坡角在解直角三角形中的应用第二十三章解直角三角形23.2解直角三角形及其应1课堂讲解坡角的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升