名师课件与圆有关的计算

第二十七讲圆的有关计算第二十七讲一、正多边形和圆1.正多边形的定义：各边_____，各角也_____的多边形是正多边形.2.正多边形和圆的关系：把一个圆______，依次连结_______可作出圆的内接正n边形.相等相等n等分各分点一、正多边形和圆相等相等n等分各分点二、弧长公式在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l=

.三、扇形的面积公式在半径为r的圆中，①圆心角是n°的扇形面积S=

，②弧长为l的扇形面积S=

.二、弧长公式四、圆锥的侧面积和全面积1.圆锥的有关概念：(1)母线：圆锥_________上任意一点与圆锥_____的连线叫做圆锥的母线.(2)高：连结_____与底面_____的线段叫做圆锥的高.2.面积公式：如图：母线长为l，底面半径为r的圆锥：S侧=_____，S全=_________.底面圆周顶点顶点圆心πrlπrl+πr2四、圆锥的侧面积和全面积底面圆周顶点顶点圆心πrlπrl+π【思维诊断】(打“√”或“×”)1.将一个圆分成4份，依次连接各分点所得的四边形为正方形.()2.正五边形的中心角等于72°.

()3.正六边形外接圆的半径等于其边长.

()4.扇形的面积公式是S=.

()5.半径为3cm，圆心角为60°的弧长为cm.

()6.圆锥的底面周长等于展开图中扇形的弧长.

()√√××√×【思维诊断】(打“√”或“×”)√√××√×热点考向一正多边形和圆的有关计算

【例1】如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(

)A.6mm

B.12mm

C.6mm

D.4mm热点考向一正多边形和圆的有关计算

【思路点拨】作辅助线→一个内角的度数→利用解直角三角形的知识求b的值.【思路点拨】作辅助线→一个内角的度数→利用解直角三角形的知识【自主解答】选C.连接AC，过B作BD⊥AC于点D.∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD.∵此多边形为正六边形，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB·cos30°=6×=3(mm)，∴b=2AD=6mm.【自主解答】选C.【规律方法】正多边形的有关计算的常用公式(1)有关角的计算：①正n边形的内角和=(n-2)180°，外角和=360°.②正n边形的每个内角=，每个外角=.③正n边形的中心角=.【规律方法】正多边形的有关计算的常用公式(2)有关边的计算：①r2+=R2(r表示边心距，R表示半径，a表示边长).②l=na(l表示周长，n表示边数，a表示边长).③S正n边形=lr(l表示周长，r表示边心距).(2)有关边的计算：【针对演练】1.正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是(

)A. B.2 C.3 D.2【解析】选B.正六边形的边心距为，每条边所对的中心角为60°，设正六边形的边长为x，则cos30°=，解得x=2.【针对演练】2.已知☉O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为(

)A.3B.3 C. D.2.已知☉O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为()【解析】选C.如图，由☉O的面积为2π，可得圆的半径OC=，所以弦心距OE=，EC=，所以内接△ABC的面积=【解析】选C.如图，由☉O的面积为2π，可得圆的半径OC=【知识归纳】与正n边形有关的常用计算公式设边长为a，半径为R，中心角αn=；边长an=2Rsin；边心距rn=Rcos；外接圆半径R=；周长pn=nan；面积Sn=an·rn·n=pn·rn.【知识归纳】与正n边形有关的常用计算公式3.正八边形的一个内角是

.【解析】根据内角和公式(n-2)·180°=(8-2)·180°=1080°，1080°÷8=135°.答案：135°3.正八边形的一个内角是.【一题多解】360°÷8=45°，180°-45°=135°.答案：135°【一题多解】360°÷8=45°，180°-45°=135°热点考向二弧长公式的应用

【例2】如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是(

)A.π B.13π C.25π D.25热点考向二弧长公式的应用

【思路点拨】确定点B旋转经过的路径为圆弧，根据勾股定理和弧长公式计算即可.【思路点拨】确定点B旋转经过的路径为圆弧，根据勾股定理和弧长【自主解答】选A.连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴

∵

∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是

【自主解答】选A.连接BD，B′D，【规律方法】弧长公式的应用对于弧长公式l=，可变形为：n=或R=，在三个量l，n，R中，若已知其中两个量，就可以求出第三个量.注意：在计算过程中，l与R的单位要统一.【规律方法】弧长公式的应用【针对演练】1.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为(

)A. B.2π C.3π D.12π【解析】选C.根据弧长公式得l==3π.【针对演练】2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为(

)A. B.C. D.π2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC【解析】选B.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，所以AC=1，由勾股定理得，BC=，由旋转知，∠B′CB=60°，点B转过的路径长为.【解析】选B.在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，【变式训练】如图，AB切☉O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为

.(结果保留π)【变式训练】如图，AB切☉O于点B，OA=2，【解析】连接OB，OC，∵AB为☉O的切线，∴∠ABO=90°.在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°.∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为

答案：【解析】连接OB，OC，∵AB为☉O的切线，∴∠ABO=903.(2013·西宁中考)如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则弧AB的长l=

.3.(2013·西宁中考)如图，网格图中每个小正方形的边长为【解析】由题干图可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝

，∴l＝答案：【解析】由题干图可得∠AOB＝90°，OA＝OB＝热点考向三扇形面积公式的应用

【例3】如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧AB对应的圆心角(∠AOB)为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为

.热点考向三扇形面积公式的应用

【思路点拨】重叠部分由扇形AOB和Rt△BOC组成，求出它们各自的面积再求和.【思路点拨】重叠部分由扇形AOB和Rt△BOC组成，求出它们【自主解答】由图知三角板和量角器重叠部分由扇形AOB和Rt△BOC组成，在Rt△BOC中，因为∠AOB为120°，OC的长为2cm，所以∠COB=60°，OB=2OC=4，BC=2，所以扇形AOB的面积=，Rt△BOC的面积=×2×2=2，所以三角板和量角器重叠部分的面积为cm2.答案：cm2【自主解答】由图知三角板和量角器重叠部分由扇形AOB和【规律方法】扇形面积公式的选择1.当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S扇形=.2.当已知半径R和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇形=lR.3.扇形面积公式S扇形=lR与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底，R看成底边上的高即可.【规律方法】扇形面积公式的选择【针对演练】1.在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6cm，则扇形AOB的面积是(

)A.6πcm2

B.8πcm2

C.12πcm2

D.24πcm2【解析】选C.S==12π(cm2).【针对演练】2.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为(

)A.π B.1 C.2 D.π【解析】选C.根据扇形的面积公式，得S=lr=×2×2=2.2.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形热点考向四圆锥的侧面积、全面积

【例4】已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是(

)A.90πcm2

B.209πcm2

C.155πcm2

D.65πcm2热点考向四圆锥的侧面积、全面积

【思路点拨】利用圆锥侧面积+圆锥底面积=圆锥表面积求得；圆锥的侧面展开图是扇形，先根据勾股定理求圆锥的母线长，再利用圆锥侧面积=πrl，其中r是底面圆的半径，l是母线长；再加上底面积即可.【思路点拨】利用圆锥侧面积+圆锥底面积=圆锥表面积求得；圆锥【自主解答】选A.∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，∴AC=13.侧面积S=πrl=5×13π=65π(cm2)，底面积S=πr2=25π(cm2)，圆锥的表面积=65π+25π=90π(cm2).【自主解答】选A.∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，【规律方法】圆锥和其侧面展开图(扇形)之间的等量关系(1)h2+r2=l2.(2)的长=☉O周长=.(3)S扇形ABC==πrl.【规律方法】圆锥和其侧面展开图(扇形)之间的等量关系【备选例题】如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为

cm.【备选例题】如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周【解析】圆心角是360°×=240°，则弧长是=12π(cm)，设圆锥的底面半径是r，则2πr=12π，解得r=6.则圆锥的高是(cm).答案：3【解析】圆心角是360°×=240°，【针对演练】1.如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积是(

)A.10cm2

B.10πcm2

C.20cm2

D.20πcm2【解析】选B.圆锥的侧面积S=πrl，r是底面半径，l是母线长.∴S=π×2×5=10π(cm2).【针对演练】2.如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为(

)A.π B.π C. D.【解析】选B.扇形的弧长为

，所以圆锥的底面周长为π.2.如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，3.一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为

.【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，则扇形的弧长为80πcm，半径为90cm，由弧长公式得80π=，所以圆心角的度数n=160°.答案：160°3.一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开【知识归纳】有关圆锥计算的三个关键点1.圆锥的母线长为圆锥侧面展开图的半径.2.圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的弧长.3.圆锥的母线长l、底面半径r、高h之间具有关系：r2+h2=l2.注意：计算时圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线，注意与底面半径的区分.【知识归纳】有关圆锥计算的三个关键点【知识归纳】学习圆锥的侧面积与全面积需注意的两个问题1.弄清圆锥的底面半径、高、母线之间的关系：圆锥的轴截面是等腰三角形.2.与圆锥侧面积有关的几何体的表面积的计算：一是分析清楚几何体表面的构成，二是弄清圆锥与其侧面展开扇形各元素之间的对应关系.【知识归纳】学习圆锥的侧面积与全面积需注意的两个问题热点考向五与圆有关的阴影面积的计算

【例5】如图，CD为☉O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1.(1)求∠C的大小.(2)求阴影部分的面积.热点考向五与圆有关的阴影面积的计算

【解题探究】(1)题目已知条件中，没有已知角的度数，如何求∠C的大小？提示：可根据垂径定理及推论得出CD⊥AB，

，得出∠C=∠AOD.再根据对顶角相等，得出∠AOD=∠COE，得出∠C与∠COE的关系，在Rt△COE中，根据两锐角互余，求出∠C的大小.【解题探究】(2)阴影部分的面积等于哪些图形的和差，怎样求出？提示：S阴影=S扇形OAB-S△OAB.由(1)所求得的∠C度数可得∠AOD的度数，即可求出∠AOB的度数，再利用30°的直角三角形边角关系，求出OF，AB的长度，利用扇形面积公式S扇形=πR2和三角形面积公式，可求出S扇形OAB-S△OAB.(2)阴影部分的面积等于哪些图形的和差，怎样求出？【尝试解答】(1)∵CD为☉O的直径，CD⊥AB，∴

，∴∠C=∠AOD.∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE.∵AO⊥BC，∴∠C=30°.(2)连接OB.由(1)知∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°.在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF=，OF=，∴AB=.∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=×12×π-【尝试解答】(1)∵CD为☉O的直径，CD⊥AB，【规律方法】求圆中有关阴影部分面积的方法1.求不规则图形的面积，常转化为几个规则图形的面积的和差，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果.2.求阴影部分面积的“五种常见方法”：(1)公式法.(2)割补法.(3)拼凑法.(4)等积变形法.(5)构造方程法.【规律方法】求圆中有关阴影部分面积的方法【针对演练】1.如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为则图中弓形的面积为(

)A.

B.C. D.【解析】选C.S=【针对演练】2.如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为

.2.如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C【解析】∵OC=4，点C在上，CD⊥OA，∴DC=，∴S△OCD=∴S△OCD2=

OD2·(16-OD2)=-

OD4+4OD2=-

(OD2-8)2+16，∴当OD2=8，即OD=2

时△OCD的面积最大，∴DC=

=2

，【解析】∵OC=4，点C在上，CD⊥OA，∴∠COA=45°，∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△OCD的面积==2π-4.答案：2π-4∴∠COA=45°，【知识归纳】求阴影部分面积的四种方法1.面积的和差：把不规则图形阴影部分的面积通过平移、翻折，或将所给图形中的某一部分绕一个点旋转适当的角度，转化为规则图形面