连续型随机变量及其概率密度课件

2.3连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量二、常见连续型分布12.3连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量1设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使得对于任意实数x,有一、连续型随机变量定义:则称X为连续型随机变量,其中函数

f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度2设随机变量X的分布函数为F(x),一、连可知,连续型随机变量的分布函数F(x)是整个实轴上的连续函数

若概率密度f(x)在点x连续,则F(x)=f(x)

f(x)的性质:(1)f(x)≥0,<x<+

(2)

3可知,连续型随机变量的分布函数若概率密度f(xP(x1<X≤x2)(3)P(x1<X≤x2)=F(x2)F(x1)

x2xof(x)x1这条性质是密度函数的几何意义4P(x1<X≤x2)(3)P(x1<X≤x2)=F(x2)注:对连续型随机变量X和任意实数a,总有P(X=a)=0即,取单点值的概率为0

∵a及

>0,有又得P(X=a)=0

{X=a}{a

<X≤a}

0≤P(X=a)≤P(a

<X≤a)=F(a)F(a

)5注:对连续型随机变量X和任意实数a,即,取单点值的概率故:(1)P(A)=0A是不可能事件(2)连续型随机变量X落在区间的概率与区间是否包含端点无关即:P(a<X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X<b)=P(a≤X≤b)6故:(1)P(A)=0A是不可能事件(2)连续型随机例1设连续型随机变量X的概率密度为

f(x)=Ae－|x|,<x<+试求:(1)常数A

(2)P(0<X<1)(3)X的分布函数解:(1)

=2A=17例1设连续型随机变量X的概率密度为试求:(1)常数A(2)P(0<X<1)

(3)

x>0x≤08(2)P(0<X<1)(3)x>0x≤08X的分布函数为:综合得:9X的分布函数为:综合得:9例2

设随机变量X的概率密度为试求X的分布函数解:当x≤0时,=0当0<x≤1时,10例2设随机变量X的概率密度为试求X的分布函数解:当x当1<x<2时,当x≥2时,=111当1<x<2时,当x≥2时,=111综上所述,可得随机变量X的分布函数:12综上所述,可得随机变量X的分布函数:12试求:(1)系数A和系数B

(2)X的概率密度

(3)

例3

设连续型随机变量X的分布函数为解:(1)

F(+)=1=A=113试求:(1)系数A和系数B例3设连续型随机变量X的分布右连续:得:A=1,B=1(2)

=A+B=0f(x)=F(x)14右连续:得:A=1,B=1(2)=A+B=0f(3)

15(3)15二、常见连续型分布1.

均匀分布

X的概率密度为:称X服从区间[a,b]上的均匀分布记为X～U[a,b]

16二、常见连续型分布1.均匀分布X的概率密度为:称X服从由上式求得X的分布函数:若X～U[a,b],

[c,c+l][a,b],有:P(c≤X≤c+l)17由上式求得X的分布函数:若X～U[a,b],[c,c这说明:X落在[a,b]的子区间内的概率与子区间的长度成正比,而与子区间的位置无关可见,落在长度相等的各个子区间的可能性相等18这说明:X落在[a,b]的子区间内的概率与子例4

设随机变量X在(2,8)上服从均匀分布,求二次方程y2+2Xy+9=0有实根的概率解:方程有实根=4X236≥0

X≥3或X≤3已知P{有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}19例4设随机变量X在(2,8)上服从均匀分解:方程有实2.指数分布

X的概率密度为:称X服从参数为的指数分布

由上式求得X的分布函数:202.指数分布X的概率密度为:称X服从参数为的指数分布例5

某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布,概率密度为试求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率解:以Xi(i=1,2,3)表示第i只元件的寿命

则Xi的概率密度为21例5某仪器装有三只独立工作的同型号试求:在仪器使用的以Ai(i=1,2,3)表示事件“在最初200小时内,第i只元件损坏”则A1,A2,A3相互独立

且P(Ai)=P(0≤Xi≤200)(i=1,2,3)22以Ai(i=1,2,3)表示事件“在最初2所求概率为:

P(A1∪A2∪A3)=1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)]=1e123所求概率为:=1[1P(A1)][1P(A2)][13.正态分布

正态分布是实践中应用最为广泛,在理论上研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特别重要的地位X的概率密度为:其中

,

(

>0)为常数

243.正态分布正态分布是实践中应用最为广泛称X服从参数为,的正态分布或高斯分布,记为X～N(

,

2)

oxf(x)可求得X的分布函数为:25称X服从参数为,的正态分布或高斯分布,当

=0,

=1时,称X服从标准正态分布N(0,1)其概率密度(x)及分布函数(x)为:26当=0,=1时,称X服从标准正态分布N(2)N(

,

2)的分布函数F(x)与N(0,1)的分布函数(x)的关系:N(0,1)的性质:(1)对称性:(x)=(x)xo-x(x)=1(x)(x)27(2)N(,2)的分布函数F(x)与N(0,1)的N令,得(3)

(4)

a<b,X～N(,

2),有:28令,得(3)(4)a<b,X～N(,2)书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表表中给的是x>0时,Φ(x)的值.当-x<0时29书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态若~N(0,1)

若

X～N(0,1),30若~N(0,1)若X～N(0,1),30由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743准则31由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.32将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值

例6（1）假设某地区成年男性的身高（单位：cm）X～N(170,7.692),求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。解:(1)根据假设X～N(170,7.692)，则故事件{X>175}的概率为P{X>175}==0.257833例6（1）假设某地区成年男性的身高（单解:(1)根据假解:(2)设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?34解:(2)设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)因为X～N(170,7.692),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即

h=170+17.92188设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(X<h)0.99求满足的最小的h.35因为X～N(170,7.692),故P(X<h)=0.9例7

设X～N(3,4),试求:(1)P(2<X≤5)(2)P(2<X<7)(3)若P(X>c)=P(X≤c),求c的值

解:又

=3,

=2

36例7设X～N(3,4),试求:(1)P(2<X≤5)((1)P(2<X≤5)(2)P(2<X<7)

=0.5328=F(5)F(2)=F(7)F(