高中数学必修一知识点总结(全)

高中数学必修一知识点总结(全)第一章：集合与函数概念课时一：集合有关概念集合是指一些确定的、不同的东西的全体。人们能够意识到这些东西，并且能够判断一个给定的东西是否属于这个整体。一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。集合中元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。确定性指集合确定，则一个元素是否属于这个集合是确定的，要么属于，要么不属于。互异性指一个给定集合中的元素是唯一的、不可重复的。无序性指集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合。集合的表示方法有两种：列举法和描述法。列举法是将集合中的元素一一列举出来，描述法是将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。常用数集及其记法有非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集N*或N+，整数集Z，有理数集Q，实数集R。课时二：集合间的基本关系包含关系是指如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作AB（或BＡ）。注意，AB有两种可能：一是A是B的一部分，二是A与B是同一集合。反之，集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA。相等关系是指两个集合中的元素相同，则这两个集合相等。例如，设A={x|x2-1=0}，B={-1,1}，则A和B相等。1.任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A。2.如果集合A是集合B的子集，但A不等于B，那么A就是B的真子集，记作A⊂B或B⊃A。又或者，如果集合A是集合B的子集，但在集合B中存在一个元素x，它不属于集合A，那么A也是B的真子集。3.如果集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，那么集合A也是集合C的子集。4.如果集合A是集合B的子集，同时集合B也是集合A的子集，那么集合A等于集合B。空集是不含任何元素的集合，记为Φ。规定空集是任何集合的子集，同时也是任何非空集合的真子集。对于一个有n个元素的集合，它含有2^n个子集，其中包括2^n-1个真子集。集合的运算有交集和并集。A与B的交集是由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，记作A∩B。A与B的并集是由集合A的所有元素和集合B的所有元素所组成的集合，记作A∪B。集合A与集合B的补集是由集合S中所有不属于集合A的元素所组成的集合，记作S-A或A^C。函数是一个从集合A到集合B的映射，它将集合A中的每个元素x映射到集合B中唯一的元素f(x)。函数的三要素包括定义域、值域和对应法则。函数可以通过解析法、图像法和列表法来表示。其中，解析法要明确函数的定义域，图像法要确定函数图像是否连续，列表法要选取代表性的自变量。定义：函数y=f(x)，(x∈A)在平面直角坐标系中的图像C，是由所有满足函数关系y=f(x)的点P(x,y)组成的集合。反过来，所有满足y=f(x)的有序实数对x、y作为坐标的点(x,y)，都在C上。画法有两种：描点法和图象变换法，包括平移、伸缩和对称变换。函数图像变换的特点包括关于X轴对称、关于Y轴对称和关于原点对称。函数的解析式是函数的一种表示方法，包括对应法则和定义域。求函数解析式的主要方法有代入法、待定系数法、换元法和拼凑法。函数的定义域是能使函数式有意义的实数x的集合，求解时需要注意分式的分母不等于零、偶次方根的被开方数不小于零、对数式的真数必须大于零、指数、对数式的底必须大于零且不等于1、函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的、指数为零底不可以等于零、实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。相同函数的判断方法包括表达式相同和定义域一致。区间包括开区间、闭区间、半开半闭区间和无穷区间，可以用数轴表示。函数的值域可以用观察法、反表示法、配方法和代换法求解，需要先考虑其定义域。分段函数是在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，需要考虑各部分的自变量的取值情况。分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。另外，如果有y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A)，则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。常用的分段函数有三种，分别是取整函数、符号函数和含绝对值的函数。映射是指对于两个非空集合A和B，按照某一确定的对应法则f，使得A中的任意一个元素x，在B中都有唯一确定的元素y与之对应。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”。映射应满足集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个。不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。函数的单调性是函数的局部性质。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性。在单调区间上，增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。判定函数单调性的方法有定义法、图象法和复合函数的单调性。注：删除了明显有问题的段落，对部分内容进行了简化和澄清。复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关。其规律是“同增异减”。需要注意的是，函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能将单调性相同的区间并在一起写成其并集。在函数的整体性质中，有偶函数和奇函数两种。对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，如果都有f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数。如果都有f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。判断函数的奇偶性需要确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称，然后确定f(-x)与f(x)的关系，最后作出相应结论。利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性，可以得出以下结论：在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数，奇函数的加减仍为奇函数，奇数个奇函数的乘除为奇函数，偶数个奇函数的乘除为偶函数，一奇一偶的乘积是奇函数。复合函数的奇偶性为：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。需要注意的是，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。在函数最值的求解中，可以利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值，利用图像求函数的最大（小）值，或者利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。具体而言，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。最后，需要注意的是奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。3、判断含糊单调性时，可以使用作商法。这个方法与作差法类似，但是不是与另一个函数作比较，而是与1作比较。4、要求解绝对值函数的最值，首先需要将其分段，然后根据各段的单调性或图像来求解最值。5、在判断函数的奇偶性时，如果已知函数是奇函数，可以直接使用f(0)=0。但是，如果f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。在高一阶段，可以利用奇函数f(0)=0来判断函数的奇偶性。1、指数与指数幂的运算可以根据初中整数指数幂的运算性质来复习。其中包括：m^n*m^n=a和n^n(a)=a以及n^(a*b)=ab。2、根据定义，当n>1且n∈N时，xn=a就表示x是a的n次方根。如果n是奇数，那么正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数。如果n是偶数，那么正数的n次方根有两个，它们互为相反数。此时，我们可以用符号来表示正数a的正的n次方根和负的n次方根，但是负数没有偶次方根。3、对于正数的分数指数幂，可以使用a^(m/n)=a^(1/n)^m或者a^(-m/n)=1/(a^(m/n))来计算。但是，负数的分数指数幂没有意义。4、有理数指数幂的运算性质包括：ra+sa=a（1），ra*sa=a（2），以及ra(sb)=a（3），其中a>0，r和s是任意实数。5、无理数指数幂是一个确定的实数。和有理数指数幂一样，它也遵循指数幂的运算性质。课时十五：指数函数的性质及其特点（1）1、指数函数的定义为y=ax（a>0且a≠1），其中x是自变量。需要注意的是，指数函数的底数不能是负数、零和1。2、我们可以在同一坐标平面内画出不同指数函数的图像，并观察它们的特点。对于a>1的情况，函数图像向X轴和Y轴的正负方向无限延伸，且图像关于原点和Y轴不对称。对于所有的指数函数，函数图像都在X轴的上方。此外，不同函数的图像还有一些独特的特点，比如函数图像都过定点（0,1），自左向右看图像逐渐上升等。aN>0，当且仅当N>1；logaN=0，当且仅当N=1；logaN<0，无解。指数函数和对数函数是数学中非常重要的函数，它们在数学中有广泛的应用。指数函数的图像在第一象限内纵坐标都大于1，在第二象限内纵坐标都小于1，函数的定义域为实数集，是一个非奇非偶函数，函数的值域为正实数。当a=1时，指数函数是一个增函数或减函数，当a>1时，函数值开始增加较慢，到了某一值后增长速度变快，当a<1时，函数值开始减小较慢，到了某一值后减小速度变快。对数函数是指数函数的反函数，用来解决指数运算中的问题。对数函数的定义域为正实数，值域为实数集，在实数集上单调递增或递减，是一个非奇非偶函数，函数图像都过定点（0,1）。对数函数有两个重要的概念，常用对数和自然对数，它们分别以10和无理数e为底数。对数函数有许多运算性质，如乘法公式、除法公式和指数公式等，还有换底公式可以用来转换不同底数的对数。在实际应用中，对数函数可以用来化简复杂的指数式，简化计算。（二）对数函数对数函数是指函数y=loga(x)（a>0，且a≠1），其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。需要注意的是，对数函数的定义与指