湖北省荆州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编（4份打包含解析）

第第页湖北省荆州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编（4份打包含解析）湖北省荆州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类

一．算术平方根（共1小题）

1．（2023荆州）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则＝．

二．二次根式的混合运算（共1小题）

2．（2022荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）b的值是．

三．二次根式的化简求值（共1小题）

3．（2023荆州）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝．

四．解一元二次方程-配方法（共1小题）

4．（2022荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是．

五．分式方程的解（共1小题）

5．（2023荆州）若关于x的方程+＝3的解是正数，则m的取值范围为．

六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）

6．（2023荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．

七．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）

7．（2023荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是．

八．二次函数图象与几何变换（共1小题）

8．（2022荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为．

九．直角三角形斜边上的中线（共2小题）

9．（2023荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝．

10．（2022荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE＝AE＝1，则CD＝．

一十．平行四边形的性质（共1小题）

11．（2022荆州）如图，点E，F分别在ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是．（只需写一种情况）

一十一．垂径定理的应用（共1小题）

12．（2022荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．

一十二．切线的性质（共1小题）

13．（2023荆州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF＝，则BE＝．

一十三．作图—基本作图（共1小题）

14．（2023荆州）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为．

一十四．解直角三角形的应用（共1小题）

15．（2023荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）

一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

16．（2023荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为m．（≈1.73，结果精确到0.1）

一十六．用样本估计总体（共1小题）

17．（2023荆州）某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有人参与A类运动最多．

一十七．概率公式（共1小题）

18．（2023荆州）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是．

湖北省荆州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类

参考答案与试题解析

一．算术平方根（共1小题）

1．（2023荆州）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则＝2．

【答案】2．

【解答】解：|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，

∵|a﹣1|≥0，（b﹣3）2≥0，

∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，

则a＝1，b＝3，

那么＝＝2，

故答案为：2．

二．二次根式的混合运算（共1小题）

2．（2022荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）b的值是2．

【答案】2．

【解答】解：∵1＜＜2，

∴1＜3﹣＜2，

∵若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，

∴a＝1，b＝3﹣﹣1＝2﹣，

∴（2+a）b＝（2+）（2﹣）＝2，

故答案为：2．

三．二次根式的化简求值（共1小题）

3．（2023荆州）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝2．

【答案】2．

【解答】解：∵a＝（）﹣1+（﹣）0＝2+1＝3，b＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，

∴

＝

＝

＝2，

故答案为：2．

四．解一元二次方程-配方法（共1小题）

4．（2022荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是1．

【答案】1．

【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，

∴x2﹣4x＝﹣3，

∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，

∴（x﹣2）2＝1，

∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，

∴k＝1，

故答案为：1．

五．分式方程的解（共1小题）

5．（2023荆州）若关于x的方程+＝3的解是正数，则m的取值范围为m＞﹣7且m≠﹣3．

【答案】m＞﹣7且m≠﹣3．

【解答】解：原方程左右两边同时乘以（x﹣2），得：2x+m﹣（x﹣1）＝3（x﹣2），

解得：x＝，

∵原方程的解为正数且x≠2，

∴，

解得：m＞﹣7且m≠﹣3，

故答案为：m＞﹣7且m≠﹣3．

六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）

6．（2023荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为S1＝4S4．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，

∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，

∴S1＝4S4．

故答案为：S1＝4S4．

七．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）

7．（2023荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是（，2）．

【答案】（，2）．

【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，

∴2＝．

∴k＝4．

∴双曲线解析式为y＝．

如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．

∵A（2，2），

∴AD＝OD．

∴∠AOD＝45°．

∴∠AOB＝45°．

∵OA∥BC，

∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．

∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．

∴∠CBG＝∠BCG．

∵BC＝2，

∴BG＝CG＝．

∴C点的横坐标为．

又C在双曲线y＝上，

∴C（，2）．

故答案为：（，2）．

八．二次函数图象与几何变换（共1小题）

8．（2022荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．

【答案】y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．

【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，

∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，

当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，

当k≠0时，此函数是二次函数，

∵它们的图象与x轴都只有一个交点，

∴它们的顶点分别在x轴上，

∴＝0，

解得：k＝﹣1，

∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，

∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，

综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，

故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．

九．直角三角形斜边上的中线（共2小题）

9．（2023荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝3．

【答案】3．

【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，

∴AB＝2CD＝10，

∵∠ACB＝90°，AC＝8，

∴BC＝＝6，

∵E为AC的中点，

∴AE＝CE，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝BC＝3，

故答案为：3．

10．（2022荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE＝AE＝1，则CD＝．

【答案】．

【解答】解：如图，连接BE，

∵CE＝AE＝1，

∴AE＝3，AC＝4，

而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，

∴AE＝BE＝3，

在Rt△ECB中，BC＝＝2，

∴AB＝＝2，

∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，

∴CD＝AB＝．

故答案为：．

一十．平行四边形的性质（共1小题）

11．（2022荆州）如图，点E，F分别在ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是BE＝DF（答案不唯一）．（只需写一种情况）

【答案】BE＝DF（答案不唯一）．

【解答】解：添加BE＝DF．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD，

∴∠E＝∠F，

∵BE＝DF，

∴BE+AB＝CD+DF，

即AE＝CF，

在△AEG和△CFH中，

，

∴△AEG≌△CFH（ASA）．

故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．

一十一．垂径定理的应用（共1小题）

12．（2022荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为7.5cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．

【答案】7.5．

【解答】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，

设球的半径为rcm，

由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），

由垂径定理得：AM＝DM＝AD＝6（cm），

在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，

即62+（12﹣r）2＝r2，

解得：r＝7.5，

即球的半径为7.5cm，

故答案为：7.5．

一十二．切线的性质（共1小题）

13．（2023荆州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD＝4，DF＝，则BE＝．

【答案】．

【解答】解：∵OD⊥AC，AD＝4，

∴AD＝DC＝4，

∵DF∥OC，DF＝，

∴OC＝2DF＝5，

在Rt△COD中，OD＝＝＝3，

∵BE是⊙O的切线，

∴AB⊥BE，

∵OD⊥AD，

∴∠ADO＝∠ABE，

∵∠OAD＝∠EAB，

∴△AOD∽△AEB，

∴＝，即＝，

解得：BE＝，

故答案为：．

一十三．作图—基本作图（共1小题）

14．（2023荆州）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为1．

【答案】1

【解答】解：由作图知PE垂直平分OC，PO平分∠AOB，

∴OE＝OC＝，∠PEO＝90°，

∵∠AOB＝60°，

∴∠POE＝∠AOP＝＝30°，

∴EP＝OE×tan30°＝，

∵CO平分∠AOB，

∴点P到OA的距离＝PE＝1．

故答案为：1．

一十四．解直角三角形的应用（共1小题）

15．（2023荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为6.3cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）

【答案】6.3．

【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，

在Rt△ABM中，

∵∠BAE＝60°，AB＝16，

∴BM＝sin60°AB＝×16＝8（cm），

∠ABM＝90°﹣60°＝30°，

在Rt△BCD中，

∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，

∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，

又∵BC＝8，

∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），

∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），

即点C到AE的距离约为6.3cm，

故答案为：6.3．

一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

16．（2023荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为13.8m．（≈1.73，结果精确到0.1）

【答案】13.8．

【解答】解：由题意可得：tan30°＝，

解得：BD＝2（米），

tan60°＝，

解得：DC＝6（米），

故该校的旗杆高约为：BC＝BD+DC＝8≈13.8（米），

故答案为：13.8．

一十六．用样本估计总体（共1小题）

17．（2023荆州）某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有300人参与A类运动最多．

【答案】300．

【解答】解：800×＝300（人）．

故估计有300人参与A类运动最多．

故答案为：300．

一十七．概率公式（共1小题）

18．（2023荆州）有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是．

【答案】

【解答】解：由题意得，

共有2×4＝8种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种，

故一次打开锁的概率为＝，

故答案为：．

第1页（共1页）湖北省荆州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

一．分式的化简求值（共1小题）

1．（2023荆州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝（）﹣1，y＝（﹣2023）0．

二．解一元二次方程-配方法（共1小题）

2．（2023荆州）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．

三．分式方程的应用（共1小题）

3．（2023荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．

（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？

（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，

①求x的取值范围；

②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．

四．反比例函数综合题（共1小题）

4．（2022荆州）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．

x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣﹣﹣01234…

y…12410﹣4﹣2﹣﹣1…

请根据图象解答：

（1）【观察发现】

①写出函数的两条性质：；；

②若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0一定成立吗？．（填“一定”或“不一定”）

（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后（n≥0），得到直线l与函数y＝﹣（x≤﹣1）的图象交于点P，连接PA，PB．

①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；

②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．

五．二次函数综合题（共2小题）

5．（2023荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．

（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是；

（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．

①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；

②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

6．（2023荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．

（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；

（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；

（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面积为，当t＝时，求抛物线的解析式．

六．圆的综合题（共2小题）

7．（2023荆州）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．

（1）求证：①CD是⊙O的切线；

②△DEF∽△DBA；

（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．

8．（2022荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．

（1）求证：DE是半圆O的切线：

（2）当点E落在BD上时，求x的值；

（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；

（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．

七．作图—复杂作图（共1小题）

9．（2022荆州）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．

（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；

（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．

八．作图—应用与设计作图（共1小题）

10．（2023荆州）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．

请在网格图形中画图：

（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；

（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．

九．几何变换综合题（共1小题）

11．（2023荆州）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．

（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；

（2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．

①确定△PCF的形状，并说明理由；

②若AP：PB＝1：2，BF＝k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．

一十．相似形综合题（共1小题）

12．（2023荆州）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．

（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．

①求证：△CDG∽△GAH；

②求tan∠GHC．

（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．

一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

13．（2022荆州）荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m到E处，测得顶端A的仰角为45°．已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625）．

一十二．列表法与树状图法（共1小题）

14．（2022荆州）为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．

等级成绩（x）人数

A90＜x≤100m

B80＜x≤9024

C70＜x≤8014

Dx≤7010

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中m＝；扇形统计图中，B等级所占百分比是，C等级对应的扇形圆心角为度；

（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有人；

（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．

湖北省荆州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

参考答案与试题解析

一．分式的化简求值（共1小题）

1．（2023荆州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝（）﹣1，y＝（﹣2023）0．

【答案】，2．

【解答】解：原式＝[﹣]

＝（﹣）

＝

＝，

∵x＝（）﹣1＝2，y＝（﹣2023）0＝1，

∴原式＝＝2．

二．解一元二次方程-配方法（共1小题）

2．（2023荆州）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．

【答案】x1＝2+，x2＝2﹣．

【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，

∴最小整数解为﹣2，

将a＝﹣2代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，

配方，得（x﹣2）2＝5．

直接开平方，得x﹣2＝±．

解得x1＝2+，x2＝2﹣．

三．分式方程的应用（共1小题）

3．（2023荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．

（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？

（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，

①求x的取值范围；

②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．

【答案】（1）A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；

（2）①120≤x≤210，且x为整数；

②当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．

【解答】解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，

由题意得：＝×2，

解得：a＝10，

经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，

a﹣1＝9，

答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；

（2）①由题意得：，

解得：120≤x≤210，

∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；

②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，

当120≤x≤150时，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，

∵﹣1＜0，

∴w随x的增大而减小，

∴当x＝120时，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，

当150＜x≤210时，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，

∵3＞0，

∴w随x的增大而增大，

∴当x＝210时，w有最大值是：3×210+3000＝3630，

∵3630＞3480，

∴w的最大值是3630，此时600﹣x＝600﹣210＝390，

即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．

四．反比例函数综合题（共1小题）

4．（2022荆州）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．

x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣﹣﹣01234…

y…12410﹣4﹣2﹣﹣1…

请根据图象解答：

（1）【观察发现】

①写出函数的两条性质：函数有最大值为4；当x＞0时，y随x的增大而增大；

②若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0一定成立吗？不一定．（填“一定”或“不一定”）

（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后（n≥0），得到直线l与函数y＝﹣（x≤﹣1）的图象交于点P，连接PA，PB．

①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；

②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．

【答案】（1）①函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；

②不一定；

（2）①直线l的解析式为y＝﹣x，△PAB的面积为；

②△PAB的面积为．

【解答】解：（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；

故答案为：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；

②假设x1＝﹣，则y1＝1，

∵x1+x2＝0，

∴x2＝，

∴y2＝﹣8，

∴y1+y2＝0不一定成立，

故答案为：不一定；

（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，

则，

解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，

当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x+3﹣3＝﹣x，

设直线AB与y轴交于C，

则△PAB的面积＝△AOB的面积，

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝＝，

∴△PAB的面积为；

②设直线l与y轴交于D，

∵l∥AB，

∴△PAB的面积＝△ABD的面积，

由题意知，CD＝n，

∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD

＝

＝．

∴△PAB的面积为．

五．二次函数综合题（共2小题）

5．（2023荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．

（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是0或2或﹣；

（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．

①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；

②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）2或0或﹣；

（2）①6；

②当m＝时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．

【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时，

y关于x的函数解析式为y＝3x+，

此时y＝3x+与x轴的交点坐标为（﹣，0），

与y轴的交点坐标为（0，）；

②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，

∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，

∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．

当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，

由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x．

当y＝0时，﹣2x2+x＝0，

解得x1＝0，x2＝．

∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）．

当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，

由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根．

∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×a＝0，

解得a＝﹣，

此时y＝﹣x2+x﹣，

当x＝0时，y＝﹣，

∴与y轴的交点坐标为（0，﹣），

当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，

解得x1＝x2＝，

∴与x轴的交点坐标为（，0），

综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，﹣，

故答案为：2或0或﹣；

（2）①如图，设直线l与BC交于点F，

根据题意得，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，

当x＝0时，y＝8，

∴C（0，8），

∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点，

∴P（1，9），

∵B（4，0），C（0，8），

∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，

∴F（1，6），

∴PF＝9﹣6＝3，

∴△PBC的面积＝OBPF＝＝6；

②S1﹣S2存在最大值，

理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，

由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），

∴PH＝﹣m2+2m+8，

∵OD∥PH，

∴△AOD∽△AHP，

∴，

∴，

∴OD＝8﹣2m，

∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC＝＝﹣3m2+8m＝﹣3（m﹣）2+，

∵﹣3＜0，0＜m＜4，

∴当m＝时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．

6．（2023荆州）已知：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BE＝t．

（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；

（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；

（3）若tan∠AOC＝k，经过点A的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有6a+3b+2c＝0，△POA的面积为，当t＝时，求抛物线的解析式．

【答案】（1）见解答；（2）（﹣t，1﹣t）或（t，1+t）；（3）y＝﹣3x2+12x﹣9或y＝﹣x2+4x﹣3．

【解答】解：（1）直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A，B两点，

则点A、B的坐标分别为（1，0）、（0，1），

则∠OBA＝∠OAB＝45°，

∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOE＝90°，

∴∠AOC＝∠BOE，

∵AO＝BO，OC＝OE，

∴△OAC≌△OBE（SAS），

∴∠OBE＝∠OAC＝45°，AC＝BE＝t，

∴∠EBA＝∠EBO+∠OBA＝∠OAC+∠OBA＝45°+45°＝90°，

∴BE⊥AB；

（2）①当点C在线段AB上时，如图1﹣1，

过点E作EH⊥OB于点H，

∵∠EBH＝45°，

∴BH＝EH＝BE＝t，

故点E的坐标为（﹣t，1﹣t）；

②当点C在线段BA的延长线上时，如图1﹣2，

同理可得，点E的坐标为（t，1+t）；

综上，点E的坐标为（﹣t，1﹣t）或（t，1+t）；

（3）①当点C线段AB上时，如题图1﹣1，

过点C作CN⊥OA于点N，

当t＝时，即AC＝t＝，

则CN＝AN＝t＝，

则ON＝OA﹣NA＝1﹣＝CN，

故tan∠AOC＝＝1＝k，

∵△POA的面积＝×AO×yP＝×1×yP＝＝，

解得yP＝1＝c﹣①，

∵抛物线过点A（1，0），故a+b+c＝0②，

而6a+3b+2c＝0③，

联立①②③并解得，

∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3；

②抛物线过点A，则a+b+c＝0，

而6a+3b+2c＝0，

联立上述两式并解得：，

故抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2﹣a（a＜0），

则点P的坐标为（2，﹣a），

则AC＝BE＝t＝，

则tan∠AOC＝k＝＝，

故a＝﹣3，

故y＝﹣3x2+12x﹣9．

综上，y＝﹣3x2+12x﹣9或y＝﹣x2+4x﹣3．

六．圆的综合题（共2小题）

7．（2023荆州）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．

（1）求证：①CD是⊙O的切线；

②△DEF∽△DBA；

（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．

【答案】（1）①②证明见解答过程；

（2）sin∠DFE＝．

【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∵DH⊥AB，

∴∠CDH＝∠DHA＝90°，

∴CD⊥OD，

∵D为⊙O的半径的外端点，

∴CD是⊙O的切线；

②连接HF，

∴∠DEF＝∠DHF，

∵DH为⊙O直径，

∴∠DFH＝90°，

∴∠DHF＝90°﹣∠BDH，

∵∠DHB＝90°，

∴∠DBA＝90°﹣∠BDH，

∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，

∵∠EDF＝∠BDA，

∴△DEF∽△DBA；

（2）解：连接AC交BD于G．

∵菱形ABCD，BD＝6，

∴AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，

在Rt△AGB中，AG＝＝4，

∴AC＝2AG＝8，

∵S菱形ABCD＝ACBD＝ABDH，

∴DH＝＝，

由△DEF∽△DBA知：∠DFE＝∠DAH，

∴sin∠DFE＝sin∠DAH＝＝＝．

8．（2022荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．

（1）求证：DE是半圆O的切线：

（2）当点E落在BD上时，求x的值；

（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；

（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．

【答案】（1）证明见解析部分；

（2）；

（3）y＝（0＜x＜）；

（4）＜x＜3或＜x≤4．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAO＝90°，

∵将△OAD沿OD折叠，得到△OED，

∴∠OED＝∠DAO＝90°，

∴OE⊥DE，

∵OE是半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2中，当点E落在BD下方时，

在Rt△ADB中，∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，

∴BD＝＝＝5，

∵S△ADB＝S△ADO+S△BDO，

∴×3×4＝×3×x+×5×x，

∴x＝．

（3）解：图2中，当点E落在BD上时，

∵DA＝DE，OA＝OE，

∴OD垂直平分线段AE，

∵ADAO＝DOAJ，

∴AJ＝，

∴AE＝2AJ＝，

∵AG是直径，

∴∠AEG＝∠ABF＝90°，

∵∠EAG＝∠BAF，

∴△AEG∽△ABF，

∴y＝＝（）2＝＝（0＜x＜）；

（4）当⊙O与CD相切时，x＝3，

当⊙O经过点C时，x2＝（4﹣x）2+32，

∴x＝，

观察图象可知，当＜x＜3或＜x≤4时，半圆O与△BCD的边有两个交点．

七．作图—复杂作图（共1小题）

9．（2022荆州）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．

（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；

（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．

【答案】（1）（2）作图见解析部分．

【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；

（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．

八．作图—应用与设计作图（共1小题）

10．（2023荆州）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．

请在网格图形中画图：

（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；

（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．

【答案】（1）（2）作图见解析部分．

【解答】解：（1）如图，正方形ABCD，△DEF即为所求．

（2）如图，正方形BKFG即为所求．

九．几何变换综合题（共1小题）

11．（2023荆州）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．

（1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；

（2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．

①确定△PCF的形状，并说明理由；

②若AP：PB＝1：2，BF＝k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．

【答案】（1）作图见解答．

（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由见解答．

②等联线AB＝3k，线段PE＝．

【解答】解：（1）作图如下：（方法不唯一）

（2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为：

如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N．

由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，

∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°，

∴四边形ABNC为正方形，

∴CN＝AC＝CM，

又∵CE＝CE，

∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL），

∴∠3＝∠4，

而∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∠CPF＝90°，

∴∠PCF＝∠2+∠3＝∠CFP＝45°，

∴△PCF是等腰直角三角形．

②如图，过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，

则∠R＝∠A＝90°，

∵∠1+∠5＝∠5+∠6＝90°，

∴∠1＝∠6，

由△PCF是等腰直角三角形知：PC＝PF，

∴△APC≌△RFP（AAS），

∴AP＝FR，AC＝PR，

而AC＝AB，

∴AP＝BR＝FR，

在Rt△BRF中，BR2+FR2＝BF2，，

∴AP＝BR＝FR＝k，

∴PB＝2AP＝2k，

∴AB＝AP+PB＝BN＝3k，

∵BR＝FR，∠QBR＝∠R＝∠FQB＝90°，

∴四边形BRFQ为正方形，BQ＝OF＝k，

∵FQ⊥BN，CN⊥BN，

∴FQ∥CN，

∴，

而QE＝BN﹣NE﹣BQ＝3k﹣NE﹣k＝2k﹣NE，

∴，

解得：k，

由①知：PM＝AP＝k，，

∴，

答：等联线AB＝3k，线段PE＝．

一十．相似形综合题（共1小题）

12．（2023荆州）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．

（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．

①求证：△CDG∽△GAH；

②求tan∠GHC．

（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．

【答案】（1）①证明过程见解答；

②；

（2）不全等，理由见解答．

【解答】（1）如图1，

①证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠GAH＝90°，

∴∠DCG+∠DGC＝90°，

∵∠FGC＝90°，

∴∠AGH+∠DGC＝90°，

∴∠DCG＝∠AGH，

∴△CDG∽△GAH．

②由翻折得∠EGF＝∠EAF，

∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，

∵CD＝AB＝2，AD＝4，

∴＝tan∠DAC＝＝，

∴DG＝CD＝×2＝1，

∴GA＝4﹣1＝3，

∵△CDG∽△GAH，

∴，

∴tan∠GHC＝＝．

（2）不全等，理由如下：

∵AD＝4，CD＝2，

∴AC＝＝，

∵∠GCF＝90°，

∴＝tan∠DAC＝，

∴CG＝AC＝×2＝，

∴AG＝＝5，

∴EA＝AG＝，

∴EF＝EAtan∠DAC＝＝，

∴AF＝＝，

∴CF＝2＝，

∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，

∴△GCF与△AEF不全等．

一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

13．（2022荆州）荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m到E处，测得顶端A的仰角为45°．已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625）．

【答案】城徽的高AB约为12.5米．

【解答】解：延长DF交AB于点G，

则∠AGF＝90°，DF＝CE＝6.6米，CD＝EF＝BG＝1.5米，

设FG＝x米，

∴DG＝FG+DF＝（x+6.6）米，

在Rt△AGF中，∠AFG＝45°，

∴AG＝FGtan45°＝x（米），

在Rt△AGD中，∠ADG＝32°，

∴tan32°＝＝≈0.625，

∴x＝11，

经检验：x＝11是原方程的根，

∴AB＝AG+BG＝11+1.5＝12.5（米），

∴城徽的高AB约为12.5米．

一十二．列表法与树状图法（共1小题）

14．（2022荆州）为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．

等级成绩（x）人数

A90＜x≤100m

B80＜x≤9024

C70＜x≤8014

Dx≤7010

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中m＝12；扇形统计图中，B等级所占百分比是40%，C等级对应的扇形圆心角为84度；

（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有280人；

（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．

【答案】（1）12，40%，84；

（2）280；

（3）．

【解答】解：（1）抽取的学生人数为：10÷＝60（人），

∴m＝60﹣24﹣14﹣10＝12，

扇形统计图中，B等级所占百分比是：24÷60×100%＝40%，C等级对应的扇形圆心角为：360°×＝84°，

故答案为：12，40%，84；

（2）估计其中成绩为A等级的共有：1400×＝280（人），

故答案为：280；

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，

∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为＝．

第1页（共1页）湖北省荆州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

一．分式的化简求值（共2小题）

1．（2022荆州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝（）﹣1，b＝（﹣2022）0．

2．（2023荆州）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝2．

二．解二元一次方程组（共1小题）

3．（2022荆州）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．

三．根的判别式（共1小题）

4．（2023荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k＝1时，用配方法解方程．

四．一次函数的应用（共1小题）

5．（2023荆州）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．

（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？

（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．

五．二次函数图象与几何变换（共1小题）

6．（2023荆州）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：

①写出该函数的一条性质：；

②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：；

③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是．

（2）延伸思考：

将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．

六．二次函数的应用（共1小题）

7．（2022荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．

（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；

（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．

①求该产品第一年的售价；

②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？

七．等边三角形的性质（共1小题）

8．（2023荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．

八．条形统计图（共1小题）

9．（2023荆州）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）本次抽样的样本容量为；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中a的值为，圆心角β的度数为；

（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．

九．列表法与树状图法（共1小题）

10．（2023荆州）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．

组别身高分组人数

A155≤x＜1603

B160≤x＜1652

C165≤x＜170m

D170≤x＜1755

E175≤x＜1804

根据以上信息回答：

（1）这次被调查身高的志愿者有人，表中的m＝，扇形统计图中α的度数是；

（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．

湖北省荆州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

参考答案与试题解析

一．分式的化简求值（共2小题）

1．（2022荆州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝（）﹣1，b＝（﹣2022）0．

【答案】，．

【解答】解：原式＝[﹣]

＝﹣

＝﹣

＝

＝，

∵a＝（）﹣1＝3，b＝（﹣2022）0＝1，

∴原式＝

＝．

2．（2023荆州）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝2．

【答案】，．

【解答】解：÷（1+）

＝÷

＝

＝，

当a＝2时，原式＝＝．

二．解二元一次方程组（共1小题）

3．（2022荆州）已知方程组的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．

【答案】k＜2．

【解答】解：①+②得：2x＝4，

∴x＝2，

①﹣②得：2y＝2，

∴y＝1，

代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，

∴k＜2．

答：k的取值范围为：k＜2．

三．根的判别式（共1小题）

4．（2023荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k＝1时，用配方法解方程．

【答案】（1）k＞﹣且k≠0；

（2）x1＝3+，x2＝3﹣．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，

解得：k＞﹣且k≠0；

（2）当k＝1时，

原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，

即x2﹣6x﹣5＝0，

移项得：x2﹣6x＝5，

配方得：x2﹣6x+9＝5+9，

即（x﹣3）2＝14，

直接开平方得：x﹣3＝±

解得：x1＝3+，x2＝3﹣．

四．一次函数的应用（共1小题）

5．（2023荆州）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．

（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？

（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．

【答案】（1）买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；（2）w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．

【解答】解：（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，

则根据题意得：，

解得：，

答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；

（2）根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，

∵百合不少于2支，

∴11﹣x≥2，

解得：x≤9，

∵﹣1＜0，

∴w随x的增大而减小，

∴当x＝9时，w最小，

即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元），

答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．

五．二次函数图象与几何变换（共1小题）

6．（2023荆州）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：

①写出该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称；

②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；

③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．

（2）延伸思考：

将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．

【答案】（1）函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．

（2）见解答，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2．

【解答】解：（1）观察探究：

①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；

②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；

③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．

故答案为函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．

（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的图象，

当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2．

六．二次函数的应用（共1小题）

7．（2022荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．

（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；

（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．

①求该产品第一年的售价；

②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？

【答案】（1）w＝﹣x2+32x﹣252；

（2）①该产品第一年的售价是16元/件；

②第二年的利润至少为61万元．

【解答】解：（1）根据题意得：w＝（x﹣8）（24﹣x）﹣60＝﹣x2+32x﹣252；

（2）①∵该产品第一年利润为4万元，

∴4＝﹣x2+32x﹣252，

解得：x＝16，

答：该产品第一年的售价是16元/件．

②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，

∴，

解得11≤x≤16，

设第二年利润是w'万元，

w'＝（x﹣6）（24﹣x）﹣4＝﹣x2+30x﹣148，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝15，又11≤x≤16，

∴x＝11时，w'有最小值，最小值为（11﹣6）×（24﹣11）﹣4＝61（万元），

答：第二年的利润至少为61万元．

七．等边三角形的性质（共1小题）

8．（2023荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．

【答案】见解析．

【解答】证明：∵BD是等边△ABC的中线，

∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，

∴∠DBC＝30°，

∵BD＝DE，

∴∠E＝∠DBC＝30°，

∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，

∴∠E＝∠CDE＝30°，

∴CD＝CE．

八．条形统计图（共1小题）

9．（2023荆州）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）本次抽样的样本容量为60；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中a的值为20，圆心角β的度数为144°；

（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．

【答案】（1）60；

（2）见解答；

（3）20，144°；

（4）1000名．

【解答】解：（1）本次抽样的人数为（人），

∴样本容量为60，

故答案为60；

（2）C组的人数为40%×60＝24（人），

统计图如下：

（3）A组所占的百分比为，

∴a的值为20，

β＝40%×360°＝144°，

故答案为20，144°；

（4）总时间少于24小时的学生的百分比为，

∴全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有2000×50%＝1000（名），

建议：读书是人类文明进步的阶梯，建议每天读书至少1小时．

九．列表法与树状图法（共1小题）

10．（2023荆州）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．

组别身高分组人数

A155≤x＜1603

B160≤x＜1652

C165≤x＜170m

D170≤x＜1755

E175≤x＜1804

根据以上信息回答：

（1）这次被调查身高的志愿者有20人，表中的m＝6，扇形统计图中α的度数是54°；

（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．

【答案】（1）20，6，54°；

（2）．

【解答】解：（1）这次被调查身高的志愿者有：（3+2+5+4）÷（1﹣30%）＝20（人），

∴m＝20×30%＝6，

扇形统计图中α的度数是：360°×＝54°，

故答案为：20，6，54°；

（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，

∴P（刚好抽中两名女志愿者）＝＝．

第1页（共1页）湖北省荆州市2023-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类

一．无理数（共2小题）

1．（2023荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（）

A．﹣1B．C．D．3.14

2．（2023荆州）在实数﹣1，0，，中，无理数是（）

A．﹣1B．0C．D．

二．实数与数轴（共1小题）

3．（2022荆州）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（）

A．a与dB．b与dC．c与dD．a与c

三．估算无理数的大小（共1小题）

4．（2023荆州）已知k＝（+）（﹣），则与k最接近的整数为（）

A．2B．3C．4D．5

四．合并同类项（共1小题）

5．（2022荆州）化简a﹣2a的结果是（）

A．﹣aB．aC．3aD．0

五．规律型：图形的变化类（共1小题）

6．（2022荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBnnDn的面积是（）

A．B．C．D．

六．同底数幂的除法（共1小题）

7．（2023荆州）下列各式运算正确的是（）

A．3a2b3﹣2a2b3＝a2b3B．a2a3＝a6

C．a6÷a2＝a3D．（a2）3＝a5

七．单项式乘单项式（共1小题）

8．（2023荆州）若等式2a2a+□＝3a3成立，则□填写单项式可以是（）

A．aB．a2C．a3D．a4

八．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）

9．（2023荆州）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）

A．B．

C．D．

九．根的判别式（共2小题）

10．（2022荆州）关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是（）

A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根

C．没有实数根D．有一个实数根

11．（2023荆州）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）

A．k＜且k≠0B．kC．k且k≠0D．k≥

一十．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）

12．（2022荆州）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（）

A．+＝B．+20＝

C．﹣＝D．﹣＝20

一十一．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）

13．（2023荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）

A．（2，5）B．（3，5）C．（5，2）D．（，2）

一十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）

14．（2022荆州）如图是同一直角坐标系中函数y1＝2x和y2＝的图象．观察图象可得不等式2x＞的解集为（）

A．﹣1＜x＜1B．x＜﹣1或x＞1

C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1

15．（2023荆州）已知：如图，直线y1＝kx+1与双曲线y2＝在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（）

A．t＝2B．△AOB是等腰直角三角形

C．k＝1D．当x＞1时，y2＞y1

一十三．反比例函数的应用（共1小题）

16．（2023荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（）

A．B．

C．D．

一十四．平行线的性质（共1小题）

17．（2023荆州）如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是（）

A．80°B．76°C．66°D．56°

一十五．平行线的判定与性质（共1小题）

18．（2023荆州）