函数的单调性与曲线的凹凸性教案课件

第四节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一阶导数和二阶导数在函数图像中的应用第四节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点1一、函数单调性的判定法定理1.

推论:例1.解：一、函数单调性的判定法定理1.推论:例1.解：2又如,内可导,且等号只在处成立,故内单调增加.又如,内可导,且等号只在处成立,故内单调增加.3例2.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例2.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减4说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例5把函数的定义域区间分成若干个区间，1．写出函数的定义域，并求出函数的导数2．求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点)3．以导数等于零的点、不可导点为分点，并确定导函数在各个区间内的符号，从而确定函数在每个区间内的单调性。总结求函数的单调区间的步骤:把函数的定义域区间分成若干个区间，1．写出函数的定义域，并求6解:练习1：P1533(3)解:练习1：P1533(3)7函数的单调性与曲线的凹凸性教案ppt课件8例3.

证明时,成立不等式证:令从而因此且证证明例3.证明时,成立不等式证:令从而因此且证证明9*证明令则从而即*证明令则从而即10例3.

证明时,成立不等式证:令且从而因此例3.证明时,成立不等式证:令且从而因此11利用单调性证明不等式的步骤：①将要证的不等式作恒等变形（通常是移项）使一端为0,另一端即为所作的辅助函数f(x).②求,验证f(x)在指定区间上的单调性.③与区间端点处的函数值作比较即得证.利用单调性证明不等式的步骤：①将要证的不等式作恒等变形（通12练习2：P1535(3)

证明:

当时证明：sinxtanx2x.

设

f(x)sinxtanx2x

则f(x)在内连续

f

(x)cosxsec2x2,从而f(x)在内单调增加

因此当时

f(x)f(0)0sinxtanx2x0

也就是sinxtanx2x

f

(0)0,从而f(x)在内单调增加

所以f

(x)f

(0)=0

且练习2：P1535(3)证明:当13定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.拐点定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图14定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在

I内则f(x)在

I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数例3.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则f(x)在15说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义16例4.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸例4.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,017对应例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸对应例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐181．写出函数的定义域，并求出函数的导数2．求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点3．判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤1．写出函数的定义域，并求出函数的导数2．求使二阶导数为零的19解:练习2：P1539(5)解:练习2：P1539(5)20凹凸拐点是拐点.曲线在上是凹的,上是凸的.故点在凹凸拐点是拐点.曲线在上是凹的,上是凸的.故点在21内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上22作业P1523(1),(3);5(1),(3);8(1),(3);9(1),(2);预习：第五节，第六节预习：第五节，第六节23思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.

设在思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利24

.2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

;

;第五节.2.曲线25有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：备用题有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：备用题26令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.=令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.=27证明:当时,有证明:令,则是凸函数即2.(自证)第五节证明:当时,有证明:令,则是凸函数即2.(自证)第五28例4.解：例4.解：29函数的单调性与曲线的凹凸性教案ppt课件30函数的单调性与曲线的凹凸性教案ppt课件31函数的单调性与曲线的凹凸性教案ppt课件32

证明:

例6.

当时证明：sinxtanx2x.

设

f(x)sinxtanx2x

则f(x)在内连续

f

(x)cosxsec2x2

因为在

内cosx10cos2x10

cosx0

所以f

(x)0

从而f(x)在内单调增加

因此当时

f(x)f(0)0sinxtanx2x0

也就是sinxtanx2x

证明:例6.当时证明：si33

证明:

例6.

当时证明：sinxtanx2x.

设

f(x)sinxtanx2x

则f(x)在内连续

f

(x)cosxsec2x2

因为在

内cosx10cos2x10

cosx0

所