山东省青岛市私立东方中学高二数学文测试题含解析

山东省青岛市私立东方中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，点为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是(

)A．①③④

B．②③④

C．①②④

D．①②③参考答案：D略2.利用数学归纳法证明+++…+＜1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A．增加了这一项B．增加了和两项C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对参考答案：C【考点】RG：数学归纳法．【分析】当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．【解答】解：当n=k时，左端=+++…+，那么当n=k+1时

左端=++…+++，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，故选：C．3.参考答案：C4.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由排列组合及简单的计数原理得：不同选法的种数是56，得解．【详解】每一位同学有5种不同的选择，则6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是56.故选：B．5.若，则的定义域为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C6.若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．7.已知复数则，复数Z的虚部为（

）

A．-3i

B．3i

C．3

D．-3参考答案：D略8.在△ABC中，△ABC的面积夹角的取值范围是A． B． C． D．参考答案：B略9.点（-1，2）关于直线y=x-1的对称点的坐标是

（

）A．(3,2)

B．(-3,-2)

C．(-3,2)

D．(3,-2)参考答案：D略10.已知（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加2km，在达到离地面210km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．参考答案：1412.已知P为抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（2，0），则|PA|+|PM|的最小值为．参考答案：﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为P到准线与P到A点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，进而推断出P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，利用两点间距离公式求得|FA|，则|PA|+|PM|可求．【解答】解：依题意可知，抛物线x2=4y的焦点F为（0，1），准线方程为y=﹣1，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值1不会影响讨论结果），由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点F的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可，显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|==，那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．13.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S．当CQ=时，S的面积为__________；若S为五边形，则此时CQ取值范围__________．参考答案：解：如图：当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，∴S=（+）?=；当CQ=时，如下图，，延长DD1至N，使D1N=，连结AN交A1D1于S，连结QN交C1D1于R，连结SR，则AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2．∴C1R=，RD1=，∴当＜CQ＜1时，此时的截面形状是上图所示的APQRS，为五边形．考点：平面的基本性质及推论．专题：数形结合；综合法；空间位置关系与距离．分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求出答案．解答：解：如图：当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1为等腰梯形，∴S=（+）?=；当CQ=时，如下图，，延长DD1至N，使D1N=，连结AN交A1D1于S，连结QN交C1D1于R，连结SR，则AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2．∴C1R=，RD1=，∴当＜CQ＜1时，此时的截面形状是上图所示的APQRS，为五边形．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，是中档题．14.若随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，则P(X≤2)＝

．参考答案：15.椭圆的焦点分别是F1和F2，过原点O作直线与椭圆相交于A，B两点.若的面积是20，则直线AB的方程是_______________________.参考答案：略16.已知F1，F2为椭圆+=1（3＞b＞0）的左右两个焦点，若存在过焦点F1，F2的圆与直线x+y+2=0相切，则椭圆离心率的最大值为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过题意可过焦点F1，F2的圆的方程为：x2+（y﹣m）2=m2+c2，利用该圆与直线x+y+2=0相切、二次函数的性质及离心率公式，计算即得结论．【解答】解：由题可知过焦点F1，F2的圆的圆心在y轴上，设方程为：x2+（y﹣m）2=m2+c2，∵过焦点F1，F2的圆与直线x+y+2=0相切，∴d=r，即=，解得：c2=﹣+2m+2，∴当c最大时e最大，而﹣+2m+2=﹣（m﹣2）2+4≤4，∴c的最大值为2，∴e的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查求椭圆的离心率、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．17.曲线在点(1，f(1))处的切线方程为________．参考答案：y＝ex－三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的方程为x2+（y﹣4）2=16．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线θ=（ρ＞0）与曲线C1．C2交于A，B两点，求|AB|．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；转化思想；对应思想；坐标系和参数方程．【分析】（I）利用cos2α+sin2α=1可把曲线C1的参数方程化为普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得极坐标方程．（II）把曲线C2的方程x2+（y﹣4）2=16化为极坐标方程为：ρ=8sinθ，可得曲线θ=（ρ＞0）与曲线C1交于A：ρ1，与曲线C2交于B点：ρ2．利用|AB|=|ρ2﹣ρ1|即可得出．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α化为普通方程：x2+（y﹣2）2=4，把代入可得极坐标方程：ρ=4sinθ．（II）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．把曲线C2的方程x2+（y﹣4）2=16化为极坐标方程为：ρ=8sinθ，曲线θ=（ρ＞0）与曲线C1交于A：ρ1==2，与曲线C2交于B点：ρ2==4．∴|AB|=|ρ2﹣ρ1|=2．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、极坐标方程的相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.哈三中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价0.55元、乙每份售价0.40元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物A、B、C，其中食品甲每份含A、B、C分别为10、3、4毫克，食品乙每份含A、B、C分别为2、3、9毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物A、B、C分别为20、18、36毫克.问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？参考答案：当时，最小值为2.55元20.（本大题12分）已知抛物线y=x2－4及直线y＝x＋2，求：（1）直线与抛物线交点的坐标；（2）抛物线在交点处的切线方程；参考答案：解：（1）联立得：略21.已知是抛物线上一点，F为M的焦点．（1）若，是M上的两点，证明：，，依次成等比数列．（2）若直线与M交于，两点，且，求线段PQ的垂直平分线在x轴上的截距．参考答案：（1）见解析；（2）4【分析】（1）由B在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去x，根据韦达定理求解出k，从而可得PQ中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得PQ垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.【详解】（1）是抛物线上一点

根据题意可得：，，，，依次成等比数列（2）由，消可得，

设的中点，线段垂直平分线的斜率为故其直线方程为当时，【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率