2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 最值问题（强化）（原卷版）

最值问题【例题精讲】如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为A．2 B． C．3 D．如图，已知点是上一点，直线过点，点是上的另一点，点是的中点，，若点是上的一个动点，且，时，求的面积的最大值．

【题组训练】一．选择题（共8小题）1．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为A．3 B．4 C．6 D．83．如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值是A．1.4 B． C． D．2.64．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是A．3 B． C． D．45．如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是3，则长的最大值是A．3 B．4 C．5 D．66．如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为A． B． C． D．7．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为A． B．2 C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，为上任意一点，是的中点，则的最小值是A．1 B． C．2 D．二．填空题（共12小题）9．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为．11．在中，若为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以为直径的半圆上运动，则的最小值为．12．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为．13．如图，是半圆的直径，，点在半圆上，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是．14．在中，若，．则的面积的最大值为．15．如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为．16．如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为．17．如图，已知点为半圆上一点，的度数为，点为上任意一点，交于点，连接，若，则的最小值是．18．如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为．19．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是．20．如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为圆上一动点，于，当点在圆的运动过程中，线段的长度的最小值为．

三．解答题（共10小题）21．在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且．（1）如图1，当时，求的长度；（2）如图2，当点在上移动时，求长的最大值．

22．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．（1）求证：点为的中点；（2）若，，求的长；（3）若的半径为5，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．

23．已知，是的直径，，点在的半径上运动，，垂足为，，为的切线，切点为．（1）如图（1），当点运动到点时，求的长；（2）如图（2），当点运动到点时，连接、，求证：；（3）如图（3），设，，求与的函数关系式及的最小值．

24．如图，的直径，半径，为弧上一动点（不包括、两点），，，垂足分别为．．（1）求的长．（2）若点为的中点，①求弧的度数．②若点为直径上一动点，直接写出的最小值．

25．如图，、、、是上的四个点，．（1）求证：；（2）若，点是劣弧上一动点（异于、，、是关于的一元二次方程的两根，求的最大值．

26．如图，平面直角坐标系中，矩形如图放置，点，，分别为，边上的中点，动点从点出发以每秒2个单位速度沿方向向点运动，同时，动点从点出发以每秒1个单位速度沿方向向点运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止．连接、，且与相交于点，连接．（1）求线段的长度；（2）过点作，垂足为点，连接，求线段长度的最小值．

27．如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作半圆，交于点．（1）求证：是的切线；（2）若点是的中点，，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长．

28．在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且．（1）如图当时，求的长；（2）当点在上移动时