2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 一元二次方程与韦达定理（强化）（解析版）

一元二次方程与韦达定理【例题精讲】已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根为且求的值．【解答】（1）证明：△无论取何值此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得由得解得．已知且．则1．【解答】解：且、可看作方程的两实数根．故答案为1．一元二次方程的根分别满足以下条件求出实数的对应范围．（1）两个根同为正根；（2）两个根均大于1；（3）．【解答】解：根据题意知（1）根据题意知．解得；即两个根同为正根时实数的对应范围是；（2）设则根据方程的2个根均大于1可得解得即当两个根均大于1时实数的对应范围是；（3）联立得到：．．整理得解得．△或或都符合题意．故实数的值为．【题组训练】一．韦达定理的直接应用（共14小题）1．已知关于的方程有两个实数根．（1）求实数的取值范围；（2）若满足求实数的值．【解答】解：（1）关于的方程有两个实数根△解得：实数的取值范围为．（2）关于的方程有两个实数根．即解得：或（不符合题意舍去）．实数的值为．2．阅读材料：若关于的一元二次方程的两个根为则．根据上述材料结合你所学的知识完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程的两个根为则．（2）类比应用：已知一元二次方程的两个根分别为、求的值．（3）思维拓展：已知实数、满足且求的值．【解答】解：（1）一元二次方程的两个根为故答案为：；（2）一元二次方程的两个根分别为、；（3）实数、满足且．3．已知关于的方程的两根分别是且满足则的值是2．【解答】解：的两个解分别为、解得：故答案为：2．4．若是方程的两个实数根则代数式的值等于A．2022 B．2026 C．2030 D．2034【解答】解：是方程的实数根是方程的两个实数根．故选：．5．已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何实数方程总有两个不相等的实数根：（2）若该方程的两个实数根满足．求的值．【解答】（1）证明：△无论为何实数方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出解得．6．关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）如果是方程的两个解令求的最大值．【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根△解得：的取值范围为；（2）是关于的一元二次方程的两个解．时的最大值为．7．已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根为且求的值．【解答】（1）证明：△无论取何值此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得由得解得．8．关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）如果是方程的两个解令求的最大值．【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根△解得：的取值范围为；（2）是关于的一元二次方程的两个解．时的最大值为．9．已知关于的方程．（1）求证：无论为何实数方程总有实数根．（2）如果方程有两个实数根当时求出的值．【解答】（1）证明：①当时方程为是一元一次方程有实数根；②当时方程是一元二次方程关于的方程中△无论为何实数方程总有实数根．（2）解：如果方程的两个实数根则解得．故的值是或2．10．已知关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为、且求的值．【解答】（1）证明：△方程有两个不相等的实数根；（2）方程的两实根为、且解得即的值是1或2．11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围．（2）设出、是方程的两根且求的值．【解答】解：（1）根据题意得：△解得：．的取值范围是．（2）根据题意得：解得：（不合题意舍去）的值是．12．关于的方程．（1）求证：无论为何值方程总有实数根．（2）设是方程的两个根记的值能为2吗？若能求出此时的值；若不能请说明理由．【解答】解：（1）当时原方程可化为解得：此时该方程有实根；当时方程是一元二次方程△无论为何实数方程总有实数根综上所述无论为何实数方程总有实数根．（2）的值可以为2理由如下：由根与系数关系可知若则即将、代入整理得：解得（舍或．13．已知关于的方程有两个正整数根是正整数）．的三边、、满足．求：（1）的值；（2）的面积．【解答】解：（1）关于的方程有两个正整数根是整数）．设是此方程的两个根也是正整数即或2或3或6或9或18又为正整数；（2）把代入两等式化简得当时当时、是方程的两根而△由韦达定理得则、．①时由于故为直角三角形且．②时因故不能构成三角形不合题意舍去．③时因故能构成三角形．综上的面积为1或．14．设是不小于的实数关于的方程有两个不相等的实数根、（1）若求值；（2）求的最大值．【解答】解：方程有两个不相等的实数根△结合题意知：．（1）；（2）．对称轴当时式子取最大值为10．二．用韦达定理构造一元二次方程（共10小题）15．请写出一个以和为根的一元二次方程．【解答】解：设的两根分别是和方程为故答案为：．16．写出一个以3和为根的一元二次方程是．【解答】解：以和7为根的一元二次方程可以为．故答案为：．17．已知实数满足且且的值为A． B． C． D．【解答】解：方法方程两边同时除以可得又、是方程的两实根．方法．故选：．18．如果是两个不相等实数且满足那么等于A．2 B． C． D．6【解答】解：是两个不相等实数且满足是方程的两个不相等的实数根则故选：．19．已知且则．【解答】解：根据题意得：就是方程的两根则故本题的答案为．20．已知实数满足等式则的值是或或．【解答】解：因为实数满足等式（1）当或时原式或；（2）当时可以把看作是方程的两个根．由根与系数的关系得．则原式．故填空答案：或或．21．若且则．【解答】解：且和是方程的两个根．故答案为：．22．已知且则的值为3．【解答】解：方程两边同时除以再乘变形为和可看作方程的两根．故答案为：3．23．若且有则．【解答】解：由得又所以得到与都为的两根根据根与系数的关系得到：所以则；故答案为：．24．已知且．则1．【解答】解：且、可看作方程的两实数根．故答案为1．三．根的分布情况（共14小题）25．已知方程有一正一负实根求实数的取值范围．【解答】解：方程有一正一负实根解得即实数的取值范围是．26．已知方程有两个负根求的取值范围．【解答】解：由题意得解得．27．若方程有一正实根和一负实根则的取值范围是．【解答】解：方程有一正实根和一负实根解得：．故答案为：．28．方程的根的情况下列结论中正确的是A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根一个负根 D．无实数根【解答】解：方程整理得：△方程有两个不相等的实数根设为方程一个正根一个负根且正根绝对值大于负根绝对值．故选：．29．已知方程．（1）若方程在和内各有一个实根求实数的取值范围；（2）若方程有一个根小于1另一个根大于1求实数的取值范围；（3）若方程在内有两个实数根求实数的取值范围．【解答】解：令方程有两个实数根．（1）当时；当时；当时．方程在和内各有一个实根解得：或．若方程在和内各有一个实根实数的取值范围为或．（2）当时．方程有一个根小于1另一个根大于1与的符号相反．当时解得：此时；当时解得：此时．综上可知：若方程有一个根小于1另一个根大于1实数的取值范围为或．（3）当时；当时．方程在内有两个实数根解得：．若方程在内有两个实数根实数的取值范围为．30．一元二次方程根的情况是A．无实数根 B．有一个正根一个负根 C．有两个负根 D．有两个正根【解答】解：方程化为△方程有两个不相等的实数根有一个正根一个负根．故选：．31．已知关于的方程．（1）不解方程判断方程根的情况并说明理由；（2）如果该方程有一个根大于0求的取值范围．【解答】解：（1）方程有两个实数根理由：关于的方程是一元二次方程△△原方程有两个实数根；（2）该方程有一个根大于0即的取值范围为．32．关于的方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围．（2）若试说明此方程有两个负根．（3）在（2）的条件下若求的值．【解答】解：（1）根据题意得△解得；（2）都为负数即此方程有两个负根；（3）都为负数．33．已知关于的一元二次方程．（1）请判断这个方程的根的情况并说明理由；（2）若这个一元二次方程有一个实根小于0求的取值范围．【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根；理由：△关于的一元二次方程有两个实数根；（2）或关于的一元二次方程有一个实根小于0．34．一元二次方程的根分别满足以下条件求出实数的对应范围．（1）两个根同为正根；（2）两个根均大于1；（3）．【解答】解：根据题意知（1）根据题意知．解得；即两个根同为正根时实数的对应范围是；（2）设则根据方程的2个根均大于1可得解得即当两个根均大于1时实数的对应范围是；（3）联立得到：．．整理得解得．△或或都符合题意．故实数的值为．35．已知关于的一元二次方程．（1）请判断这个方程的根的情况并说明理由；（2）若这个方程的一个实根大于1另一个实根小于0求的取值范围．【解答】解：（1）由题意知△方程有两个实数根；（2）由题意知【注：用因式分解法解方程：分解为】方程的一个实根大于1另一个实根小于0．36．已知：关于的方程．（1）请判断这个方程根的情况；（2）若该方程的一个根小于1求的取值范围．【解答】解：（1）在已知一元二次方程中△故原方程始终有两个实数根；（2）解得由题意即故该方程的一个根小于1时．故的取值范围为．37．关于的方程：①和关于的一元二次方程：②、、均为实数）方程①的解为非正数．（1）求的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数且为整数求整数的值．【解答】解：（1）关于的方程：解得：关于的方程的解为非正数解得：由一元二次方程②可知且；（2）一元二次方程中把代入原方程得：因式分解得方程②的解为负整数为整数或或．38．关于的一元二次方程有两个不相等且非零的实数根探究满足的条件．小华根据学习函数的经验认为可以从二次函数的角度看一元二次方程下面是小华的探究过程第一步设一元二次方程对应的二次函数为；第二步：借助二