2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 旋转中的最值问题（强化）（解析版）

旋转中的最值问题【例题精讲】是边长为4的等边三角形其中点为高上的一个动点连接将绕点顺时针旋转得到连接、、则周长的最小值是A． B． C． D．【解答】解：是等边三角形是等边三角形是高过点作交的延长线于点延长到使得连接与交于点连接则为等边三角形垂直平分当与重合时即、、三点共线时的值最小为：的周长的最小值为．故选：．在中为内一点连接、、则的最小值为A． B． C． D．【解答】解：在中将绕点逆时针旋转得到连接．由旋转的性质可知：是等边三角形当在直线上时的值最小的最小值为故选：．【题组训练】1．如图在等边中是边上一动点连接将绕点逆时针旋转得到连接若则的周长的最小值是A．10 B． C． D．20【解答】解：将绕点逆时针旋转得到是等边三角形的周长的值最小时的周长有最小值当时的值最小．的周长的最小值是．故选：．2．如图是边长为2的正方形内一动点为边上一动点连接、、则的最小值为A．4 B．3 C． D．【解答】解：如图将绕点逆时针旋转得到是等边三角形是等边三角形作于交于．当点点点点四点共线且垂直时有最小值为的最小值故选：．3．如图将面积为8的正方形绕顶点顺时针旋转得到正方形是的中点是对角线的中点则在旋转过程中的最大值为A． B． C． D．【解答】解：连接如图四边形是面积为8的正方形是对角线的中点正方形绕顶点顺时针旋转得到正方形是的中点（当且仅当、、共线时取等号）的最大值为即的最大值为．故选：．4．如图已知正方形的边长为3点是边上一动点连接将绕点顺时针旋转到连接则当之和取最小值时的周长为A． B． C． D．【解答】解：连接过点作交延长线于点将绕点顺时针旋转到又即即点在的角平分线上运动作点关于的对称点点在的延长线上当点三点共线时最小．在中的最小值为此时的周长为．故选：．5．如图在中是边上一动点连接把线段绕点逆时针旋转得到线段连接则线段长度的最小值为A．1 B． C． D．【解答】解：如图在上取一点使连接过点作于由旋转知要使最小则有最小而点是定点点是上的动点当（点和点重合）时最小即：点与点重合最小最小值为在中在中故线段长度最小值是故选：．7．如图四边形是菱形且为对角线（不含点）上任意一点将绕点逆时针旋转得到当取最小值时的长A． B．3 C．1 D．2【解答】解：如图将绕点逆时针旋转得到是等边三角形．．根据“两点之间线段最短”当点位于与的交点处时的值最小即等于的长过点作交的延长线于．故选：．8．在平面直角坐标系中点、在轴上点在轴上是等边三角形是边上动点连接以为边在的右侧作等边三角形连接的面积为的中点为当点在边上运动时线段的最小值为A． B． C． D．4【解答】解：和都是等边三角形即在和中点的运动轨迹为过点平行于轴的线段时最小为线段的中点设则由勾股定理可得解得即线段的最小值为．故选：．9．如图矩形的边点在边上且为边上的一个动点连接将线段绕点顺时针旋转得到连接则的最小值为A．2 B．3 C． D．【解答】解：将绕点顺时针旋转得到延长交于点则点在平行于且与的距离为1的直线上运动当时有最小值四边形是矩形故选．10．已知等边的边长为8点是边上的动点将绕点逆时针旋转得到点是边的中点连接则的最小值是A． B．3 C． D．4【解答】解：绕点逆时针旋转得到是边长为8的等边三角形点是边的中点当时的长最小此时的最小值时故选：．11．在等边中点是边的中点点是边上一个动点连接将绕点顺时针旋转得到连接则的最小值是A．1 B． C． D．【解答】解：如图将绕点旋转得到△点是边上一个动点点是边上一个动点当时最小如图在等边中点为中点故选：．12．如图正方形的边长为5为上一点且为边上的一个动点连接以为边向右侧作等边连接则的最小值为A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【解答】解：由题意可知点是主动点点是从动点点在线段上运动点也一定在直线轨迹上运动将绕点旋转使与重合得到为等边三角形点在垂直于的直线上作则即为的最小值作可知四边形为矩形则故选：．13．如图点是等边三角形边的中点点是直线上一动点连接并绕点逆时针旋转得到线段连接．若运动过程中的最小值为则的值为A．2 B． C． D．4【解答】解：如图连接延长至使连接是等边三角形是的中点在和中点在与成的直线上运动当时有最小值故选：．16．如图边长为5的等边三角形中是高所在直线上的一个动点连接将线段绕点逆时针旋转得到连接．则在点运动过程中线段长度的最小值是A． B．1 C．2 D．【解答】解：如图取的中点连接旋转角为又是等边的对称轴又旋转到在和中根据垂线段最短时最短即最短此时故选：．17．如图已知点为内一动点连接、、将绕着点逆时针方向旋转得到则的最小值为A． B． C． D．【解答】解：连接过点作交的延长线于点由旋转可得：是等边三角形在中在中的最小值为：故选：．18．如图在矩形中点是上的动点连接将绕点顺时针旋转得到线段连结．从点向点运动过程中的最小值为A．1 B． C． D．2【解答】解：过作于如图：四边形是矩形绕点顺时针旋转得到线段设则在中当时取最小值最小值为2最小值是故选：．19．如图在中是边上一动点连接把线段绕点逆时针旋转到线段连接则线段的最小值为A．1 B．2 C．3 D．【解答】解：如图在上取一点使连接过点作于由旋转知要使最小则有最小而点是定点点是上的动点当（点和点重合）时最小即：点与点重合最小最小值为在中在中故线段长度最小值是故选：．20．如图已知直线交、轴于、两点以为边作等边、、三点逆时针排列）、两点坐标分别为、连接、则的最小值为A．6 B． C．6.5 D．7【解答】解：点在直线上．在轴上方作等边即又点的轨迹为定直线作点关于直线的对称点连接当点、、在同一条直线上时的值最小即的最小值故选：．21．如图菱形的边长为4是边的中点是边上的一个动点将线段绕着点逆时针旋转得到连接、则的最小值为A． B． C． D．【解答】解：如图取的中点．连接作交的延长线于．四边形是菱形是等边三角形是等边三角形点的运动轨迹是射线易知关于射线对称在中在中的最小值为．故选：．22．如图在正方形中点为中点点绕着点旋转且在的右侧作正方形则线段的最小值是A． B． C． D．【解答】解：延长至使连接、、如图：四边形是正方形是等腰直角三角形四边形是正方形的轨迹是以为圆心以为半径的线段最小时为与线段的交点如图：此时故选：．二．填空题（共3小题）23．如图边长为9的等边三角形中是高所在直线上的一个动点连接将线段绕点逆时针旋转得到连接．则在点运动过程中线段长度的最小值是．【解答】解：如图取的中点连接线段绕点逆时针旋转得到又是等边三角形即是等边三角形的高又旋转到在和中根据垂线段最短当时最短即最短此时．线段长度的最小值是．故答案为：．24．如图在三角形（其中是一个可以变化的角）中以为边在的下方作等边三角形则的最大值是6．【解答】解：以点为旋转中心将逆时针旋转得到△连接逆时针旋转得到△△是等边三角形在△中