2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 二次函数与三角形存在性问题（强化）（解析版）

二次函数与三角形存在性问题【例题精讲】如图抛物线与轴交于点和点与轴交于点顶点为连接直线与抛物线的对称轴交于点．（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；（2）求四边形的面积；（3）是第一象限内抛物线上的动点连接当时求点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线过点和解得抛物线的解析式为．令得．解得．点的坐标为．设直线的解析式为．把点分别代入得解得直线的解析式为．（2）如图1设抛物线的对称轴与轴交于点．抛物线的解析式为顶点的坐标为．．（3）．．如图2过点作轴交轴于点交于点．设点．点在直线上．．．．解得．点的坐标为或．（4）存在．为等腰三角形或或设当时解得：；当时解得：或（舍去）；当时解得：或或综上所述点的坐标为或或或．如图已知抛物线与轴交于点、与轴交于点点是抛物线上一动点连接．（1）点的坐标为点的坐标为；（2）如图1当点在直线上方时过点作上轴于点交直线于点．若求的面积；（3）抛物线上存在一点使是以为直角边的直角三角形求点的坐标．【解答】解：（1）令抛物线则解得：；故答案为：；（2）在中当时．设直线的解析式为将代入得：解得直线的解析式为若则设轴于点解得（舍此时．的面积为3；（3）是以为直角边的直角三角形有两种情况：①点为直角顶点如图过点作直线交轴于点交抛物线于点连接．又直线的解析式为联立解得或（舍；；②点为直角顶点如图过点作直线交抛物线于点交轴于点连接设直线的解析式为将代入得直线的解析式为联立解得或（舍．综上点的坐标为或．【题组训练】1．如图抛物线与轴交于、两点与轴交于点．（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）两点的坐标；（2）证明与的面积相等；（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在请求出；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线顶点的坐标为抛物线与轴交于、两点当时解得两点的坐标为、（2）当时点的坐标为过点作轴于则（3）存在使为直角三角形的抛物线．过点作于点则为直角三角形在中在中．①如果是直角三角形且时即解得．存在抛物线使得是直角三角形；②如果是直角三角形且时．即解得．存在抛物线使得是△；③以为直角的直角三角形不存在综上存在抛物线和使是直角三角形．3．如图抛物线交轴于、两点交轴于点点的坐标为点坐标为对称轴为．点为线段上的一个动点（不与两端点重合）过点作轴交抛物线于点交于点．（1）求抛物线及直线的表达式；（2）过点作垂足为点．求线段的最大值；（3）试探究点在运动过程中是否存在这样的点使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在请求出此时点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线对称轴为点与关于直线对称设把代入得：解得：设直线的解析式为则解得：直线的解析式为故抛物线解析式为直线的解析式为；（2）设则轴轴当时的最大值为；（3）存在设以为顶点的三角形是等腰三角形或或当时解得：（舍去）或；当时解得：（舍去）或；当时解得：；综上所述点的坐标为或或．4．如图在平面直角坐标系中已知抛物线与直线相交于两点其中．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为直线下方抛物线上任意一点连接求面积的最大值及此时点的坐标；（3）点为抛物线对称轴上的一点当以点为顶点的三角形为等腰三角形时直接写出点的坐标．【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达得：解得故抛物线的表达式为；（2）由点、的坐标得直线的表达式为过点作轴的平行线交直线于点设点则点则面积故面积有最大值当时面积的最大值为8此时点；（3）由抛物线的表达式知其对称轴为直线设点由点、、的坐标得：当时即解得；当时同理可得：；当时同理可得：故点的坐标为或或或或．5．如图已知二次函数的图象与轴的两个交点为与点与轴交于点．（1）求此二次函数关系式和点的坐标；（2）请你直接写出的面积；（3）在轴上是否存在点使得是等腰三角形？若存在请你直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：解得故抛物线的表达式为令则故点的坐标为；令解得或故点的坐标为；（2）连接则的面积；（3）设点的坐标为由题意得：当时则解得或当时同理可得（舍去）或当时同理可得故点的坐标为或或或．6．如图已知二次函数的图象交轴于点交轴于点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将直线向下移动个单位若直线与抛物线有交点求的取值范围；（3）直线分别交直线和抛物线于点当是等腰三角形时直接写出的值．【解答】解：（1）将代入函数解析式得解得这个二次函数的表达式是①；（2）由抛物线的表达式知点设直线的表达式为则解得故直线的表达式为直线平移后的表达式为②联立①②并整理得：则△解得故；（3）设：点则当时①解得或3（舍去②解得或3（舍去当时解得或（舍当时则解得或（舍当是等腰三角形时的值为12．7．如图二次函数的图象与轴交于点与轴的负半轴交于点且的面积为6．（1）求两点的坐标；（2）求该二次函数的表达式；（3）如果点在坐标轴上且是等腰三角形直接写出点坐标．【解答】解：（1）由解析式可知点的坐标为．所以或二次函数与轴的负半轴交于点点的坐标为；（2）把点的坐标代入得．解得所求二次函数的解析式为；（3）（Ⅰ）当点在轴上时①如图1当时则点和点关于轴对称则点的坐标为；②如图2当时当点在轴左侧时则故点当点在轴右侧时则过点点的坐标为或；③如图3当时设点的坐标为根据题意得．解得．点的坐标为；故点的坐标为．（Ⅱ）当点在轴上时同理可得点的坐标为或或或；综上所述点的坐标为或或或或．8．如图直线和抛物线都经过和两点抛物线与轴交于、两点（点在点右侧）．（1）求直线和抛物线的函数表达式；（2）求四边形的面积；（3）在轴上是否存在点使得是以为直角边的直角三角形？若存在求出所有的点若不存在请说明理由．【解答】解：（1）把代入中得即把代入中得把代入中得即把代入中得即直线表达式是抛物线解析式为：；（2）解方程得点在点右侧过作轴于作轴于即四边形的面积为10；（3）设①当时即；②当时或4或综上所述以为直角边时或或．9．如图抛物线与坐标轴交于点、、点为抛物线上动点设点的横坐标为．（1）若点与点关于抛物线的对称轴对称求点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点在第四象限连接、及当为何值时的面积最大？最大面积是多少？（3）是否存在点使为以为直角边的直角三角形若存在直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线经过点、抛物线的对称轴为点与点关于抛物线的对称轴对称点抛物线表达式为故解得：抛物线的表达式为；（2）如图过点作轴的平行线交于点由点的坐标得直线的表达式为设点则点的面积当时有最大值；（3）直线表达式中的值为1①当时直线与轴的夹角为设直线的表达式为将点的坐标代入并解得直线的表达式为联立得解得或3（不合题意舍去）故点的坐标为②当时同理可得点综上点的坐标为或．10．如图在平面直角坐标系中矩形点在轴上点在轴上其中已知抛物线经过点和点．（1）求抛物线解析式；（2）如图1点在直线上点为轴右侧抛物线上一点连接、若求点坐标；（3）如图2在（2）的条件下为射线上一点作直线于点连接若为直角三角形请直接写出点坐标．【解答】解：（1）矩形抛物线经过点和点；（2）设解得或点在轴由侧；（3）设直线的解析式为直线与轴的交点为如图1当点与点重合点为此时为等腰直角三角形；如图2过点作交的延长线于点设直线的解析式为或或；如图3当时直线的解析式为；综上所述：点的坐标为或或．11．如图抛物线与轴交于点与轴交于点．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接在抛物线的对称轴上是否存在一点使是直角三角形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为将点代入顶点为；（2）存在一点使是直角三角形理由如下：抛物线的对称轴为直线设是直角三角形①当为斜边时解得点坐标为或；②当为斜边时解得点坐标为；③当为斜边时解得点坐标为；综上所述：点坐标为或或或．12．如图在平面直角坐标系中抛物线交轴于点交轴于点．（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标．（2）将抛物线关于轴对称的抛物线记作点为抛物线上一点若是以为直角边的直角三角形求点的坐标．【解答】解：（1）将点代入解得顶点；（2）设抛物线上任意一点则关于轴对称的点为点在抛物线上抛物线记作的解析式为设过点作轴交于点过点作轴交于点或或．13．如图抛物线与轴交于两点与轴交于点抛物线的顶点为连接为线段上的一个动点不与、重合）过点作轴交抛物线于点交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）当时求点的坐标；（3）连接、、、当的面积等于的面积时（点与点不重合）求点的坐标；（4）在（3）的条件下在轴上是否存在点使为等腰三角形若存在请直接写出点的坐标若不存在请说明理由．【解答】解：（1）将代入；（2）设直线的解析式为设则或（舍；（3）或（舍；（4）存在理由如下：①当时点与点关于对称；②当时或；③当时作的垂直平分线交轴于点交于点；综上所述：点的坐标为或或或．14．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图（1）点在抛物线（对称轴右侧）上点在对称轴上是以为斜边的等腰直角三角形求点的坐标；（3）如图（2）直线为常数）与抛物线交于两点为线段的中点；直线与抛物线交于两点为线段的中点．求证：直线经过一个定点．【解答】解：（1）抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线即（2）当点在轴上方时过点作轴于点过点作于点如图所示：设点坐标为点坐标为的对称轴解得或或或点在第一象限或（舍去）或．当点在轴下方时同理可求点综上所述：点坐标为或．（3）把代入中得将代入中得设的解析式为则解得直线的解析式为：当时直线经过定点即直线经过一个定点．15．已知抛物线的对称轴是直线与轴相交于两点（点在点右侧）与轴交于点．（1）求抛物线的解析式和两点的坐标；（2）如图若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合）过点作轴的平行线交直线于点；①设点的横坐标为用含的式子表示出的长并求出的最大值及此时点的坐标；②过点作交抛物线于点是否存在点使为等腰直角三角形？若存在求出点的横坐标的值；若不存在说明理由；（3）点为轴正半轴上一点直接写出使为等腰三角形的点的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线解得抛物线的解析式为：．当时解得点的坐标为点的坐标为．答：抛物线的解析式为：；点的坐标为点的坐标为；（2）①当时点的坐标为．设直线的解析式为将代入得：解得直线的解析式为．设点的坐标为则点的坐标为当时的最大值是4点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合）此时点的坐标为．答：用含的式子表示出的长为的最大值是4此时点的坐标为；②当时为等腰直角三角形点在对称轴右侧时如图：交抛物线于点轴抛物线的对称轴是直线点的横坐标为当时为等腰直角三角形的长为解得：或（舍去）；点在对称轴左侧时如图：交抛物线于点轴抛物线的对称轴是直线点的横坐标为当时为等腰直角三角形的长为解得：或（舍去）；存在点的横坐标的值为或；（3）点的坐标为点的坐标为．①当点为轴正半轴上一点时如图点的坐标为；②当点为轴正半轴上一点时如图：则点的坐标为；③当点为轴正半轴上一点时如图：过点作于即则点的坐标为；故点的坐标为：或或．16．在平面直角坐标系中抛物线是常数与轴交于、两点与轴交于点对称轴为直线．（1）填空：（用含的代数式表示）；（2）当时抛物线上的点到轴的最大距离为5求的值；（3）若点的坐标为点的坐标为（其中点为抛物线上一动点是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线对称轴为直线故答案为：；（2）当时此时点到轴的距离小于5当时解得；（3）存在是以为斜边的等腰直角三角形设①如图过点作轴的垂线再分别过点和点作垂线的垂线分别交于点和点解得或（舍去）；②如图点与点关于直线对称点的坐标为．点和点重合点和点重合此时；③如图过点作轴的垂线再分别过点和点作垂线的垂线分别交于点和点同理：△△解得（舍去）综上所述点的坐标为或或．17．如图抛物线的图象过点、、．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点使得的周长最小若存在请求出点的坐标及的周长；若不存在请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点使为等腰三角形？若存在求出所有符合条件的点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线图象经过点、不妨设抛物线的解析式为将点代入其解析式得解得抛物线的解析式为即；（2）如图1抛物线的对称轴为直线连接与直线交于点则当点、、三点共线时周长取得最小值设点直线表达式为将点代入得解得则直线表达式为当时故点周长最小值为：；（3）设则如图2所示当时即解得此时点；如图3所示当时即解得此时点；如图4所示当时即解得：（舍去）此时点综上所述点的坐标为．18．如图已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边）与轴交于点连接．（1）求、、三点的坐标；（2）若点为线段上的一点（不与、重合）轴且交抛物线于点交轴于点当线段的长度最大时求点的坐标；（3）在（2）的条件下当线段的长度最大时在抛物线的对称轴上有一点使得为直角三角形直接写出点的坐标．【解答】解：（1）对于令则令则解得：；（2）设的表达式为则解得直线的表达式为设点的坐标为则点的坐标为时最大此时点坐标；（3）抛物线的对称轴为直线设且为直角三角形分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况①当点为直角顶点时则有即解得：此时点坐标为②当点为直角顶点时则有即解得：此时点坐标为或③当点为直角顶点时则有即解得：此时点坐标为综上所述点坐标为或或或．19．如图抛物线与轴相交于、两点与轴相交于点且点与点的坐标分别为点是抛物线的顶点点为线段上一个动点过点作轴于点若．（1）求二次函数解析式；（2）设的面积为试判断有最大值或最小值吗？若有求出其最值若没有请说明理由；（3）在上是否存在点使为直角三角形？若存在请写出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）把、代入得解得二次函数的解析式为．（2）有最大值．如图1设直线的解析式为该抛物线的顶点坐标为把、代入得解得；由得；当点与点重合时不存在以、、为顶点的三角形不存在最小值；当时的最大值为．（3）存在．若如图2则轴且在直线上