2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 二次函数与面积问题（强化）（解析版）

二次函数与面积问题【例题精讲】如图直线交轴于点交轴于点抛物线经过点点且交轴于另一点．（1）直接写出点点点的坐标及抛物线的解析式．（2）在直线上方的抛物线上有一点求四边形面积的最大值及此时点的坐标．【解答】解：（1）令得令得解得．把、两点代入得解得抛物线的解析式为．（2）过点作轴与交于点如图1设则当时四边形面积最大其最大值为8此时的坐标为．如图已知抛物线经过两点与轴相交于点点为抛物线上一动点过点作轴的垂线交轴于点连接．（1）求抛物线的表达式；（2）当点位于直线上方时连结的面积能否取得最大值？若能请求出最大面积并求出此时点的坐标；若不能请说明理由．【解答】解：（1）将点的坐标代入函数的表达式得：解得：抛物线的解析式为；（2）能．如图所示：连接设点的坐标为则当时的面积有最大值最大值为8此时的面积最大值为8．【题组训练】1．如图二次函数的图象与轴的一个交点为另一个交点为且与轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）求的面积；（3）该二次函数图象上是否存在点使与的面积相等？若存在请求出点的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）把代入得解得抛物线解析式为；（2）当时解得当时的面积；（3）存在．设与的面积相等即解方程得此时点坐标为或；解方程得此时点坐标为；综上所述点坐标为或或．2．已知二次函数的图象与轴交于、两点与轴交于点求：（1）点、、的坐标；（2）的面积．【解答】解：（1）令则；令则解得：；（2）．3．如图抛物线．与轴交于两点与轴交于直线经过点且与抛物线交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若是位于直线上方的抛物线上的一个动点连接求的面积的最大值．【解答】解：（1）直线经过点令则将代入得：解得：抛物线的解析式为：；（2）解得：过点作轴交于设则的面积当时的面积最大且最大值是．4．如图抛物线与轴正半轴交于点与轴交于点直线过、两点．点为抛物线顶点连接、．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）求的面积．【解答】解：（1）令则令则求得把、的坐标代入得解得抛物线的解析式为顶点的坐标为；（2）作轴交于点把代入得．5．已知抛物线与轴交于点和点与轴交于点是线段上一点过点作轴交轴于点交抛物线于点．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点的横坐标为2点是第一象限抛物线上的一点且和的面积相等求点的坐标．【解答】解：（1）抛物线经过点和点解得：该抛物线的表达式；（2）如图设直线的解析式为解得：直线的解析式为点的横坐标为2．．轴．的面积为．和的面积相等的面积为2设中边上的高为点的纵坐标为1解得：（负数不合题意舍去）．6．如图抛物线与轴交于点、两点与轴交于点．（1）求出此抛物线和直线的解析式；（2）在直线上方的抛物线上有一动点求点的横坐标为何值时四边形的面积最大？最大值是多少？并写出此时点的坐标．【解答】解：（1）将、代入中得解得抛物线的解析式为．设直线的解析式为将代入得解得直线的解析式为．（2）如图作轴交于点设点坐标为则点坐标为．．当时有最大值为8此时点坐标为．7．如图抛物线与轴交于、两点与轴交于点．直线与抛物线交于、两点与轴交于点点的坐标为．（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；（2）若点是抛物线上的点且在直线上方连接、求面积最大值；（3）由（2）并求出点的坐标．【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点设抛物线的解析式为在抛物线上解得抛物线的解析式为即直线经过、设直线的解析式为则解得直线的解析式为；（2）如图1中过点作轴交于点．设则．的值最大值时的面积最大时的值最大最大值为此时的面积的最大值为；（3）由（2）可知时面积最大．8．如图抛物线交轴于点和点．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）若该抛物线轴交于点顶点为点在该抛物线上求四边形的面积．【解答】解：（1）抛物线交轴于点和点．解得：．抛物线的函数表达式为；（2）．令则．．连接过点作交延长线于点过点作于点如图．四边形的面积．9．如图已知抛物线的顶点为与轴交于点与轴交于点．（1）求此抛物线的解析式．（2）求的面积．（3）设是直线上方该抛物线上除点外的一点且与的面积相等求点的坐标．【解答】解：（1）抛物线的顶点为设抛物线的解析式为此抛物线与轴交于点．．此抛物线的解析式为．即：．（2）过点作于点设交直线与点如图令则．解得：或3．．．设直线的解析式为解得：．直线的解析式为．．．．的面积等于3．（3）设点的横坐标为过点作于点设交直线与点如图是直线上方该抛物线上除点外的一点．．．．．．与的面积相等．解得：或2．设是直线上方该抛物线上除点外的一点．．10．如图抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）与轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）抛物线上点的横坐标为2求四边形的面积．【解答】解：（1）令得令得解得或设直线的解析式为：把代入得解得直线的解析式为：；（2）当时连接如图．11．如图在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣20）、B（30）与y轴交于点C（0﹣3）点P是二次函数图象上的一点．（1）求二次函数和直线BC的解析式．（2）若点P在直线BC的下方当△PBC的面积最大时求点P的坐标．（3）当S△PBC＝S△ABC时求点P的横坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣20）B（30）C（0﹣3）代入二次函数解析式则解得：∴二次函数的解析式为y＝﹣x﹣3；设直线BC的解析式为y＝kx+d则解得：∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）如图作PD⊥x轴交BC于点DPE⊥y轴延长EP与过点B的x轴垂线交于F设P点坐标为（m）则点D坐标为（mm﹣3）∴PD＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣m2+mS△PBC＝S△PDC+S△PDB＝PD•PE+PD•PF＝PD•EF＝PD•OB∴S△PBC＝（﹣m2+m）×3＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+∴当m＝时S△PBC取最大值此时P点坐标为（﹣）；（3）∵S△ABC＝AB•OC＝×5×3＝∴S△PBC＝S△ABC＝×＝设P（mm2﹣m﹣3）由（2）知PQ＝|﹣m2+m|S△PBC＝（xB﹣xC）PQ＝×|﹣m2+m|∴×|﹣m2+m|＝即|m2﹣3m|＝2当m2﹣3m＝2时解得m＝；当m2﹣3m＝﹣2时解得：m＝1或m＝2∴点P的横坐标为或或1或2．12．如图在平面直角坐标系中抛物线的图象与坐标轴相交于三点其中点坐标为点坐标为连接．动点从点出发在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时动点从点出发在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动当其中一点到达终点时另一点随之停止运动．连接设运动时间为秒．（1）求的值；（2）在运动的过程中当为何值时四边形的面积最小最小值为多少？【解答】解：（1）把代入则解得：．（2）抛物线解析式为当时点坐标为又等腰直角三角形由点的运动可知：过点作轴垂足为如图：即又当其中一点到达终点时另一点随之停止运动．当时四边形的面积最小最小值为4．13．如图抛物线与轴交于、两点与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点使四边形的面积最大求出点的坐标．【解答】解：（1）即解得：设抛物线解析式为将代入得：解得：该抛物线的解析式为；（2）如图过点作轴交于点设直线解析式为将代入得：解得：直线解析式为设则当时四边形的面积最大此时点的坐标为．14．如图抛物线与轴交于、两点与轴交于点且．直线与抛物线交于两点与轴交于点点到轴的距离为3．（1）求抛物线的解析式与直线的解析式．（2）若点是抛物线上的点且在直线上方连接、求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值．【解答】解：（1）设抛物线解析式为把代入得解得抛物线解析式为即；抛物线的对称轴为点到轴的距离为3点、关于直线对称设直线的解析式为把分别代入得解得直线的解析式为；（2）过点作轴交直线于点如图设则的面积当时的面积有最大值最大值为此时点坐标为．15．如图抛物线与轴交于两点与轴交于点顶点为．（1）直接写出抛物线的解析式、对称轴及顶点的坐标．（2）若直线与抛物线交于、两点求点的坐标及的面积．【解答】解：（1）把和两点代入抛物线中得：解得：抛物线的解析式为：对称轴为：；顶点的坐标是：．（2）把代入到直线中得：直线是．解方程得．当时点．设抛物线的对称轴与交于点则点的横坐标为1代入得点．．．16．抛物线与轴交于、两点与轴交于点已知点坐标为．（1）求实数的值；（2）若点是抛物线在第一象限内图象上的点求面积的最大值及此时点的坐标．【解答】解：（1）将点代入得解得；（2）抛物线解析式为当时则设直线的解析式为把代入得解得直线的解析式为过点作轴交直线于点如图设则时有最大值此时点坐标为面积的最大值为1．17．如图在平面直角坐标系中抛物线与轴交于两点与轴交于点．已知点是抛物线上的一个动点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当的面积为8时求点的坐标．【解答】解：（1）抛物线经过点解得抛物线的解析式为；（2）抛物线与轴交于两点点设点的面积为8或点坐标为或或．18．如图关于的二次函数的图象与轴交于点和