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曲面梯形面积与定积分一、生活中的数学原型

观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？

观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？

“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？思考：割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法。将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼，能否应用到求曲边梯形的面积中？思考：二、知识回顾—割圆术1.将圆等分成n个小扇形。2.用小三角形面积近似代替小扇形面积。3.求小三角形面积之和。4.随着n的增大，小三角形面积之和不断逼近圆面积。割圆术求圆面积的思想方法：将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼1.分割2.近似代替3.求和4.取极限如何求由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x²所围成的曲边梯形的面积S？思考：（一）分割思考：应采用什么样的方式分割下面的曲边梯形才能有利于“以直代曲”？方案一方案二三、探究类比割圆术的思想方法，求特殊的曲边梯形的面积选取方案二进行探究1.如何将大曲边梯形等分成n个小曲边梯形？2.将区间[0,1]等分成n个小区间，这n个小区间分别是什么？3.单独研究第i个小区间，则第i个小区间是什么？思考：解答：1.在区间[0，1]上等间隔地插入n-1个点，过这些点做x轴的垂线。2.将区间[0,1]等分成n个小区间，这n个小区间分别是：3.单独研究第i个小区间，则第i个小区间是：（二）近似代替对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？（单独研究第i个小曲边梯形）思考：得出方案选取方案二进行探究。怎样求出小矩形的面积？思考：第i个区间的高度为：解答：第i个区间的长度为：第i个区间的面积为：（三）求和怎样求出n个小矩形的面积之和？思考：参考公式:小矩形面积之和为：解答：观察当n取不同值时，小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系？（四）取极限思考：n趋向于无穷大时，曲边梯形的面积S等于多少？解答：取极限得到曲边梯形的面积为：选取方案三进行探究。怎样求出小矩形的面积？思考：类比方案二中的求解过程，发现求解小矩形的面积时的异同。第i个区间的高度为：第i个区间的长度为：第i个区间的面积为：选取方案二进行探究。怎样求出小矩形的面积？思考：解答：四、类比探究—类比“不足近似值”与“过剩近似值”（三）求和怎样求出n个小矩形的面积之和？思考：参考公式:小矩形面积之和为：解答：观察当n取不同值时，小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系？（四）取极限思考：为了更加准确地求出大曲边梯形的面积，n应该取何值？解答：取极限得到曲边梯形的面积为：利用Excel表格进行计算，当n趋近于无穷大时，S的不足近似值与过剩近似值最终都会趋近于取

在区间上任一点

处的函数值

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