公开课241平面向量数量积的物理背景及其含义课件

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.1平面向量数量积的1数乘定义：

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa

的方向与a方向相同；当λ<0时,λa

的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0数乘定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个2运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数3向量的夹角OABOABOAB已知两个非零向量

和，作，，则

叫做向量和的夹角．OAB向量的夹角OABOABOAB已知两个非零向量和，4问题θsF一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？为此，我们引入向量“数量积”的概念。

功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？其中θ是F与s的夹角.W=|F||s|cosθ问题θsF一个物体在力F的作用下产生的5问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结6平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.

（3）

在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．说明：已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定

（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b，a×b

表示向量的另一种运算（外积）．平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即7思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ＜

90°时为正；当90°＜θ≤180°时为负。当θ=90°时为零。数量积符号由cos的符号所决定思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为8问题：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？实数同向量积的线性运算的结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.问题：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？

a⊥ba·b＝0问题：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？

问题：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不9问题：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？

︱a·b︱≤︱a︱︱b︱

问题：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？问题：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？︱a10向量数量积的性质向量数量积的性质11例、在△ABC中，求练习:例、已知|a|=5，|b|=4，求a·b①a与b的夹角θ=120°②ａ∥ｂ③ａ⊥ｂ例、在△ABC中，12平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？

投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．OABab，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθ︱a︱cosθ平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？投影13说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当=0时投影为|b|当=180时投影为-|b|.说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBO14问题：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义是什么？

数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.问题：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几15练一练：练一练：16⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：数量积的运算律下面我们证明运算律（3）：⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：数量积的运算律下面我们17⑶分配律：.OCAA1BB1⑶分配律：.OCAA1BB118想一想：∴向量数量积不满足结合律.向量的数量积满足结合律吗？说明：即：成立吗？想一想：∴向量数量积不满足结合律.向量的数量积满足结合律19应用举例××××××√√应用举例××××××√√20⑶、⑸、⑺⑶、⑸、⑺21常用公式常用公式22例、练习1、练习1、例、练习1、练习1、23利用平面向量数量积求解长度问题利用平面向量数量积求解长度问题24变式：变式：25利用平面向量数量积求解夹角问题例：已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a

5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角利用平面向量数量积求解夹角问题例：已知a、b都是非零向量26课堂小结：1、向量的数量积的定义已知两个非零向量

与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做与的数量（或内积,点乘），即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．2、向量数量积的几何意义3、数量积运算律（交换律）（数乘结合律）（分配律）课堂小结：1、向量的数量积的定义已知两个非零向量与27课堂小结：4、向量数量积的性质5.常用︱a︱＝求向量的模.

常用求向量的夹角.课堂小结：4、向量数量积的性质5.常用︱a︱＝281、有四个式子：⑴⑵⑶⑷其中正确的个数为（）

A、4个B、3个C、2个D、1个2、已知、都是单位向量，下列结论正确的是（）

A、B、C、∥D、3、有下列四个关系式：⑴⑵⑶⑷，其中正确的个数是（）

A、1B、2C、3D、4DBA作业1、有四个式子：⑴⑵⑶DBA294.判断下列命题正确与否：（1）若

a=0，则对任一向量b，有a·b=0。（2）若

a

≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0。（3）若

a≠0

，a·b=0，则b=0。（4）若

a·b=0，则a、b中