2021-2022学年内蒙古镶黄旗一中高一（下）期中数学试卷（理科） - 解析版

2021-2022学年内蒙古镶黄旗一中高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每题5分，共60分）1．（5分）若扇形的弧长是3πcm，面积是6πcm2，则该扇形圆心角的弧度数θ＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由弧长公式求出扇形半径，然后结合弧长公式可求．【解答】解：由题意得，S＝＝＝6π，故r＝4cm，所以＝．故选：D．2．（5分）已知α为第二象限角，则在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限【答案】B【分析】根据角α的终边在第二象限，建立角α满足的不等式，两边除以2再讨论整数k的奇偶性，可得的终边所在的象限．【解答】解：∵角α的终边在第二象限，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈Z∴kπ+＜＜kπ+，①当k为偶数时，2nπ+＜＜2nπ+，n∈Z，得是第一象限角；②当k为奇数时，（2n+1）π+＜＜（2n+1）π+，n∈Z，得是第三象限角；故选：B．3．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣2，），则sinα﹣2tanα＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：因为角α的终边经过点P（﹣2，），所以则sinα＝＝，tanα＝﹣，则sinα﹣2tanα＝﹣2×（﹣）＝．故选：A．4．（5分）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0【答案】D【分析】先求出2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，即可判断．【解答】解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．5．（5分）若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是（）A．与共线 B．与相等 C．与是相反向量 D．与模相等【答案】B【分析】根据四边形ABCD是矩形再结合共线向量，相等向量，相反向量，向量的模的概念判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD故A，D答案对AC＝BD但的方向不同故B答案错AD＝CB且AD∥CB且的方向相反故C答案对故选：B．6．（5分）函数定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数的解析式求得cosx≥，再根据余弦函数的图象可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，由此求得x的范围．【解答】解：∵函数，∴2cosx﹣1≥0，即cosx≥，∴2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故选：C．7．（5分）函数f（x）＝2sin（2x+）的图象（）A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝﹣对称 C．关于点（，0）对称 D．关于点（π，0）对称【答案】A【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）＝2sin（2x+），令2x+＝kπ+，求得x＝+，k∈Z，可得它的图象关于直线x＝+对称，故排除B，选A．令2x+＝kπ，求得x＝﹣，k∈Z，可得它的图象关于点（﹣，0）对称，故排除C，D，故选：A．8．（5分）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，） B．（，π） C．（π，） D．（，2π）【答案】A【分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．【解答】解：令，k∈Z．则，k∈Z．当k＝0时，x∈[，]，（0，）⊆[，]，故选：A．9．（5分）函数的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】判断函数的定义域以及奇偶性，利用排除法进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）是偶函数，排除C，D，当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除A，故选：B．10．（5分）下列各式中不能化简为的是（）A．（﹣）﹣ B．﹣（+） C．﹣（+）﹣（+） D．﹣﹣+【答案】D【分析】根据向量加法的几何意义进行运算即可．【解答】解：A.＝，∴A错误；B.，∴B错误；C.＝，∴C错误；D.，∴D正确．故选：D．11．（5分）如图，在△ABC中，＝3，＝，则＝（）A．+ B．﹣ C． D．﹣+【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．【解答】解：∵＝3，∴＝+＝+＝+（﹣）＝+，∵＝＝+，∴＝﹣＝+﹣＝﹣，故选：B．12．（5分）已知函数，则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣π B．y＝f（x）的图象关于直线对称 C．f（x）在（0，）上单调递增 D．y＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度可得到f（x）的图象【答案】C【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：对于函数，∵f（﹣π+x）＝f（x），故f（x）的一个周期为﹣π，故A正确；∵，为最小值，故f（x）的图象关于直线对称，故B正确；∵上不单调，故C错误；把y＝sin2x向左平移个单位得到，故D正确，故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知tan（α﹣）＝，则tanα＝．【答案】【分析】由诱导公式及正切函数周期，将化为，再利用正切的差角公式展开即可求得．【解答】解：由已知：tan（）＝tan[（）﹣π]＝tan（）＝，可得＝，解得tanα＝．故答案为：．14．（5分）已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，由∥，可得关于λ的方程，再求出λ即可．【解答】解：因为＝（2，5），＝（λ，4），∥，所以8﹣5λ＝0，解得λ＝．故答案为：．15．（5分）已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，则λ＝．【答案】见试题解答内容【分析】利用向量的坐标运算求得﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），再由（﹣λ）⊥，可得（﹣λ）•＝0，即可求解λ的值．【解答】解：因为向量＝（1，3），＝（3，4），则﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），又（﹣λ）⊥，所以（﹣λ）•＝3（1﹣3λ）+4（3﹣4λ）＝15﹣25λ＝0，解得λ＝．故答案为：．16．（5分）sin20°sin80°﹣cos160°sin10°＝．【答案】见试题解答内容【分析】根据诱导公式与特殊角的三角函数值，化简即可．【解答】解：sin20°sin80°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin（20°+10°）＝sin30°＝．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（10分）化简：（1）．（2）．【答案】（1）1．（2）﹣1．【分析】（1）利用诱导公式即可化简求解；（2）利用诱导公式即可化简求解．【解答】解：（1）＝＝1．（2）＝＝﹣1．18．（10分）已知0＜α＜，sinα＝．（1）求tan2α的值；（2）求的值；（3）若0＜β＜且cos（α+β）＝﹣，求sinβ的值．【答案】（1），（2），（3）．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正切公式即可求解tan2α的值；（2）利用二倍角公式可求cos2α，sin2α的值，进而利用两角和的余弦公式即可求解；（3）利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β）的值，进而利用两角差的正弦公式即可求解sinβ的值．【解答】解：因为0＜α＜，sinα＝，所以cosα＝＝，tanα＝＝，（1）tan2α＝＝＝﹣；（2）因为cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，sin2α＝2sinαcosα＝，所以＝（cos2α﹣sin2α）＝×（﹣﹣）＝；（3）因为0＜β＜，0＜α＜，所以α+β∈（0，π），又cos（α+β）＝﹣，所以sin（α+β）＝＝，所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣（﹣）×＝．19．（10分）已知．（1）当k为何值时，与共线？（2）当k为何值时，与垂直？（3）当k为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1），（2）﹣，（3）k＞﹣且k≠．【分析】（1）根据题意，求出与的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得（k+2）×2﹣1×5＝0，解可得k的值，即可得答案；（2）根据题意，求出与的坐标，由向量垂直的判断方法可得（）•（）＝2（k+2）﹣5＝0，解可得k的值，即可得答案；（3）根据题意，求出与的坐标，分析可得（）•（）＞0且与不共线，据此可得关于k的不等式，解可得答案．【解答】解：（1）根据题意，，则＝（k+2，1），＝（5，2），若与共线，则有（k+2）×2﹣1×5＝0，解可得：k＝，（2）根据题意，＝（k+2，1），＝（5，2），若与垂直，则（）•（）＝2（k+2）﹣5＝0，解可得：k＝﹣，（3）根据题意，＝（k+2，1），＝（5，2），若与的夹角为锐角，则有（）•（）＞0且与不共线，即（）•（）＝2（k+2）﹣5＞0且（k+2）×2﹣1×5≠0，解可得：k＞﹣且k≠．20．（10分）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且．（1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与共线的向量有哪些？（3）请一一列出与．相等的向量．【答案】（1），，，；（2），，，，，，，，；（3）与相等的向量有：，，，与相等的向量有：，，，与相等的向量有：，，．【分析】根据图形，结合向量相等，相反的概念直接观察可得．【解答】解：（1）由正六边形可知，与的长度相等、方向相反的向量有，，，；（2）与共线的向量有，，，，，，，，；（3）与相等的向量有：，，，与相等的向量有：，，，与相等的向量有：，，．21．（15分）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若．（1）求λ+μ的值；（2）若，，试用基底表示．【答案】（1）λ+μ＝，（2）＝+．【分析】（1）根据题意，分析易得△DEF∽△AEB，由此可得DF＝AB，即＝，由向量加法的三角形法则可得＝+＝+，求出λ、μ的值，相加可得答案；（2）根据题意，由向量加法的平行四边形法则可得，变形可得＝（﹣），＝（+），代入＝+中，变形计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，在平行四边形ABCD中，DF∥AB，则有△DEF∽△AEB，故＝＝，则DF＝AB，则＝，则有＝+＝+，故λ＝，μ＝1，λ+μ＝；（2）根据题意，，，则，解可得＝（﹣），＝（+），由（1）的结论：＝+，则＝（+）+×（﹣）＝+．22．（15分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求sinα的值．【答案】（Ⅰ）[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由辅助角公式知f（x）＝2sin（x+），再结合正弦函数的单调性，得解；（Ⅱ）易知sin（α+）＝，进一步推出α+∈[，π]，从而得cos（α+）的值，再利用凑角思想，由α＝（α