2022-2023学年内蒙古呼和浩特市重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年内蒙古呼和浩特市重点中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数1i−2的虚部为A.15 B.15i C.−2.已知AB=(2,3)，AA.8 B.5 C.2 D.73.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|，且A.π3 B.π6 C.5π4.在空间中，l，m是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是(

)A.若l⊂α，m⊂β，α//β，则l//m

B.若l//m，m⊂β，则l//β

C.5.已知sinα−cA.−79 B.−29 C.6.复数z=i20231A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.若tanθ=−A.−65 B.−25 C.8.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示，图中共有2个正三角形).然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形)，这个过程称之为迭代.在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形(图中共有10个正三角形)，其中最小的正三角形面积为(

)

A.334 B.1 C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题中，真命题的是(

)A.若z为实数，则z−=z B.若z−=z，则z为实数

C.若z为实数，则z−⋅10.对于△ABC，有如下命题，其中正确的有A.若sin2A=sin2B，则ABC是等腰三角形

B.若ABC是锐角三角形，则不等式sinA>cosB11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGA.OA⋅OD=−2212.如图，下列正方体中，O为底面的中点，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OPA. B.

C. D.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.tan23°14.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若a⊥b，a⊥α，则b//α；②若a//α，α⊥β，则a⊥β；

③若a⊥β，α⊥β，则15.复数z=i1+2i，则16.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰为2，上底面为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，c=(2,y)，且a//b，a18.(本小题12.0分)

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2csinA=3a．

(1)19.(本小题12.0分)

某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点(如图)，它们相距5(3+3)海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．

(Ⅰ)求B点到D点的距离BD；

20.(本小题12.0分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量a=(2a,3)，b=(c,sinC)，且a/21.(本小题12.0分)

已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C22.(本小题12.0分)

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2−a2=bc．

(Ⅰ)已知_______，计算△ABC的面积；

请从①a=答案和解析1.【答案】C

【解析】解：复数1i−2=i+2(i−2)(i+2)=2.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了向量数量积的定义及性质的坐标表示，属于基础题．

由BC=AC−AB【解答】解：∵AB=(2,3)，AC=(3,t)，

∴B

3.【答案】A

【解析】解：∵(a−b)⊥b，

∴(a−b)⋅b=a⋅b−b2

=|a||b|cos4.【答案】D

【解析】解：若l⊂α，m⊂β，α//β，则l//m或l与m异面，故A错误；

若l//m，m⊂β，则l//β或l⊂β，故B错误；

若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊂β或l5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了二倍角公式，属于基础题．

由条件，两边平方，根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系即可求出．【解答】解：∵sinα−cosα=4

6.【答案】D

【解析】解：因为i2023=i3=−i，

所以z=−i1−2i=−i(1+2i7.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于基础题．

由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征将其“弦化切”即可求得三角函数式的值．【解答】解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ

8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查归纳推理，问题的关键是利用余弦定理找到边长之间的关系，属于中档题．

先用余弦定理得到边长之间的关系，再结合归纳推理找到规律，求出最小正三角形的边长即可．【解答】解：设最大正三角形的边长为a1，则a1=243，

其内部迭代出的正三角形的边长分别为a2，a3...a10，

由余弦定理得a22=(a13)2

9.【答案】AB【解析】解：对于A，设z=a+bi(a,b∈R)，因为z为实数，所以b=0，z=a，于是z−=a−bi=a，所以A对；

对于B，设z=a+bi(a,b∈R)，则z−=a−bi，因为z−=z，所以b=10.【答案】BC【解析】解：对于A，由sin2A=sin2B及A，B∈(0,π)得2A=2B或2A+2B=π，则A=B或A+B=π2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；

对于B，由ABC是锐角三角形得A+B>π2，则π2>A>π2−B>0，∴sinA>11.【答案】AC【解析】解：八边形ABCDEFGH为正八边形，|OA|=2，|OD|=2，∠AOD=3π4，

OA⋅OD=|OA||OD|cos3π4=2×2×(−22)12.【答案】BC【解析】解：对于A，设正方体棱长为2，设MN与OP所成角为θ，

则tanθ=1124+4=22，∴不满足MN⊥OP，故A错误；

对于B，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，

则N(2,0,0)，M(0,0,2)，P(2,0,1)，O(1,1,0)，

MN=(2,0,−2)，OP=(1,−1,1)，

MN⋅OP=0，∴满足MN⊥OP，故B正确；

对于C，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，

则M(2,2,2)13.【答案】1

【解析】【分析】本题考查了两角和与差的正切公式，属于基础题．

根据23°+22【解答】解：∵23°+22°=45°，tan45°=1，

14.【答案】④

【解析】【分析】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．

对于①，b//α或b⊂α；对于②，a与β相交、平行或a⊂β；对于③，a【解答】解：设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：

对于①，若a⊥b，a⊥α，则b//α或b⊂α，故A错误；

对于②，若a//α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故②错误；

对于③，若a⊥β，α⊥β，则a//α或

15.【答案】45【解析】解：z=i1+2i=i(1−2i)(1+2i16.【答案】4【解析】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法画出原平面图形，

所以BC=B′C′=1，

OA=O′A′=1+(217.【答案】解：(1)因为向量a=(1,2)，b=(3,x)，c=(2,y)，且a//b，a⊥c，

所以x=2×3=6，1×2+2y=0，

故【解析】(1)由已知结合向量平行及垂直的坐标表示即可求解；

(2)18.【答案】解：(1)由已知及正弦定理可得2sinCsinA=3sinA．

因为A为锐角，则sinA≠0，

所以sinC=32．

因为C为锐角，则C【解析】(1)由已知及正弦定理，结合sinA≠0，可求sinC的值，结合C为锐角，可求C的值．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意知AB=5(3+3)海里，

∠DBA=90°−60°=30°，∠DAB=90°−45°=45°，

则∠ADB=180°−(45°+30°)=105°，

【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题，两角和与差的正弦公式，属于中档题．

(Ⅰ)由题意求得∠ADB的大小，利用正弦定理即可求出BD的长．

(Ⅱ)在△DCB20.【答案】解：(1)∵a//b，

a=(2a,3)，b=(c,sinC)，

∴2asinC=3c，

由正弦定理asinA=csinC，

【解析】本题考查了向量平行，正余弦定理和三角形面积公式，考查了运算能力，属基础题．

(1)由a//b，可得2asinC=3c，然后利用正弦定理可得角21.【答案】解：(1)∵A+B=3C，A+B+C=π，

∴4C=π，

∴C=π4，

∵2sin(A−C)=sinB，

∴2sin(A−C)=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)，

∴2sinAcosC−2【解析】(1)由三角形内角和可得C=π4，由2sin(A−C)=sinB，可得2sin22.【答案】解：(Ⅰ)若选②b=