第一章计数原理章末小结课件

第一章计数原理章末小结

第一章1

计数原理

2

1．两个计数原理(1)应用分类加法计数原理，应准确进行“分类”，明确分类的标准：每一种方法必属于某一类(不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重)，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情”．(2)应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成这件事情，需要分成若干步骤，“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可，但也不能重复、交叉。只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成．1．两个计数原理3（3)两个计数原理的主要作用是计数，应用时要考虑以下三方面的问题：①要做什么事；②如何去做这件事；③怎样才算把这件事完成了．并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法．2．排列

排列定义特别强调了按“一定顺序”排成一列，就是说，取出的元素不同一定是不相同的排列，即使元素相同，顺序不同，也不是相同的排列．在具体问题中先要分清是“有序”还是“无序”的问题．（3)两个计数原理的主要作用是计数，应用时要考虑以下三方面的4

3．组合(1)组合的定义中包含两个基本内容：一是取出“元素”，二是“并成一组”，即表示与顺序无关．(2)只有两个组合中的元素不完全相同才是不同的组合．

4．解决排列组合问题的关键是分清问题是否与“顺序”有关，与顺序有关是排列问题，与顺序无关是组合问题。

5．解决排列组合问题常用的策略

1）特殊元素,特殊位置优先安排策略;2）正难则反间接处理的策略；3）相邻问题捆绑处理的策略;4）不相邻问题插空处理的策略;5）定序问题、平均分组问题除法处理的策略;3．组合4．解决排列组合问题5第一章6

(3)二项式及其展开式的实质是一个恒等式，无论x取什么值，左、右两边代数式的值总对应相等．通常利用这一点，分析x取何值时，展开式等于所求式，再将此x值代入左侧的二项式，就可以得出结果，这种处理方法叫做赋值法．(4)解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)．因此，掌通项公式是解决问题的关键。(3)二项式及其展开式的实质是一个恒等式，无论7第一章8第一章9例2.设椭圆的焦点在轴上，a∈{1，2，3，4，5，6，7}，b∈{1，2，3，4,5},则这样的椭圆共有（）个.A.35B.25C.21D.20解析：a、b的一种取法对应一个焦点在轴上的椭圆方程，当a取2时，b只能取1，有1种取法；当a取3时，b只能1，2中取1个，有2种取法；当a取4时，b只能1，2，3中取1个，有3种取法；当a取5时，b只能1，2，3，4中取1个，有4种取法；当a取6时，b只能1，2，3，4，5中取1个，有5种取法；当a取7时，b只能1，2，3，4，5中取1个，有5种取法；根据分类计数原理，共有1+2+3+4+5+5=20种取法，即20个满足条件的椭圆，故选D.例2.设椭圆101．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多

站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同站法的种数是________(用数字作答)．解析：正面考虑，问题较复杂，不易解决，若从反面考虑，即先不考虑“每级台阶最多站2人”的情况．因为甲、乙、丙3人站这7级台阶，每人都有7种不同的站法，因此共有73种不同的站法，而3人同站在一级台阶的站法有7种，是不符合题意的．所以满足条件的不同站法的种数是73－7＝336.答案3361．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站112．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有多少种？解：当A＝{1}时，B为{2,3,4,5}的非空子集即可，有15个．当A中最大数为2(有2个)时，则B有7个．当A中的最大数为3(有4个)时，则B有3个；当A中最大数为4(有8个)时，B＝{5}，故共有15＋2×7＋4×3＋8＝49(种)不同的选择方法．2．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A12例3．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组

成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．(用数字作答)答案：300解析：符合条件的四位数的个位必须是0或5，另外0不能排在首位，因此分为三类：①选0不选5，有(个)；②选5不选0，有(个)；③0和5都选，

(个)．由分类加法计数原理，所求四位数共有72＋108＋120＝300(个)．例3．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中13

[例4]

由1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12345，第2项12354，…直到末项(第120项)是54321.问：(1)43251是第几项？(2)第93项是怎样的一个五位数？[例4]由1、2、3、4、5五个数字组成没有14第一章153.

五位老师和五名学生站成一排：(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法；(2)五名学生不能相邻共有多少种排法；(3)老师和学生相间隔共有多少种排法．[解]

(1)先将五名学生“捆绑”在一起看作一个与五位老师排列有

种排法，五名学生再内部全排列有

种，故共有

＝86400种排法．3.五位老师和五名学生站成一排：16第一章174，一段楼梯共有17个台阶，某人一步可以上一个或两个台阶，11步走完，共有多少种不同的走法？解：11步走完，则需用5步走一个台阶，6步走两个台阶。问题等价于在11个位置填入5个1（一步）6个2（两步）有多少填法的问题，所以有5．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？

解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为种方法4，一段楼梯共有17个台阶，某人一步可以上一个或两个台阶，1186．(2012·四川高考)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 (

)A．60条 B．62条C．71条 D．80条6．(2012·四川高考)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，19答案：B答案：B207．(1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？7．(1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少21第一章22答案：D答案：D23第一章24

如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．【例6】如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开25第一章26第一章27第一章28(4)令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64.令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)6＝4096.两式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4160，所以a6＋a4＋a2＋a0＝2080.[答案]

(1)C

(2)B

(3)B

(4)2080(4)令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝29答案：B答案：B3010．在(1－3x)12的展开式中，求：(1)各项二