2022-2023学年河南省南阳市十校联考八年级（下）期末数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.将分式约分的结果是()

A.B.C.D.

2.平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是()

A.B.C.D.

3.蚕丝是大自然中的天然纤维，是中国古代文明产物之一某蚕丝的直径大约是米，用科学记数法表示为()

A.B.C.D.

4.在中，，则的度数是()

A.B.C.D.

5.某大学生参加了校园招聘测试，其教育学、心理学、专业课分别得分、分、分若依次按照：：的权重计算，则她的最终成绩为()

A.分B.分C.分D.分

6.已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是()

A.B.C.D.不能确定

7.如图，菱形的对角线，的长分别为和，则这个菱形的周长是()

A.

B.

C.

D.

8.要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是()

A.测量四边形画框的两个角是否为

B.测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分

C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等

D.测量四边形画框的四边是否相等

9.如图，四边形的顶点，都在坐标轴上，，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是()

A.B.C.D.

10.如图，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图所示，则边的长是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.若双曲线位于第二、四象限，则的取值范围是______．

12.已知，则分式的值为______．

13.在某次射击比赛中，甲、乙二人次射击成绩的平均数相同，方差分别为，，则二人射击成绩比较稳定的是______填“甲”或“乙”

14.如图，在中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段的最小值为______．

15.如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为若，分别是，的中点，且，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

计算：；

化简：．

17.本小题分

如图，是菱形的对角线，．

请用尺规作图法，在上找点，使；不要求写作法，保留作图痕迹

在的条件下，连接，求的度数．

18.本小题分

某中学八年级组利用班会课对全年级学生进行了一次防溺水知识测试活动，现从八、八两个班各随机抽取名学生的测试成绩得分用表示，将名学生的成绩分为四组进行整理，部分信息如下：

班级中位数平均数众数

八

八

八班的测试成绩在组中的数据为：，，，．

八班的测试成绩：，，，，，，，，，．

根据以上信息，解答下列问题：

______，______；

通过以上数据分析，你认为八、八中哪个班级学生对防溺水知识掌握得更好？请写出一条理由．

19.本小题分

如图，在平行四边形中，，为对角线的三等分点，连接，，，．

求证：≌．

判断四边形的形状，并说明理由．

20.本小题分

如图，直线：过点，并且分别与轴，轴相交于点和点．

求直线的表达式；

直接写出方程的解为______；

将直线向上平移个单位长度，交坐标轴于，两点，求的面积．

21.本小题分

某校体育社团由于报名人数激增，决定从某体育用品店购买若干足球和篮球，用于日常训练已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍．

问篮球和足球的单价各是多少元？

根据学生报名情况，杜团需一次性购买篮球和足球共个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过元，那么社团最多可以购买篮球多少个？

22.本小题分

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．

求一次函数的表达式；

若点关于轴的对称点为，连接，，求的面积；

根据图象直接写出时的取值范围．

23.本小题分

问题情境

在正方形中，为正方形边上一点，过点，作直线，过点，，分别作，，，垂足分别是点，，．

猜想证明如图，当是边上的点时，过点作，交于点．

试判断四边形的形状，并加以证明；

试猜想与之间的数量关系，并加以证明；

问题拓展

如图，当点是边上的点时，其他条件不变，若，，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．

故选：．

依据分式的基本性质约分即可．

本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．

2.【答案】

【解析】解：点，

关于原点对称的点的坐标是，

故选：．

根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是可以直接得到答案．

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标变化规律．

3.【答案】

【解析】解：．

故选：．

科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

4.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，

故选：．

由平行四边形的性质可直接求解．

本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：根据题意，她的最终成绩为分，

故选：．

根据加权平均数的定义计算即可．

本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．

6.【答案】

【解析】解：，

随的增大而减小，

又点，在一次函数的图象上，且，

．

故选：．

由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．

本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：由菱形对角线性质知，，，且，

则，

故这个菱形的周长．

故选：．

由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．

本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键，难度一般．

8.【答案】

【解析】解：、测量四边形画框的两个角是否为，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；

B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；

C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C不符合题意；

D、测量四边形画框的四边是否相等，能判定为菱形，故选项D不符合题意；

故选：．

由平行四边形的判定与性质、菱形的判定，矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：设，则，，

四边形是平行四边形，

，

即，

．

故选：．

设，则，，代入平行四边形的面积公式即可．

本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义、平行四边形的面积，能根据平行四边形的面积列出等式是解决本题的关键．

10.【答案】

【解析】解：作于点，

由图象可知，，，当时，点与重合，

在中，，

，

在中，，

故选：．

根据图象及勾股定理求得边上的高，再利用勾股定理求解．

本题考查函数图象与三角形的综合运用，理解图象并掌握勾股定理求三角形的方法是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：双曲线位于第二、四象限，

，

．

故答案为：．

由反比例函数图象的位置在第二、四象限，可以得出，然后解这个不等式就可以求出的取值范围．

本题主要考查了反比例函数的图象及其性质，用到的知识点：对于反比例函数来说，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．

12.【答案】

【解析】解：，

，

．

故答案为：．

先求出，再把代入，最后求出答案即可．

本题考查了分式的值，能求出是解此题的关键．

13.【答案】甲

【解析】解：，，

，

二人射击成绩比较稳定的是甲．

故答案为：甲．

根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可解答．

本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

14.【答案】

【解析】解：设、交于点，如图所示：

四边形是平行四边形，

，，

最短也就是最短，

过作于点，

，

是含角的直角三角形，

，

，

的最小值，

故答案为：．

由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据含角的直角三角形的性质即可求出的最小值．

本题考查了平行四边形的性质、角的直角三角形的性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建角的直角三角形．

15.【答案】或

【解析】解：连接，

四边形是矩形，

，，

，

、分别是、的中点，

，

、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，

，

，

即，

在与中，

，

≌，

，

在与中，

，

≌，

，

四边形是平行四边形，

，

当，四边形是矩形，分两种情况：

，，

，

当时，，

即，

解得：，

当时，，

即，

解得：，

当或时，四边形是矩形，

故答案为：或．

连接，根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质得出，，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可．

此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答．

16.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；

原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．

此题考查了分式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17.【答案】解：如图所示，点即为所求；

四边形是菱形，

，

垂直平分线段，

，

，

．

【解析】分别以、为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；

根据计算即可．

本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．

18.【答案】

【解析】解：由直方图可知，八班测试成绩个数据按从小到大的顺序排列，第个、第个数落在组，分别为和，

中位数，

八班的测试成绩为：，，，，，，，，，．

众数．

故答案为：，；

根据以上数据，我认为八学生对防溺水知识掌握得更好．

理由：八防溺水知识测试成绩的中位数、平均数和众数均高于八班．

根据中位数、众数的定义，可以得到、的值；

根据题目中的数据，可以从中位数、平均数、众数来说明理由，注意本题答案不唯一，符合实际即可．

本题考查频数分布直方图、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，，

，

，为对角线的三等分点，

，

在和中，

，

≌；

解：四边形是平行四边形，理由如下：

≌，

，，

，

四边形是平行四边形．

【解析】由“”可证≌；

由全等三角形的性质可得，，可得结论．

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．

20.【答案】

【解析】解：直线：过点，

，解得：，

直线的表达式为；

方程的解为，

故答案为：；

将直线：向上平移个单位得直线：，

当，，当，，

，，

，，

的面积．

将点代入即可得的值；

解方程即可得到结论；

根据平移的规律求得平移后的解析式，根据三角形的面积公式即可得到结论．

本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积等，求得平移的直线的解析式是解题的关键．

21.【答案】解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，

根据题意，得，

解得，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

．

答：篮球的单价是元，足球的单价是元；

设学校购买个篮球，则购买足球个，

则，

．

答：社团最多可以购买篮球个．

【解析】设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍列出方程，解方程即可；

设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，根据总费用不超过元，列出不等式，求出的取值范围．

本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式

22.【答案】解：，两点在图象上，

，，

，，

，在一次函数的图象上，

，解得，

一次函数解析式为：，

一次函数解析式为：，令，则，

点，

点关于轴的对称点为，

点，

，

．

由图象可知：若时的取值范围是：或．

【解析】将，代入求出、，待定系数法求出一次函数解析式；

由一次函数解析式求出点的坐标，根据对称求出点坐标，可算出和，两者之和即是的面积；

根据图象，可直接写出的取值范围．

本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，数形结合是确定自变量取值范围