【重点突围】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 一元二次方程的概念（解析版）

一元二次方程的概念考点一判断方程是否是一元二次方程考点二根据一元二次方程的概念求参数的值考点三一元二次方程的一般形式考点四已知一元二次方程的一个解求参数或代数式的值典型例题典型例题考点一判断方程是否是一元二次方程例题：（2022·全国·九年级单元测试）下列方程：①x2-1=0；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）；③x+=2；④2x2-=0⑤ax2+bx+c=0．其中是一元二次方程的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】解：①x2-1=0是一元二次方程；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）是一元二次方程；③x+=2是分式方程不是一元二次方程；④2x2-=0不是一元二次方程；⑤ax2+bx+c=0当a=0时不是一元二次方程．所以其中一元二次方程的个数是2个．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江绍兴·八年级期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：A、是一元二次方程该选项符合题意；B、是一元一次方程该选项不符合题意；C、是分式方程该选项不符合题意；D、是二元一次方程该选项不符合题意.故答案为：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义解题时要注意：①是整式方程②只含有一个未知数③所含未知数的项的最高次数是2．2．（2021·全国·九年级专题练习）判断下列各式是一元二次方程的是________．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．【答案】②③⑥【解析】【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①不是方程；②是一元二次方程；③是一元二次方程；④不是整式方程故不是一元二次方程；⑤含有2个未知数不是一元方程；⑥；是一元二次方程；⑦化简后没有二次项不是2次方程.∴②③⑥符合一元二次方程的定义．故答案为：②③⑥．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的辨别熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．考点二根据一元二次方程的概念求参数的值例题：（2022·四川成都·二模）若（其中a是常数）是关于x的一元二次方程则a的值为______．【答案】﹣3【解析】【分析】只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程∴a﹣1≠0解得：a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义正确把握定义是解题关键．【变式训练】1.（2021·辽宁·建昌县教师进修学校九年级期中）如果关于的方程是一元二次方程则___．【答案】-1【解析】【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式再求解即可．【详解】解：由题意得解得．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念掌握一元二次方程的概念是解题的关键．2.（2022·全国·九年级单元测试）若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程则m的值是________．【答案】-3【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可知二次项系数为2则可以得到m2−7＝2；再根据一元二次方程中二次项系数不等于零即可确定m的值．【详解】解：∵该方程为一元二次方程∴m2−7＝2解得m＝±3；当m＝3时m-3＝0则方程的二次项系数是0不符合题意；∴m＝-3故答案为：-3．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（abc是常数且a≠0）解题的关键是特别要注意a≠0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点．考点三一元二次方程的一般形式例题：（2022·全国·九年级单元测试）将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________其中二次项系数为________一次项系数为________．【答案】

3x2＋5x－3＝0

3

5【解析】【分析】将方程展开化简后即可求解．【详解】将开展为一般形式为：；则可知一次项系数为5二次项系数为3故答案为：35．【点睛】本题主要考查了将一元二次方程化为最简式以及判断方程各项系数的知识熟记相关考点概念是解答本题的关键．【变式训练】1．（2022·天津滨海新·九年级期末）一元二次方程化成一般形式后它的二次项系数和一次项系数分别是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先将原方程化为一般形式进而作答即可．【详解】一元二次方程化成一般形式为：它的二次项系数和一次项系数分别是5-4故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式即一元二次方程的一般形式是：(abc是常数且a

≠

0)特别要注意a≠

0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中叫二次项叫一次项c是常数项其中abc分别叫二次项系数一次项系数常数项．2．（2022·云南昭通·九年级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的和是_______．【答案】5【解析】【分析】ax2+bx+c=0（abc是常数且a≠0）这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项进行填空即可求得．【详解】解：由题意得：3x2-5x+7=0∴二次项系数为3一次项系数为-5常数项为7∴二次项系数、一次项系数、常数项的和是：3-5+7=5故答案为：5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式关键是一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（abc是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项bx叫一次项c是常数项．其中abc分别叫二次项系数一次项系数常数项．考点四已知一元二次方程的一个解求参数或代数式的值例题：（2022·四川成都·九年级期末）已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一个根则实数k的值为_____．【答案】【解析】【分析】将x=2代入方程得关于k的方程解之可得．【详解】解：将x=2代入方程得：22+2k-2=0解得：k=-1故答案为：-1．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义和解方程的能力掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．【变式训练】1.（2022·湖北恩施·二模）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解则－4b+2c=（

）A．8 B．－8 C．4 D．－4【答案】A【解析】【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个解将x=2代入原方程即可求得2b-c的值从而得解．【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根∴4+2b-c=0∴2b-c=-4．∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义．解题的关键是将x=2代入原方程利用整体思想求解．2.（2022·湖南娄底·二模）若a是的一个根则的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【解析】【分析】由是方程的一个根得由此可求得的值．【详解】解：是方程的一个根即．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解熟知一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．课后训练课后训练一、选择题1．（2022·河北石家庄·二模）是下列哪个方程的解（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】把x＝1代入各选项进行验算即可得解．【详解】解：A、5−1＝4≠6故本选项错误；B、4≠6故本选项错误；C、当x=1时x-1=0即分式的分母为0故本选项错误；D、故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了方程的解的概念使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解．2．（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）将方程化成的形式则abc的值分别为（

）A．351 B．35-1 C．3-5-1 D．3-51【答案】D【解析】【分析】将一元二次方程化成一般式即可得出结论．【详解】解：可化为∴a=3b=-5c=1．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式熟练掌握其形式是解决问题的关键．3．（2022·全国·九年级）关于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x＋2m＝15有一个根为﹣2则m的值等于（

）A．2 B． C．﹣2 D．【答案】D【解析】【分析】把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15即可求解．【详解】解：把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15得∶3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15解得m．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解熟练掌握方程解的定义是解题的关键．4．（2022·贵州毕节·九年级期末）关于x的一元二次方程(a−1)x2+a2−1=0的一个根是0．则a的值为（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】B【解析】【分析】方程的根即方程的解就是能使方程两边相等的未知数的值利用方程解的定义就可以得到关于a的方程从而求得a的值．【详解】解：把x=0代入方程得到：a2-1=0解得：a=±1．∵a-10∴a1∴a=-1故选：B．【点睛】本题主要考查了方程的根的定义是一个基础的题目．一元二次方程的解使方程的左右两边相等．5．（2022·全国·九年级）下列方程中一元二次方程共有（

）个．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义一一判定即可．【详解】解：①x2﹣2x﹣1＝0符合一元二次方程的定义是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0没有二次项系数不为0这个条件不符合一元二次方程的定义不是一元二次方程；③不是整式方程不符合一元二次方程的定义不是一元二次方程；④﹣x2＝0符合一元二次方程的定义是一元二次方程；⑤（x﹣1）2+y2＝2方程含有两个未知数不符合一元二次方程的定义不是一元二次方程；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2方程整理后未知数的最高次数是1不符合一元二次方程的定义不是一元二次方程．综上所述一元二次方程共有2个．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程首先要看是否是整式方程然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．二、填空题6．（2021·全国·九年级课时练习）一元二次方程化为一般形式为______它的二次项是_______一次项是_______常数项是_______．【答案】

【解析】【分析】首先利用完全平方公式进行计算然后再把5移到等号左边合并同类项即可得到然后再确定二次项、一次项系数和常数项．【详解】解：方程整理为一般形式为∴二次项是一次项是常数项是．故答案为：【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式关键是掌握一元二次方程的一般形式是：（abc是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项bx叫一次项c是常数项．其中abc分别叫二次项系数一次项系数常数项．7．（2022·全国·九年级）关于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0当m满足______时方程为一元二次方程当m满足______时方程为一元一次方程．【答案】

【解析】【分析】分别根据一元二次方程和一元一次方程的定义列式求解即可.【详解】解：由题意得：m2﹣4≠0解得：即当时方程为一元二次方程；由题意得：m2﹣4＝0且m﹣2≠0解得：m＝﹣2即当m＝﹣2时方程为一元一次方程．故答案为：；m＝﹣2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义解题的关键是掌握一元二次方程是通过化简后只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程；一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．8．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）若关于的方程是一元二次方程则________．【答案】-1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2再求出k即可．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程∴k−1≠0且|k|＋1＝2解得：k＝−1故答案为：−1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键只含有一个未知数并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．9．（2022·江苏连云港·中考真题）若关于的一元二次方程的一个解是则的值是___．【答案】1【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是∴∴故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义代数式求值熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．10．（2022·江苏淮安·九年级期末）若a是方程3x2-4x-3=0的一个根则代数式值为_________．【答案】7【解析】【分析】由a是方程3x2-4x-3=0的一个根得利用整体代入即可求出答案.【详解】解：∵a是方程3x2-4x-3=0的一个根∴∴故答案为：7.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义再利用整体代入的方法求代数式的值找到题目中的倍分关系是解题的关键.三、解答题11．（2022·广东省深圳市沙湾实验学校九年级期末）把下列方程化成一般形式并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．【答案】(1)5x2+x﹣4＝0二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4(2)2x2+6x+1＝0二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1【解析】【分析】根据多项式的乘法化简再化为一元二次方程的一般形式进而求得二次项系数、一次项系数以及常数项．(1)化简后为5x2+x﹣4＝0因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；(2)化简后为2x2+6x+1＝0二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．【点睛】本题考查了多项式的乘法一元二次方程的一般形式理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项bx叫一次项c是常数项．其中abc分别叫二次项系数一次项系数常数项．12．（2022·上海·八年级专题练习）当m为何值时关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．(1)为一元二次方程；(2)为一元一次方程．【答案】(1)m＝3(2)m＝﹣1或m＝0m＝2【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得答案；（2）根据一元一次方程的定义可得答案．(1)由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程得解得m＝3．当m＝3时关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．(2)由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程得m+1＝0或解得m＝﹣1或m＝0m＝2当m＝﹣1或m＝0m＝2时关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义判断一个方程是否是一元二次方程首先要看是否是整式方程然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．13．（2021·全国·九年级期中）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．【答案】1【解析】【分析】根据方程的根的定义得到m2﹣2m﹣3＝0化简得m2﹣2m＝3再化简原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5将m2﹣2m＝3代入原式从而求得原式的值．【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根∴m2﹣2m﹣3＝0∴m2﹣2m＝3∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．【点睛】本题考查了方程的根的定义整式的乘法掌握相关