沪科版九年级数学下册《投影》教案及教学反思

沪科版九年级数学下册《投影》教案及教学反思一、背景介绍和教学目标《投影》是九年级数学下册中的一章，此处的投影指点到线的垂直投影和点到平面的垂直投影。通过学习《投影》，学生可以：理解数学中的投影概念；熟悉垂直投影的概念和性质；掌握点到直线的垂直投影计算方法；掌握点到平面的垂直投影计算方法；提高空间想象力和解决实际问题的能力。二、教学过程1.导入环节进入课堂，通过问答方式调查学生对投影的认知水平。提出问题：你们在生活中见过什么投影？有哪些数学中的投影概念？大家分享自己的观点，让学生了解到投影是一个广泛存在于生活中的现象，也是数学中的一个非常重要的概念。那么问题来了，投影到底是什么？2.概念讲解投影是指某个物体在某个方向上的影子或者投射出去的影子，分为点到直线的垂直投影和点到平面的垂直投影两种。接下来我们先来看看点到直线的垂直投影。3.点到直线的垂直投影3.1点到直线的垂直投影定义把点P到直线l上的垂足点记作M，那么PM就是点P到直线l上的垂直投影。如图：P

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M|

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|________l3.2点到直线的垂直投影计算方法以直线上的一个点A，作直线上的一条线段，如图：P

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A---M---B|

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|________l由勾股定理可以得到AM和AP的关系：AM²+PM²=AP²同理，我们可以得出PM的计算方法：PM=√(AP²-AM²)那么，接下来我们就可以通过实例来学习点到直线的垂直投影的计算方法。4.点到平面的垂直投影点到平面的垂直投影如果从表面上看，与点到直线的垂直投影很相似的。但是，点到平面的垂直投影有一点不同，在于它需要我们先求出平面的法向量。那么接下来我们就来了解一下点到平面的垂直投影的计算方法。4.1点到平面的垂直投影定义在平面内，过点P作该平面的垂线l，垂足为M，则PM就是点P到平面上的垂直投影。如图：P

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M|

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|__________l4.2点到平面的垂直投影计算方法我们需要先求出平面的法向量，然后标准化，得到一个单位向量，再通过点积的方式求出M到P的向量在法向量上的投影长度。下面，我们来看一个示例：设点A(1,2,3)在平面2x+y-z=0上。试求点A在该平面上的垂足M的坐标，并求点P(4,5,6)到平面2x+y-z=0的距离。解：这个题中，我们需要先把平面的法向量求出来，这可以通过平面的法向量系数的系数来确定，例如：2x+y-z=0的法向量为(2,1,-1)。然后，我们需要对法向量进行标准化处理，得到一个单位向量，为$\\frac{(2,1,-1)}{\\sqrt6}$。接下来，我们需要求出A在该平面上的垂足M的坐标，这可以通过计算点A到平面的距离来实现。得出M的坐标为(7/6,5/3,1/6)。最后，我们需要求出点P到平面的距离，这可以通过点积的方式来计算，结果为：$\\frac{|2*4+1*5-1*6|}{\\sqrt{6}}=\\frac{|2|}{\\sqrt{6}}$于是，点P到平面的距离为$\\frac{2}{\\sqrt{6}}$。5.总结通过本节课的学习，我们学习了点到直线的垂直投影计算方法和点到平面的垂直投影计算方法。同时，我们也进一步提高了自己的空间想象力和解决问题的能力。下一节课，我们将继续学习有关投影的知识，敬请期待。三、教学反思经过本次教学的实践和总结，我发现学生对数学中的投影概念缺乏了解，没有形成对它的认知，因此，我通过教学导入，让学生对投影有了大致的概念，然后系统讲解垂直投影的概念和计算方法。通过让学生通过实例来学习，