线性代数11向量组正交

定义1:

内积n设a

=(a1,a2

,,an

),b

=(b1,b2

,,bn

)都是n维向量则实数a1b1

+anbn称为向量a与b的内积，记作(a

,b)或a

b即 (

a

,

b

)

=

a1b1

+

an

bn

=

aibii

=1当a

和b都表示行向量时，用矩阵运算得到(a

,

b

)

=

ab

T＝ba

T当a和b都表示列向量时，用矩阵运算得到(a

,

b)

=

a

T

b＝bTa三维向量的内积定义引入力的做功性质（1）

(a

,b)＝(b,a

)（2）

(ka

,

b)＝k(a

,

b)（3）

(a

+

b,g)＝(a

,g)+(b,g)向量组的正交性a=

1称a为单位向量。a

=

(

1

,

1

,

1

),

b

=

(

1

,

1

)3

3

3

2

2e1

=

(1,0,,0),

e2

=

(0,1,,0),,

en

=

(0,0,,1).Then(a

,b)

£||

a

||||

b

||性质:当a

„0时，||

a

||>0;当a

=0时，||

a

||=0||

ka

||=|

k

|||

a

||||

a

+

b

||£||

a

||

+

||

b

||Cauchy

-

Schwarz

inequality(a

,b)2

£

(a

,a

)(b,b

)数值为向量的模、长度或范数.记为Tn定义2:

a

=

(a1

,

a2,,

a

)

,a2

+

a2

++

a21

2

na2a

=

(a

,a

)

=

a

Ta||

a

||

||

b

||定义3:当

||

a

||„

0

,

||

b

||„

0,

定义

a

和

b

的夹角q＝

arcco

s

(a

,

b

)

例

求向量a

=

1,2,2,3)与b

=

3,1,5,1)的夹角.解a

bb

cosq

=

a4\

q

=

p

.(a

,

b)b(b,

b)投影向量二、向量的正交性：1.定义4.若（a

,b）=0,则称向量a

与b

正交.即满足（a

i

,a

j

）=0,(i

„j)a1

,a

2

,,am为正交向量组,简称为正交组.则称向量组由定义知,若a

=0,则a

与任何向量都正交.2.定义5.

如果m个n维非零向量a1,a

2

,,am两两正交，e1

=

(1,0,,0),

e2

=

(0,1,,0),,

en

=

(0,0,,1).为正交向量组.

也称为单位正交组或标准正交组.3.正交向量组的性质定理:设a1,a

2

,,am为正交向量组,则a1,a

2

,,am线性无关。回忆:如何证明一组向量线性无关?由于

a

i

„

O

,

即(a

i

,

a

i

)

„

0

k

i\a1,a

2

,,am为线性无关向量组。证:

设k1a1

+

k2a

2

+

+

kmam

=

O

(ai

,

k1a1

+

k2a

2

+

+

kmam

)

=

(ai

,

O)

=

0

k1(ai

,a1

)

+

k2

(ai

,a

2

)

+

+

km

(ai

,am

)

=

0a1,a

2

,,am为正交向量组,则（ai，a

j

）=0,(i

„j)\

k

i

(a

i

,

a

i

)

=

0=

0

(

i

=1,2,···,m

)不是!

1

11

1

a

2

=

-

2

a1

=

1,正交，试求a

3使a

1

,a

2

,a

3

构成三维空间的一个正交基.问题:线性无关的向量组是否为正交组?反例：a1

=

(1,0,1),a

2

=

(0,0,1)三向量空间的正交基若a1

,a

2

,,ar是向量空间V的一个基,且a1

,a

2

,,ar是两两正交的非零向量组,则称a1

,a

2

,,ar是向量空间V的正交基.例1

已知三维向量空间中两个向量即{1

3

1

2

3(a

,a

)

=

x+

x

+

x

=

0解之得(a

2

,a3

)

=

x1

-

2x2

+

x3

=

0x1

=

-x3

,

x2

=

0.若令

x3

=1,

则有

x1

-1a3

=

x2

=

0

x

1

3

由上可知a

1

,a

2

,a

3构成三维空间的一个正交基.则有(a

1

,a

3

)

=

(a

2

,a

3

)

=

0(

)3

1

2

3T解:

设a

=

x

,

x

,

x„0,且分别与a1

,a

2正交.四规范正交基123400000012

1

2

.x

=12

,x

=-12

,x

=,x

=1

2

1

2

1

2

2

00

-1

定义3

设n维向量

e1

,

e2

,

,

er是向量空间

V

(VRn

)的一个基

,

如果e

,

e

,

,

e

两两正交且都是单位1

2

r向量,则称e1

,e2

,

,er是V的一个规范正交基.例如x1

,x2

,x3

,x4为R4的一规范正交基12

3

410

0

00

1

0

0e

=

,

e

=

,

e

=

,

e

=

.0

0

100

0

01

也为R4的一个规范正交基.空间的标准正交基也不唯一若e1

,e2

,,er是V的一个规范正交基,那么V中任一向量a

应能由e1

,e2

,,er线性表示,设表示式为α

=

λ1e1

+

λ2e2

++

λr

er为求其中的系数λ

(i

=1,2,,r),用eT

左乘上式,有i

ieT

α

=

λ

eT

e =

λ

,i

i

i

i

i即

λ

=

eT

α

=

(α,

e

).i

i

i五、向量组的正交规范化：公式：设a1,a

2

,,am为线性无关向量组，令12b1（b

，b1

）（a

2，b1

）b

=

a

2

-b1

=a1213b2（b

，b2

）（a

3，b2

）（b

，b1

）（a

3，b1

）b1

-b

=

a

3

-m

-1mb1

-

b2b

=

am

-（bm

-1，bm

-1

）（a

m，b2

）（b1，b1

）

（b2，b2

）（a

m，b1

）-

-（a

m，bm

-1

）

bb1,b2

,,bm为正交组。正交化再将b1,b2

,,bm为单位化，即得到单位正交向量组。单位化施密特正交化过程Schimidta1,a

2

,,am与b1,b2

,,bm等价；上面的正交化过程也可以用待定系数来理解例

用施密特正交化方法，将向量组a1

=

(1,1,1,1),a

2

=

(1,

-1,

0,

4),a3

=

(3,

5,1,

-1)正交规范化.解先正交化，b1

=

a1

=

(1,1,1,11

22211

1(b

,a

)b(b

,

b

)b

=

a

-1

+

1

+

1

+

11

-

1

+

4=

(1,-1,0,4)-(1,1,1,1)

=

0,-2,-1,3)取1

32

333121

1

2

2(b

,a

)(b

,a

)b(b

,

b

)(b

,

b

)b

=

a

-b

-22114b2b3

e

=

=

(0,

-2,

-1,

3)=

0,

-2

,

-1

,14

14

14

3366

6

6b3be

==

1

(1,1,

-2,

0

)=

1

,

1

,

-2

,

0

=

(3,5,1,

-1)-

8

(1,1,1,1)-

-14

(0,

-2,

-1,3)=

(1,1,

-2,

04

14再单位化，得规范正交向量组如下111be

==

1

(1,1,1,1)=

1

,

1

,

1

,

1

b

2

2

2

2 2

a1a3a2几

何

解

释b1b1

=

a1;2

211

1

2

1221(

,

),1b

b

a

bc

a2

bb1

b1b=

(

,)

=c

为a

在b

上的投影向量,即b2

=

a2

-

c2;c2b2c3为a3

在平行于b1

,b2的平面上的投影向量,c31

2331

2313231323313212(,

)(,

),b

b

c

ab

ba

ba

b2

b2

bb1b2c

=

c+

c

=+由于^

,故 等于 分别在,

上的投影向量c

及c

之和,即c31c32b3

=

a3

-

c3

.b3六、正交矩阵：定义6：若n阶方阵A满足AT

A

=E

(或A-1

=AT

)，则称A为n阶正交矩阵。性质：(i)

若A为n阶正交矩阵

A

=

–1.若A为n阶正交矩阵

AT

与A-1也是正交矩阵。若A,

B为n阶正交矩阵

AB与BA也是正交矩阵。(ii)(iii)A的行（列）3.正交矩阵的判定:定理：矩阵A

=

aij

n·n

为正交矩阵向量组为单位正交向量组。仅证列向量组的情形。A

=

(a1,a

2

,,an

)AT

A

=

EA为正交矩阵T1

a

T

a

T

n

a

T

1

0

01

0

0

0

1=

E

=

0j(i

„

j

)(a

i

,

a

i

)

=

1,

(a

i

,

a

)

=

0即a1,a

2

,,an为单位正交向量组。方法一、用定理。方法二、用定义。7

/

9

1

/

9-

4

/

9-4/9,A正交吗？-

8

/

9

-

4

/

91

/

9-

4

/

9A

=

-

8

/

9A A

=

2

(a1

a

2

an

)=

n n

a

Taa

Ta

a

Taa

Taa

Ta

a

Ta

a

Taa

Ta

a

Ta

n

1

n

22

n

2

11

n

1

22

21

1正交7

/

9

1

/

9-

4

/

9-1-

4

/

9,

A

-

8

/

9

-

4

/

9A

=

-

8

/

9 1

/

9-

4

/

9=

?

AT=

?7

-1

1

-

8

-

4

A

=

-

8

1

-

4,

A-

4

-

4B

=

1

A

B

-1

=

BT

=

1

AT9

9

B

-1

=

9

A-1

A-1

=

1

B

-1

=

1

AT9

817

1

-

8

-

4

A

=

-8

1