第二章随机变量及其分布课件

第二章随机变量及其分布第一节离散型随机变量及其分布第二节连续型随机变量及其分布第三节随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布第一节离散型随机变量及其分

概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念．1.随机变量第一节离散型随机变量及其分布概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.S={红色、白色}

非数量将S数量化可采用下列方法红色白色实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的即有X(红色)=1,X(白色)=0.这样便将非数量的S={红色，白色}数量化了.即有X(红色)=1,X(白色)=0.这实例2

抛掷骰子,观察出现的点数.S={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换且有则有实例2抛掷骰子,观察出现的点数.S={1，2，3，4，定义2.1.1设X＝X(w)是定义在样本空间W上的实值函数，称X＝X(w)为随机变量.随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示或希腊字母,η,ζ,….等表示。下图给出样本点w与实数X＝X(w)对应的示意图

Wx定义2.1.1设X＝X(w)是定义在样本空间W上的实实例3掷一个硬币,观察出现的面,共有两个结果:若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有即X是一个随机变量.实例3掷一个硬币,观察出现的面,共有两个若用实例4在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:若用X表示该家女孩子的个数时,则有可得随机变量X=实例4在有两个孩子的家庭中,考虑若用X表示该家女实例5

设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:实例6

观察某城市的120急救电话台一昼夜接到的呼叫次数．如果用X表示呼叫次数，那么表示一随机事件，显然也表示一随机事件．实例5设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则是实例7某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:实例7某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,随机变量是定义在样本空间上的一个函数,随机变量的取值随试验的结果而定，随机变量的某种取值都对应一个随机事件；而随机变量的取值概率即为所对应的随机事件的概率。说明随机变量是定义在样本空间上的一个函数,随机变量的取值随随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量的可能取值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X的可能取值是:随机变量连续型实例11,2,3,4,5,6.非离散型其它随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量的可能取值是有限实例2若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X的可能取值是:实例3

设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”,则X的所有可能取值为:实例2若随机变量X记为“连续射击,直至命中时实例1随机变量X为“灯泡的寿命”.(2)连续型

随机变量举例则X的取值范围为实例2

在区间[0，1]上随机地投点，随机变量X为“点的位置（坐标）”。则X的取值范围为[0，1]实例1随机变量X为“灯泡的寿命”.(2)连续型X取各个可能值的概率，即事件的概率为（2.1.1）则称（2.1.1）式为离散型随机变量X的分布律或概率分布。定义2.1.2设离散型随机变量X所有可能取值为2.离散型随机变量及其分布律X取各个可能值的概率，即事件分布律也可以直观地用下面的表格来表示：

由概率的定义知，分布律中的应满足以下条件：

随机变量X的所有取值随机变量X的各个取值所对应的概率分布律也可以直观地用下面的表格来表示：由概率的定义知，分布例1

设随机变量的分布律为，，试确定常数。解：例1设随机变量的分布律为

例2

某系统有两台机器相互独立地运转．设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X的分布律。

解（1）确定r.v.X的所有可能取值；（2）求X取各个可能值的概率，即求所对应的随机事件的概率。X=0,1,2例2某系统有两台机器相互独立地运转．设第一台与第二台故X的分布律为：

例2.2.1超几何分布故X的分布律为：例2.2.1超几何分布例3某盒产品中恰有8件正品，2件次品，每次从中不放回的任取一件进行检查，直到取到正品为止，ξ表示抽取次数，求ξ的分布律。解：ξ的可能取值为：1，2，3“第一次取到正品”

“第一次取到次品，第二次取到正品”

“前两次均取到次品，第三次取到正品”例3某盒产品中恰有8件正品，2件次品，每次从中不放思考：

将“无放回”改成“有放回”，求ξ的分布律。故

ξ的分布律为ξ的可能取值为：1，2，3，…例2.2.2几何分布思考：将“无放回”改成“有放回”，求ξ的分布律3.（0－1）分布（或两点分布）设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是则称X服从（0－1）分布或两点分布．

（0－1）分布的分布律也可写成

抛一枚硬币，观察出现正面H还是反面T，正面X＝0,反面X＝1TH3.（0－1）分布（或两点分布）设随机变量X只可能取0对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在W上定义一个服从（0－1）分布的随机变量．

来描述这个随机试验的结果。

检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述．对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即现在求Ｘ的分布律

．4.二项分布现在求Ｘ的分布律．4.二项分布显然

注意到刚好是二项式的展开式中出

～二项分布两点分布显然注意到刚好是二项式的展

这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.分析例2.2.4这是不放回抽样.但由于这批元件的总数解解作出上表的图形，如下图所示

定义：二项分布的最可能值为书P31作出上表的图形，如下图所示定义：解因此例2.2.5设每次射击命中目标的概率为0.01，现独立地射击400次，求（1）最可能命中目标的次数及相应的概率；（2）至少3次命中目标的概率？解因此例2.2.5设每次射击命中目标的概率为0.01，检查10个产品,10个产品中的次品数X~B(10,p),p为次品率调查50人,50人中的色盲人数Y~B(50,p),p为色盲率射击20次,20次射击中的命中次数Z~B(20,p),p命中率检查10个产品,10个产品中的调查50人,50人中的色盲人数5.泊松分布5.泊松分布观察某放射性物质(体积是V)在单位时间(7.5秒)内放出α粒子数X的规律,X是个随机变量.把该物质n等分,假设①各小块在单位时间内至多放出1个粒子,且各小块在单位时间内放出1个粒子的概率pn≈kV/n=λ/n(其中k是放射常数,从而λ>0也是常数)放出两个及以上粒子的概率是V/n的高阶无穷小②各小块在单位时间内放出粒子相互独立.观察某放射性物质(体积是V)在单位时间(7.5秒)内放出α粒

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.泊松分布往往和单位时间,单位面积,单位产品上的计数过程相联系定义：泊松分布的最可能值为.P40例2.2.6在生物学、医学、工业统计、保险科学及定义：二项分布

泊松分布泊松定理当n很大，p很小（np=λ）时，有以下近似式（书P39定理2.1.1）（2.1.8）二项分布

设1000只产品中的次品数为X,则可利用泊松定理计算所求概率为解例4有计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相互独立。求在1000只产品中至少有2只次品的概率。设1000只产品中的次品数为X,则可例:某商店某种商品每月销售数X服从参数是5的Poisson分布,为了以95%以上的把握不脱销,问月底至少应该进该商品多少件.(假设无库存)解:设至少要进货a件查表得例:某商店某种商品每月销售数X服从参数是5的Poisson分实例

在区间[0，1]上随机地投点，随机变量X为“点的位置（坐标）”.则连续型r.v.X的取值范围为[0，1]任取一实数01x几何概率没有多大的意义实例在区间[0，1]上随机地投点，则连续型r.v.X为了对离散型和连续型r.v.以及其它类型的r.v.给出一种统一的描述方法，我们考虑一个r.v.的取值落在区间的概率。为了对离散型和连续型r.v.以及其它类型的rF(x)是r.vX取值不大于x的概率；在几何上，它表示r.v.X的取值落在区间(-,x]的概率。6.随机变量的分布函数定义

其定义域是整个实数轴．F(x)是一个普通的函数，F(x)是r.vX取值不大于x的概率；在几何上，它表1.2.3.对任意实数x1<x2，r.v.X的取值落在区间（x1,x2]的概率为：分布函数的基本性质：

1.2.3.对任意实数x1<x2，r.v.X的取值落在区间d.f.全面描述了r.v.的统计规律性d.f.全面描述了r.v.的统计规律性例5

抛一枚均匀硬币,令求随机变量X的分布函数.解例5抛一枚均匀硬币,令求随机变量X的分布函数.第二章随机变量及其分布ppt课件离散型r.v.的分布函数0110.5离散型r.v.的分布函数0110.5解例6解例6第二章随机变量及其分布ppt课件第二章随机变量及其分布ppt课件也可表示为一般地，设离散型r.v.X的分布律为也可表示为一般地，设离散型r.v.X的分布律为

离散型r.v.的分布函数是一种概率的累加，是分段函数，它的图形是阶梯状曲线，在处有跳跃，其跳跃值为。

离散型r.v.的分布函数是.例7一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解.例7一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任解故X的分布函数为其图形为一连续曲线注意

两类随机变量的分布函数图形的特点不一样。离散型r.v.的分布函数是分段函数；连续型r.v.的分布函数是连续函数。故X的分布函数为其图形为一连续曲线注意两类随机变量第二章随机变量及其分布ppt课件第二节连续型随机变量及其分布定义2.2.1第二节连续型随机变量及其分布定义2.2.1性质(1),(2)是两个最基本的性质1性质(1),(2)是两个最基本的性质1第二章随机变量及其分布ppt课件注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即证明由此可得连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概注意若X是连续型随机变量，概率为0的事件不一定是不可能事件概率为1的事件不一定是必然事件注意若X是连续型随机变量，概率为0的事件不一定是不可能事件概例2.2.1

设连续型随机变量X具有概率密度例2.2.1设连续型随机变量X具有概率密度例1例1解340.5解340.5340.5340.5340.534340.534练习

设连续型随机变量X具有概率密度练习设连续型随机变量X具有概率密度0200解：0200解：第二章随机变量及其分布ppt课件2.均匀分布满足连续型随机变量的两个最基本性质2.均匀分布满足连续型随机变量的两个最基本性质第二章随机变量及其分布ppt课件第二章随机变量及其分布ppt课件例:公交车站每5分钟有一班车通过,某人到达车站的时刻是任意的,求他等车时间不超过3分钟的概率.把本题看作是(0,5]区间上的等可能投点,所求概率为3/5.例:公交车站每5分钟有一班车通过,某人到达车站的时刻是任意的例:设随机变量X在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2<X<3}=（）.A．P{1.5<X<2.5}B．P{3<X<4}例:设随机变量X在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2<X解由题意,R的概率密度为故有例2设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在~1100．求R的概率密度及R落在950~1050的概率．解由题意,R的概率密度为故有例2设电阻值R是一个随机例3

设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测。求至少有两次观测值大于3的概率。设Y表示三次独立观测其测值大于3的次数，则

解：

X的概率密度函数为例3设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现对X进行三3.指数分布若连续型随机变量X的概率密度函数为其中为常数，则称X服从参数为的指数分布。满足连续型随机变量的两个最基本性质3.指数分布若连续型随机变量X的概率密度函数为其中指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示

应用某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示应用指数分布的重要性质:“无记忆性”.（与s无关）指数分布的重要性质:“无记忆性”.（与s无关）4.正态分布(或高斯分布)满足连续型随机变量的两个最基本性质4.正态分布(或高斯分布)满足连续型随机变量的两个最基本

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如正态分正态概率密度函数的几何特征即曲线以x轴为渐近线正态概率密度函数的几何特征即曲线以x轴为渐近线故称μ为位置参数-故称μ为位置参数-故称σ为形状（或离散）参数故称σ为形状（或离散）参数正态分布的分布函数但正态分布的分布函数但标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函解例4

查p168标准正态分布表正态分布下的概率计算例2.2.2解例4查p168标准正态分布表正态分布下的概率计算例2.2第二章随机变量及其分布ppt课件例5设X~N(0,1)，求P(|X|<1.96)解P(|X|<1.96)=P(-1.96<X<1.96)

=2×0.975-1=0.95=Ф(1.96)-[1-Ф(1.96)]=2Ф(1.96)-1=Ф(1.96)-Ф(-1.96)书P42图2.2.10

双侧分位数

例5设X~N(0,1)，求P(|X|<1.96解例6

例2.2.3解例6例2.2.3例2.2.4

解例2.2.4解(1)所求概率为解例7(1)所求概率为解例7第二章随机变量及其分布ppt课件第三节随机变量的函数的分布问题第三节随机变量的函数的分布问题ＸP-10120.20.30.10.4一、离散型随机变量的函数的分布例1ＸP-10120.20.30.10.4一、离散型随机变量的函YP-20240.20.30.10.4解ＸY-1012-2024(1)ＸP-10120.20.30.10.4YP-20240.20.30.10.4解ＸY-1012-20ZP0140.10.70.2ＸZ-10124101(2)例2.3.1ＸP-10120.20.30.10.4ZP0140.10.70.2ＸZ-10124101(2)例2离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布Y的分布律为练习设解Y的分布律为练习设解

第一步

先求Y=2X+8的分布函数解二、连续型随机变量的函数的分布例2第一步先求Y=2X+8的分布函数解二第二步

由分布函数求概率密度.第二步由分布函数求概率密度.第二章随机变量及其分布ppt课件例2.3.2证明例2.3.2证明第二章随机变量及其分布ppt课件常用结论,请记住常用结论,请记住例2.3.4解例2.3.4解第二章随机变量及其分布ppt课件连续型随机变量的函数的分布方法2注意“单调”这一条件.方法1注意y的取值范围的确定。连续型随机变量的函数的分布方法2注意“单调”这一条件.方法1第二章随机变量及其分布ppt课件二、重点与难点一、主要内容三、典型例题第二章随机变量及其分布

习题课二、重点与难点一、主要内容三、典型例题第二章随机变量及其分一、主要内容随机变量离散型随机变量连续型随机变量分布函数分布律密度函数均匀分布指数分布正态分布两点分布二项分布泊松分布随机变量的函数的分布定义一、主要内容随机变量离散型连续型随机变量分布离散型随机变量的分布律(1)定义离散型随机变量的分布律(1)定义(2)说明(2)说明设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为则称X服从(0-1)分布或两点分布.两点分布设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为则称这样的分布为二项分布.记为二项分布两点分布二项分布称这样的分布为二项分布.记为二项分布两点分布二项分布泊松分布记作泊松分布记作(2)说明随机变量的分布函数(1)定义分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.(2)说明随机变量的分布函数(1)定义分布函数主要研究随即任一分布函数处处右连续.(3)性质即任一分布函数处处右连续.(3)性质(4)重要公式可以根据分布函数求随机变量落入某个区间的概率。(4)重要公式可以根据分布函数求随机变量落入某个区间的概率。离散型随机变量的分布函数

离散型r.v.的分布函数是一种概率的累加，是分段函数，它的图形是阶梯状曲线，在处有跳跃，其跳跃值为。

离散型随机变量的分布函数离散型r.v.的分布连续型随机变量的概率密度(1)定义连续型随机变量的概率密度(1)定义(2)性质(2)性质均匀分布均匀分布分布函数指数分布若连续型随机变量X的概率密度函数为其中为常数，则称X服从参数为的指数分布。分布函数指数分布若连续型随机变量X的概率密度函数为其中正