2022-2023学年辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学八年级（下）期中数学试卷含解析

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一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是()

A.B.C.D.

2.若，则下列不等式不一定成立的是()

A.B.C.D.

3.等腰三角形的其中一个角为，则它的顶角度数为()

A.B.C.或D.或

4.下列因式分解正确的是()

A.B.

C.D.

5.已知，，则的度数是()

A.B.C.D.

6.使有意义的实数的取值范围是()

A.B.且C.且D.且

7.在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是()

A.当时，

B.方程的解是

C.当时，

D.不等式的解集是

8.一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的，则这个多边形是()

A.正十二边形B.正十边形C.正八边形D.正六边形

9.如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是()

A.

B.

C.

D.

10.四边形的四个顶点坐标分别为、、、，直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.分解因式：______．

12.若分式的值为，则．

13.定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”若等腰是“倍长三角形”，底边的长为，则腰的长为．

14.如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交边于点若，，，则的长为______．

15.如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，与相交于点，延长交于点若正方形边长为，则______．

16.如图，中，，点在边上，，，延长至点，使，过点作于点，则______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.解不等式组：

四、解答题（本大题共8小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分

把下列各式因式分解：

；

．

19.本小题分

先化简，再求值：，其中．

20.本小题分

在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点．

试说明与互相平分；

若，，求的长．

21.本小题分

如图，各顶点的坐标分别为，，．

将向上平移个单位，再向右平移个单位，得到，画出平移后的图形，并写出平移后对应顶点的坐标；

点到直线的距离______；

将绕着点顺时针旋转，画出旋转后的．

22.本小题分

甲、乙两家商场以相同的价格出售同样的商品，为了促进消费，商场推出不同的优惠方案：

甲商场的优惠方案：购物花费累计超过元后，超出元部分按付费；

乙商场的优惠方案：购物花费按付费．

若某顾客准备购买标价为元的商品，则在甲商场购物花费______元，乙商场购物花费______元；

若某顾客准备购买标价为元的商品，顾客到哪家商场购物花费少？

乙商场为了吸引顾客，采取了进一步的优惠方案：不超过元，仍按付费；超过元后，超出元部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请直接写出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围．

23.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为轴上一动点，点在直线上，且满足轴，连接、．

当、、三点在一条直线上，在图中画出满足题意的图形，并求出此时点的坐标；

在的条件下，点为平面内任意一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点坐标；

当最小时，点坐标为______．

24.本小题分

已知等边和等腰，，．

如图，点在上，点在上，是的中点，连接，，则线段与之间的数量关系为______；

如图，点在内部，点在外部，是的中点，连接、，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

如图，若点在内部，点和点重合，点在下方，且，则的最大值为______．

25.本小题分

如图，在直角坐标系中，一次函数交轴，轴于，，点在轴正半轴上，以、为边作平行四边形，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴正方向移动，记点运动时间为秒．

直接写出点的坐标______，______；

若，连接，是的中点，连接并延长交直线于点，

直接写出当为何值时，四边形为平行四边形；

直接写出当为何值时，为等腰三角形

若，连接，作关于的对称点，恰好落在平行四边形的边上，则______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：．

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．

2.【答案】

【解析】解：若，则，原变形成立，故本选项不符合题意；

B.若，则，原变形成立，故本选项不符合题意；

C.若，不妨设，，则，原变形不成立，故本选项符合题意；

D.若，则，原变形成立，故本选项不符合题意；

故选：．

根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．

3.【答案】

【解析】解：当角为顶角时，顶角度数为；

当为底角时，顶角．

故选：．

分两种情况讨论：当角为顶角；当为底角．

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

4.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．各项利用提取公因式法及公式法分解得到结果，即可作出判断．

【解答】

解：原式不能分解，错误；

B.原式不能分解，错误；

C.原式，正确；

D.原式，错误，

故选C．

5.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

故选：．

由平行四边形的性质得出，，求出，即可得出答案．

本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等、邻角互补是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：由题意，得，，

解得且．

故选：．

根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．

本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：由函数的图象可知，

当时，，选项错误，不符合题意；

方程的解是，选项错误，不符合题意；

当时，，故C正确，符合题意；

不等式的解集是，故D错误，不符合题意．

故选：．

根据函数的图象直接进行解答即可．

本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．

8.【答案】

【解析】解：设外角为，

由题意得，，

解得，

，

所以，这个多边形是正十边形．

故选：．

设外角为，根据外角和与它相邻的内角为邻补角列方程求出，再根据外角和等于列式计算即可得解．

本题考查了多边形内角与外角，根据相邻的内角和外角互为邻补角列出方程是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：，且，

，

在中，

，

，

，

，

故选：．

先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得，由三角形外角的性质可得的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．

本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和外角和性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：，，，，

，

又，，

，

四边形是平行四边形，

，，

平行四边形的中心的坐标是，

直线将四边形分成面积相等的两部分，

直线过中心，

，

解得．

故选：．

根据点的坐标可以判定四边形是平行四边形，再根据直线把四边形的面积分成相等的两部分可知直线必过平行四边形的中心，然后利用待定系数法求解即可．

本题考查了待定系数法求直线解析式，坐标与图形的性质，根据点的坐标判定出四边形是平行四边形是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：

．

故答案为：．

将变形后看作一个整体提取公因式即可分解．

本题考查因式分解中的提取公因式，整体思想是解本题的关键．

12.【答案】

【解析】

【分析】

此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．

【解答】

解：由分式的值为，得

且，

解得且，

．

故答案为：．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．

由等腰是“倍长三角形”，可知或，若，可得的长为；若，因，故此时不能构成三角形，这种情况不存在，即可得出答案．

【解答】

解：等腰是“倍长三角形”，

或，

若，则三边分别是，，，符合题意，

腰的长为；

若，则，三边分别是，，，

，

此时不能构成三角形，这种情况不存在；

综上所述，腰的长是，

故答案为：．

14.【答案】

【解析】解：设交于，连接，如图：

由作图可知：是线段的垂直平分线，

所以，

所以，

所以，

所以，

在中，

，

所以，

故答案为：．

分析：

设交于，连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得，故AB．

本题考查尺规作图中的计算问题，解题的关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法，得到是线段的垂直平分线．

15.【答案】

【解析】解：连接，如图所示：

四边形和四边形是正方形，

，

由旋转的性质得：，，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

，

在中，，

，

，

故答案为：．

连接，由正方形的性质得出，由旋转的性质得：，，得出，由证明≌，得出，，由三角函数求出，得出、，再求出，即可求出．

本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

16.【答案】

【解析】解：如图，过点作于，

，，，

，，

，且，，

，且，，

≌

，

故答案为：．

过点作于，由直角三角形的性质可求，由“”可证≌，可得．

本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

17.【答案】解：，

解不等式得，

解不等式得．

故原不等式组的解集是．

【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．

本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

18.【答案】解：

；

．

．

【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，可采用平方差公式继续分解；

此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，可采用完全平方公式继续分解．

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

19.【答案】解：

，

当时，原式．

【解析】先把除法转化为乘法，同时将分式的分子分母分解因式，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可．

本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

20.【答案】解：、分别是、的中点，

是的中位线，

且．

又，即，

，，

四边形是平行四边形，

与互相平分；

在中，，，，

由勾股定理得

又由知，，且，

．

在中，，，，

由勾股定理得．

【解析】结合已知条件推知四边形是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；

根据勾股定理求得的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求的长度．

本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

21.【答案】

【解析】解：如图，即为所求．

，，．

设点到直线的距离为，

，，

，

解得．

故答案为：．

如图，即为所求．

根据平移的性质作图，即可得出答案．

利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式列式计算即可．

根据旋转的性质作图即可．

本题考查作图平移变换、旋转变换、点到直线的距离，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、点到直线的距离是解答本题的关键．

22.【答案】

【解析】解：在甲商场购买所需费用为元；

在乙商场购买所需费用为元．

故答案为：，；

，解得：；

，解得：；

当时，顾客在甲、乙商场购物花费相等；

当时，顾客在甲商场购物花费少；

当时，顾客在乙商场购物花费少；

当时，由题意得，

解得，

由得，当时，顾客在甲商场购物花费少；

当时，顾客在甲商场购物花费少．

根据甲乙的促销方案进行解答即可；

根据中表示出在甲乙两商场的花费列出不等式，分情况讨论，即可求解；

当时，由题意列出一元一次不等式，即可求解．

本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及分类讨论等知识，解答本题的关键是：正确列出代数式；找出数量关系，正确列出一元一次不等式或一元一次方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

23.【答案】

【解析】解：满足条件的图形如下：

设直线的表达式为：，

将点的坐标代入上式得：，则，

则直线的表达式为：，

令，则，

则点；

设点，

当是对角线时，由中点坐标公式得：

，解得：，

即点的坐标为：；

当或为对角线时，同理可得：

或，

解得：，

则点的坐标为：或；

综上，点的坐标为：或或；

将点向下平移个单位得到点，连接交直线于点，过点作轴于点，则此时，最小，

理由：，，

则四边形为平行四边形，则，

为最小，

由点、的坐标得，直线的表达式为：，

当时，则，

即点的坐标为：．

故答案为：．

根据题意即可画图；用待定系数法求出直线的表达式，进而求解；

当是对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解；

将点向下平移个单位得到点，连接交直线于点，过点作轴于点，则此时，最小，进而求解．

本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．

24.【答案】

【解析】解：结论：理由如下：

如图中，

是等边三角形，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，，

，

，，

，

，

故答案为：；

仍然成立．理由如下：

延长到，使得，连接，，延长到，使得，连接，，．

，，

是等边三角形，

，，，

，

≌，

，

，，

四边形是平行四边形，

，，

，

，，

四边形是平行四边形，

，

．

如图中，作，且，连接，．

，，，

，

≌，

，

，

，，共线时，定值最大，此时的值最大，

此时，，

作交于点，

在中，，

，

解得：．

的最大值为．

故答案为：．

结论：利用直角三角形度角的性质解决问题即可．

结论成立．延长到，使得，连接，，延长到，使得，连接，，证明≌，推出，再证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形即可解决问题．

如图中，作，且，连接，证明≌，推出，由，推出，，共线时，定值最大，此时的值最大．

本题属于三角形专题，考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造