湖北省荆门市钟祥荆台中学高二数学理月考试题含解析

湖北省荆门市钟祥荆台中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列推理是归纳推理的是()A.A、B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇参考答案：B略2.给出以下一个算法的程序框图（如图所示）：

该程序框图的功能是（

）A．求出a,b,c三数中的最大数

B．求出a,b,c三数中的最小数C．将a,b,c按从小到大排列

D．将a,b,c按从大到小排列参考答案：B3.如果直线在平面外，那么一定有（A）， （B），（C）， （D），参考答案：D4.极坐标方程表示的曲线是（

）A.两条相交直线 B.两条射线C.一条直线 D.一条射线参考答案：A【分析】先求出的值，即可得到极坐标方程表示的是两条相交直线.【详解】由题得，所以极坐标方程表示的是两条相交直线.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求点的极坐标一般用公式,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直角坐标，一般利用公式求解.5.执行如右图所示的程序框图，则输出S的值为(

)A．3

B．-6

C．10

D．-15

参考答案：C6.若直线与直线互相平行，则a的值为（

）A．

B．2

C．或2

D．不存在参考答案：A7.曲线在处的切线斜率为

参考答案：略8.在等比数列中，若，公比，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．【解答】解：若a=3，则两直线方程分别为x+3y+2=0和x+3y+18=0，满足两直线平行，即充分性成立，若l1∥l2，当a=0时，两直线分别为x+2=0和﹣2x+3y=0，此时两直线不平行，不满足条件．当a≠0时，若两直线平行则≠，由得a2﹣2a=3，即a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或a=﹣1，当a=﹣1时，=，不满足条件．则a≠﹣1，即a=3，故“a=3”是“l1∥l2”的充要条件，故选：C10.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为（

）A.40

B.0.2

C.32

D.0.25参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点x，y满足不等式组，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，3]【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式满足的平面区域，由ax+y≤3恒成立，结合图形确定出a的范围即可．【解答】解：满足不等式组的平面区域如右图所示，由于对任意的实数x、y，不等式ax+y≤3恒成立，根据图形，可得斜率﹣a≥0或﹣a＞kAB==﹣3，解得：a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．12.已知实数x，y满足，则的最大值是__________．参考答案：13【分析】根据约束条件得到可行域，根据的几何意义可知当过时，取最大值，代入求得结果.【详解】实数满足的可行域，如图所示：其中目标函数的几何意义是可行域内的点到坐标原点距离的平方由图形可知仅在点取得最大值

本题正确结果：13【点睛】本题考查线性规划求解最值的问题，关键是明确平方和型目标函数的几何意义，利用几何意义求得最值.13.对任意实数组x1，x2，…，xn，记它们中最小的数为f(x1，x2，…，xn)，给出下述结论：①函数y＝f(4x，2－3x)的图象为一条直线；②函数y＝f(x，2－x)的最大值等于1；③函数y＝f(x2＋2x，x2－2x)一定为偶函数；④对a>0，b>0，的最大值为.其中，正确命题的序号有______________．参考答案：②③④画图即知①是错误的；对②、③分别作出相应函数的图象即知命题正确；对④，≤＝，当且仅当a＝b＝，即a＝b＝时取等号，故④也正确．14.中，若那么角=___________参考答案：15.如上图是斯特林数三角阵表，表中第r行每一个数等于它右肩上的数的r－1倍再加上它左肩上的数，则此表中：（1）第6行的第二个数是_____________；（2）第n+1行的第二个数是__________．（用n表示）参考答案：略16.已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝4，则|BF|＝______.参考答案：

17.设命题命题若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知：直线l的参数方程为

（t为参数），曲线C的极坐标方程为（1+sin2θ）ρ2=2．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，若点P为（1，0），求+．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的参数方程为

（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2；（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0，利用参数的几何意义，即可求+．【解答】解：（1）直线l的参数方程为

（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．19.（12分）已知双曲线的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。（1）求双曲线的方程；（2）若直线与该双曲线相交于两点，且中点坐标为，求的取值范围。参考答案：略20.设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且=．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x﹣y++=0相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）过F2的直线L与（Ⅱ）中椭圆C交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存

在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，a2=4c2，e=；（Ⅱ）由=2c，解得c=1则a=2，b=，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅲ）由要使△F1MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时也最大，设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式可知=|y1﹣y2|=，t=，则t≥1，=（t≥1），由函数的单调性可知：当t=1时，=4R有最大值3，即可求得m的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意A（0，b），F1为QF2的中点．设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0），=（﹣3c，﹣b），=（c，﹣b），由⊥，即?=﹣3c2+b2=0，∴﹣3c2+（a2﹣c2）=0，即a2=4c2，∴e=．（Ⅱ）由题Rt△QAF2外接圆圆心为斜边QF2的中点，F1（﹣c，0），半径r=2c，∵由题Rt△QAF2外接圆与直线++=0相切，∴d=r，即=2c，解得c=1．∴a=2，c=1，b=．所求椭圆C的方程为：（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2）由题知y1，y2异号，设△F1MN的内切圆的半径为R，则△F1MN的周长为4a=8，∴=（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，∴要使△F1MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时也最大．=|F1F2|．|y1﹣y2|=|y1﹣y2|，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韦达定理，得y1+y2=，y1y2=，（△＞0?m∈R）=|y1﹣y2|==．令t=，则t≥1，=（t≥1），当t=1时，=4R有最大值3．此时，m=0，Rmax=．故△F1MN的内切圆的面积最大值为此时直线l的方程为x=1．21.今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科.已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人.按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．（I）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表.并根据统计量判断能否有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关？（II）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有X人，女生有Y人，求随机变量的分布列和数学期望．（的计算公式见下），临界值表：0.250.150.100.050.0251.3232.0722.7063.8415.024

参考答案：（I）没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关；（II）见解析【分析】（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有20个男生，16个女生，根据题意列出列联表，求得的值，即可得到结论．（II）由（I）知在样本里选历史的有9人.其中男生3人，女生6人，求得可能的取值有，进而求得相应的概率，列出随机变量的分布列，利用公式求解期望．【详解】（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，结合题目数据可得列联表：

男生女生合计选物理17320选历史10616合计279

得而，所以没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关.（II）由（I）知在样本里选历史的有9人.其中男生3人，女生6人．所以可能的取值有.且，；，，所以的分布列为：20

所以的期望.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的计算，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．22.如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMB=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）若AB=BC=4，求三棱锥A﹣BDM的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出OM⊥CD，从而OM⊥平面BCD，进而OM∥AB，由此能证明OM∥平面ABD．（2）由VA﹣BDM=VM﹣ABD=VO﹣ABD=VA﹣BD