第2节　基本不等式

第七章第二节基本不等式内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.利用基本不等式求最值2.基本不等式的实际应用3.基本不等式的综合应用1.数学运算2.逻辑推理3.数学建模强基础增分策略(1)基本不等式成立的条件:

.

(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立a≥0,b≥0微点拨(1)基本不等式应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立.2.两个重要的不等式(1)a2+b2≥

(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.

3.利用基本不等式求最值已知x≥0,y≥0,则微点拨和定积最大,积定和最小:两个正数的和为定值时,则可求其积的最大值;积为定值时,可求其和的最小值.2ab

x=y

小

x=y

大

微思考若两个正数的和为定值,则这两个正数的积一定有最大值吗?

提示:不一定.若这两个正数能相等,则这两个正数的积一定有最大值;若这两个正数不相等,则这两个正数的积无最大值.常用结论

增素能精准突破考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1.配凑法求最值典例突破A.最大值-1 B.最小值-1 C.最大值1 D.最小值1(3)已知0<x<1,则当x(4-3x)取得最大值时x的值为

.

突破技巧通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.答案:(1)A

(2)C

解析:(1)∵x>y>0,∴x-y>0,考向2.常数代换法求最值典例突破例2.(1)(2021贵州遵义一模)若正数x,y满足x+2y-2xy=0,则x+2y的最小值为(

)A.9 B.8

C.5

D.4(2)(2021湖北汉阳一中高三月考)已知正数a,b满足a+b=1,则

的最小值是(

)A.1 B.2

C.4

D.8答案:(1)D

(2)C

突破技巧通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);(2)把确定的定值(常数)变形为1;(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积为定值的形式;(4)利用基本不等式求解最值.考向3.消元法求最值典例突破例3.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为

.

答案:6

解析:(方法1

换元消元法)由已知得x+3y=9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以(x+3y)2-12xy=(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,得t≥6,即x+3y的最小值为6.突破技巧通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.答案:(1)B

(2)9

∴x(10-x)≥9,即x2-10x+9≤0,解得1≤x≤9,满足0<x<10,∴a+b的最大值为9.考点二基本不等式的实际应用典例突破例4.某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权费为6000元/m2.材料工程费在建造第一层时为500元/m2,以后每增加一层费用增加30元/m2(每一层的建筑面积都相同).(1)若把楼盘的楼房设计成x层,平均每平方米建筑面积的成本为y元,将y表示成x的函数.(2)若平均每平方米建筑面积的成本不高于1235元,求楼房设计层数最少为多少层?(3)应把楼盘的楼房设计成多少层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低?解:(1)设每层的面积为z

m2,则该楼盘材料工程总费用为p=500z+(500+30)z+(500+60)z+…+[500+(x-1)×30]z解得10≤x≤40,所以楼层设计层数最少为10层.故应把楼房设计成20层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低.突破技巧1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.对点训练4某品牌饮料原来每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.(1)据市场调查,若售价每提高1元,月销售量将相应减少2000瓶,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该饮料每瓶售价最多为多少元?解:(1)设每瓶定价为t元,依题意,有[8-(t-15)×0.2](t-10)≥5×8,整理得t2-65t+750≤0,解得15≤t≤50.因此要使月总利润不低于原来的月总利润,每瓶定价最多为50元.考点三基本不等式的综合应用典例突破例5.(1)(2021广东中山模拟)在等比数列{an}中,a2a6+a5a11=16,则a3a9的最大值是(

)A.4 B.8

C.16

D.32(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为

.

答案:(1)B

(2)9

解析:(1)由等比数列性质知a3a9=a4a8,∵a2a6+a5a11==16≥2a4a8(当且仅当a4=a8时取等号),∴a4a8≤8,∴a3a9≤8,即a3a9的最大值为8.(2)(方法1)依题意画出图形,如图所示.(方法2)以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(1,0),解题心得基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是:(1)先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点.(2)要有利用基本不等式求最值的意识,善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.(3)检验等号是否成立,完成后续问题.对点训练5(1)(2021西藏拉萨中学月考)已知F1,F2是椭圆C:

的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(

)A.13 B.12

C.9

D.6(2)(2021河北石家庄一中月考)命题p:存在x∈{x|1≤x≤9},x2-ax+36≤0,若p是真命题,则实数a的取值范围为(

)A.[37,+∞) B