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素能培优(九)求曲线轨迹方程的方法第九章曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系表示为代数方程;(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程;(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.一、直接法求轨迹方程例1(2022·河南商丘三模节选)在平面直角坐标系xOy中,已知A(-4,0),B(4,0),M是一个动点,C,D分别为线段AM,BM的中点,且直线OC,OD的斜率之积是-,记M的轨迹为E.求E的方程.规律方法

直接法求轨迹方程的两种策略

答案

(x-1)2+y2=3二、定义法求轨迹方程例2若动圆与两定圆(x+5)2+y2=1及(x-5)2+y2=49都外切,则动圆圆心的轨迹方程是

.

解析

设圆C1为(x+5)2+y2=1,可得圆心C1(-5,0),半径r1=1,设圆C2为(x-5)2+y2=49,可得圆心C2(5,0),半径r2=7,且|C1C2|=10.设动圆圆心为C,半径为r,因为动圆C同时与圆C1和圆C2外切,所以|CC1|=r+1,|CC2|=7+r,所以|CC2|-|CC1|=6<|C1C2|=10,所以点C的轨迹是以规律方法

利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.三、代入法(相关点法)求轨迹方程例3已知曲线C0:y=3x2+1和点A(-2,0),动点C在曲线C0上.(1)若线段AC的中点为M,求动点M的轨迹方程;(3)若B(2,0),求△ABC的重心G的轨迹方程.规律方法

利用代入法求轨迹方程的一般步骤

(1)求点N的轨迹方程;(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.四、参数法求轨迹方程例4(2023·河北承德模拟)已知A(2cosθ,4sinθ),B(2sinθ,-4cosθ),当θ∈R时,线段AB的中点的轨迹方程为(

)答案

B规律方法

应用消参法求轨迹方程的流程选参→求参→消参→注意消参后曲线的范围是否发生变化对点训练4点A和点B是抛物线y2=4px(p>0)上除原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB于点M,求点M的轨迹方程.解

当AB所在直线的斜率不存在时,M为一定点,坐标为(4p,0).当AB所在直线的斜率存在时,设其方程为y=kx+b(k≠0).由①②及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y≠0).又点(4p,0)满足x2+y2-4px=0,所以点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0.五、交轨法求轨迹方程

例5如图,已知椭圆C:的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与点B1,点B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2

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