第3节　平面向量的数量积及其应用

第三节平面向量的数量积及其应用第五章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的运算2.平面向量数量积的应用3.平面向量的综合应用1.直观想象2.数学抽象3.数学运算强基础增分策略1.向量的夹角

(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角,记作<a,b>.

只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角微点拨当θ=0°时,向量a,b共线且同向;当θ=90°时,向量a,b相互垂直,记作a⊥b;当θ=180°时,向量a,b共线但反向.2.平面向量的数量积

定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量

叫作a与b的数量积,记作a·b

几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cosθ的乘积微点拨零向量与任意向量的数量积为0;射影和两向量的数量积都是数量,不是向量.|a||b|cosθ微思考1a在b方向上的射影与b在a方向上的射影相同吗?微思考2两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗?提示:不相同.因为a在b方向上的射影为|a|cos

θ,而b在a方向上的射影为|b|cos

θ,其中θ为a与b的夹角.提示:不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.3.向量数量积的运算律

交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c数乘结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)微点拨实数运算满足消去律:若ab=ca,a≠0,则b=c.而在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c.即向量的数量积运算不满足消去律.微思考(a·b)c一定等于a(b·c)吗?提示:不一定.这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.即向量数量积的运算不满足乘法结合律.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.微点拨当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.

a·b=0x1x2+y1y2=0常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立).(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).增素能精准突破考点一平面向量数量积的运算典例突破例1.(2021贵州贵阳实验学校高三月考)如图,在菱形ABCD中,AB=2,突破技巧求非零向量a,b的数量积的三种方法

直接法若两向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重合,再计算几何法根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a,b,然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标法若图形适合建立平面直角坐标系,可建立坐标系,求出a,b的坐标,通过坐标运算求解答案:C

解析:建立如图所示平面直角坐标系:考点二平面向量数量积的应用(多考向探究)考向1.平面向量的垂直问题典例突破例2.(1)(2021四川成都七中高三月考)已知向量a=(1,2),b=(3,0),若(λa-b)⊥a,则实数λ=(

)A.0 B.C.1

D.3(2)(2021贵州黔东南高三检测)已知向量a,b的夹角为120°,|a|=2,|b|=1,若(a+3b)⊥(a+λb),则实数λ=

.

解析:(1)因为向量a=(1,2),b=(3,0),且(λa-b)⊥a,

(2)因为(a+3b)⊥(a+λb),所以(a+3b)·(a+λb)=0,所以|a|2+(3+λ)a·b+3λ|b|2=0,所以4+(3+λ)×2×1×cos

120°+3λ=0,突破技巧平面向量垂直问题的两个类型

利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数对点训练2(1)(2021北京房山二模)已知单位向量a,b的夹角为60°,a-kb与b垂直,则实数k=

.

(2)(2021山东日照校际联考)设θ∈(0,π),向量a=,b=(cosθ,sinθ),若(a-b)⊥b,则tanθ=

.

考向2.平面向量模的问题典例突破例3.(1)(2021山东淄博三模)已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=1,则|2a+b|=(

)(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则

的最小值为

.

答案:(1)D

(2)5

突破技巧求平面向量模的两种方法

公式法利用|a|=

及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量模的运算转化为数量积运算几何法利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解对点训练3(1)(2021甘肃金昌二模)已知向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,则|a-2b|=(

)答案:(1)B

(2)B

解析:(1)向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,所以a·b=6-2m=0,解得m=3,所以b=(1,3),a-2b=(4,-8),考向3.平面向量的夹角问题典例突破例4.(1)(2021江苏常熟中学三模)若λ为实数,已知向量m=(1,λ),n=(2,-1),若m⊥n,则向量m-n与n的夹角为(

)(2)(2021四川眉山三诊)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,|a+b|=

|b|,则向量a,b的夹角为(

)答案:(1)D

(2)B

解析:(1)因为向量m=(1,λ),n=(2,-1),且m⊥n,所以2-λ=0,解得λ=2,所以m-n=(1,2)-(2,-1)=(-1,3).设向量m-n与n的夹角为θ,突破技巧求平面向量夹角的两种方法

对点训练4(1)(2021山西吕梁三模)已知a=(1,2),b=(m,1),c=(3,-4),若(a+b)⊥c,则向量a,b夹角的正切值为(

)(2)(2021山东烟台二模)若向量a,b满足|a|=2,|b|=,且(a-b)⊥(2a+3b),则a与b夹角的余弦值为(

)答案:(1)B

(2)D

解析:(1)由题意知a+b=(m+1,3),又(a+b)⊥c,∴3(m+1)-12=0,可得m=3.∴b=(3,1).考点三平面向量的综合应用(多考向探究)考向1.平面向量在几何中的应用典例突破答案:12

(方法2

坐标法)如图,建立平面直角坐标系xAy.依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m>0,n>0,突破技巧向量与平面几何综合问题的两种解法

基向量法适当选取一组基底,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解坐标法把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决答案:B

考向2.平面向量在解析几何中的应用典例突破例6.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为(

)答案:A

解析:以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2x+y-2=0,突破技巧向量在解析几何中的两个作用

载体作用向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题工具作用利用a⊥b⇔a·b=0;a∥b⇔a=λb(b≠0,λ∈R),可解决垂直、平行问题,特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法对点训练6已知抛物线y2=4x,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=-4(其中O为坐标原点),则△ABO面积的最小值是

.

解析:设直线AB的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0).将x=ty+m代入y2=4x,可得y2-4ty-4m=0,根据韦达定理有y1y2=-4m,由于点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-8,故m=2,M(2,0).不妨令点A在x轴上方,则y1>0,考向3.平面向量在物理中的应用典例突破例