第六节　对数与对数函数

第六节对数与对数函数第三章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).强基础固本增分

3.对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=

logaM+logaN

;

换底公式的实质是将一个对数化为两个同底数的对数的商4.换底公式微点拨

换底公式的实质是将一个对数转化为两个同底数的对数的商.由此可得:(2)logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).5.对数函数及其性质(1)概念:一般地,函数y=logax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.(2)对数函数的图象与性质函数y=logax(a>0,且a≠1)图象特征在y轴右侧,过定点(1,0)当x逐渐增大时,图象是上升的当x逐渐增大时,图象是下降的性质定义域(0,+∞)值域R单调性在(0,+∞)上单调递增在(0,+∞)上单调递减函数值变化规律当x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0微点拨1.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(,-1),函数图象只在第一、四象限.

2.在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴.也就是说,在第一象限内,不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

微思考

如何确定对数型函数y=kloga(mx+n)+b(a>0,且a≠1,m≠0)图象所过的定点?

6.反函数一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为

反函数

,它们的定义域与值域正好互换.

微点拨1.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.2.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.常用结论1.对数值的符号法则:logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,logab<0⇔(a-1)(b-1)<0,其中a>0,a≠1,b>0.3.对于函数f(x)=|logax|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),则必有mn=1.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若a>0,a≠1,M>0,N>0,则loga(M+N)=logaM+logaN.(

)2.若a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0,则logab·logbc=logac.(

)4.函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在其定义域上单调递增.(

)×√×√题组二

双基自测5.(2023·河南洛阳模拟)科学家研究发现,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系是lgE=4.8+1.5M.据中国地震台网测定,2022年1月8日,11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震,1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震.设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为E1,门源县地震所释放的能量为E2,A.15

B.20

C.32

D.35答案

C6.

已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),则实数m的取值范围是

.

答案

(1,+∞)研考点精准突破考点一对数的运算题组(1)(2022·天津高考)化简(2log43+log83)·(log32+log92)的值为(

)A.1 B.2 C.4 D.6(2)(2023·江苏无锡高三检测)已知log23=m,log37=n,则log4256=(

)规律方法

对数运算的常用方法与技巧(1)将指数式与对数式进行互化,构造同底数的对数或指数式.(2)逆用对数的运算性质,将同底数对数的和、差、倍化简合并.(3)当对数的底数不同但真数相同时,可以取倒数,将其化为同底数的对数再进行运算.(4)通过换底公式的运用,转化对数的底数,再进行化简合并.考点二对数函数的图象及应用题组(1)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是(

)A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1答案

(1)A

(2)B解析

(1)由函数图象可知,f(x)在定义域内单调递增,又y=2x+b-1在R上单调递增,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由函数图象可知-1<logab<0,即logaa-1<logab<loga1,所以a-1<b<1.综上,0<a-1<b<1.引申探究1将本题组(2)中“4x<logax”变为“4x=logax有解”,则实数a的取值范围为

.

规律方法

对数函数图象的应用技巧(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点等排除不符合要求的选项.(2)对于一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调区间、值域、零点等问题时,可利用数形结合的思想.(3)对于一些与对数型方程、不等式等内容有关的问题,通常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合进行求解.考点三对数函数的性质及应用(多考向探究预测)考向1比较大小A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a(2)设a=log26,b=log312,c=log515,则(

)A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.c<a<b答案

(1)A

(2)B(2)a=log26=1+log23,b=log312=1+log34,c=log515=1+log53.因为log23>log22=1,log34>log33=1,0<log53<log55=1,所以a>c,b>c.又因为2log23=log29>log28=3,2log34=log316<log327=3,所以2log23>2log34,即log23>log34,a>b.所以a>b>c.规律方法

比较对数值大小的方法

若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论若底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考向2解简单的对数不等式题组(1)已知函数f(x)=|log2x|,则不等式f(x)<2的解集为(

)A.(-4,0)∪(0,4)B.(0,4)答案

(1)C

(2)(-1,0)∪(1,+∞)规律方法

求解对数不等式的两种类型及方法

类型方法logax>logab借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论logax>b需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解考向3对数型函数性质的综合应用

答案

ACD规律方法

有关对数型函数的综合问题要注意的三点

定义域所有问题都必须在定义域内讨论底数要判断底数与1的大小关系复合函数的构成判断复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的对点训练(1)若a>b>c>1且ac<b2,则(

)A.logab>logbc>logca

B.logcb>logba>logacC.logbc>logab>logca

D.logba>logcb>logac(2)(2023·河南许昌高三质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递减,f(1)=0,则不等式f(log2x)>0的解集为(

)答案

(1)B

(2)D

(3)C(3)对于A,由题意知mx2+4x+8>0对x∈R恒成立,由于当m=0时,不等式4x+8>0不恒成立,所以m≠0.当m≠0时,由

,所以A不正确;对于B,若函数f(x)的值域为[2,+∞),则f(x)min=2,显然m不为0,则函数y=mx2+4x+8的最小值为4,则当