第8节　直线与圆锥曲线的位置关系

第八节直线与圆锥曲线的位置关系第九章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.能够根据不同的情境,建立平面直线和圆锥曲线的方程.2.能够运用代数的方法研究直线和圆锥曲线之间的基本关系.3.能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题,进一步体会数形结合的思想.1.直线与圆锥曲线的位置关系2.相交弦的中点问题3.条件可转化为坐标倍数的问题4.求由直线与圆锥曲线的交点表达的量1.直观想象2.逻辑推理3.数学抽象4.数学运算5.数学建模强基础增分策略1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.当Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;当Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;当Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k(k≠0)的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接计算(利用两点间距离公式).3.圆锥曲线的中点弦问题4.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”(1)定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.(2)计算,就是利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0),抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0).(3)椭圆与双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常数,当A>B>0时,表示焦点在y轴上的椭圆;当B>A>0时,表示焦点在x轴上的椭圆;当AB<0时,表示双曲线.5.通径:过椭圆、双曲线、抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴的弦称为通径,椭圆与双曲线的通径长为

,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c.6.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点,就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.7.点在圆锥曲线内部或外部的充要条件

增素能精准突破考点一直线与圆锥曲线的位置关系典例突破例1.(1)过双曲线x2-

=1的右焦点作直线交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有(

)A.1条

B.2条

C.3条

D.4条答案:(1)C

(2)C

∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1.规律方法直线与圆锥曲线位置关系的解决方法:直线与圆锥曲线位置关系的问题有两种类型,一是判断位置关系,二是依据位置关系确定参数的范围.这两类问题在解决方法上是一致的,都是将直线与圆锥曲线方程联立,利用判别式及根与系数的关系求解.此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.对点训练1(1)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(

)A.1条

B.2条

C.3条

D.4条(2)若直线y=kx+1(k∈R)与双曲线x2-y2=2有且仅有一个公共点,则k=

.解析:(1)当直线斜率不存在时,直线为y轴,显然直线与抛物线只有一个交点.当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与抛物线方程联立得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,y=1代入抛物线方程求得x=

,此时直线与抛物线有一个交点,当k≠0时,要使直线与抛物线只有一个交点,需Δ=(2k-4)2-4k2=0,求得k=1,综合可知要使直线与抛物线仅有一个公共点,这样的直线有3条.此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有且只有一个交点,满足题意;②当1-k2≠0时,由直线与双曲线有且只有一个公共点,考点二中点弦问题典例突破

突破方法处理中点弦问题常用的求解方法设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.A.3x-2y-2=0 B.3x+2y-4=0C.3x+4y-5=0 D.3x-4y-1=0(2)(2021黑龙江哈九中三模)已知椭圆

,过点M(2,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为

.

答案:(1)B

(2)9x+8y-26=0

考点三条件可转化为坐标倍数的问题典例突破例3.(1)抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A,B,且满足

,E为AB的中点,则点E到抛物线准线的距离为(

)(2)直线l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且A,B两点在抛物线C准线上的射影分别是M,N,若|AM|=2|BN|,则k=

.

解析:(1)(方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),设过点F的直线方程为x=ty+1,t≠0,方法技巧1.此类问题的解法:条件可转化为坐标倍数的问题的求解方法一般有两种,一种是利用一元二次方程求根公式直接求根;另一种是利用韦达定理整体代换,即构造一个能用韦达定理的代数式.2.难点化解方法:在第(2)题中,解方程组

消去y,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,由|AM|=2|BN|,得x1+1=2(x2+1),没法利用韦达定理消元,只能用求根公式求出x1,x2代入,从方程的结构看会有较大的运算量,而本例上述的解法就很好地避开了较大的运算量.答案:B

考点四求由直线与圆锥曲线的交点表达的量典例突破

(1)求椭圆的方程;(2)求△MAB的内心的横坐标.将x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入①,得k1+k2=0,所以直线MA,MB是关于直线x=2对称的直线,即直线x=2为∠AMB的平分线,所以△MAB的内心的横坐标为2.解题心得本例的