高考解答题专项五　第1课时　圆锥曲线中的最值(或范围)问题

第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题高考解答题专项五考情分析与圆锥曲线有关的最值和范围问题,实质是探求运动变化中的特殊值或临界值,因其考查的知识容量大、能力要求高、区分度大而成为高考命题者青睐的热点,高考常与函数、向量、不等式等知识相结合出题.增素能精准突破突破点一

圆锥曲线中的最值问题(多考向探究)考向1.求距离的最值于点E,F,直线AE,AF的斜率分别为k1,k2,满足k1+k2=0.(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;(2)求点A到直线l的距离的最小值.解:(1)抛物线的标准方程为x2=4y,其焦点坐标(0,1),准线方程y=-1;因为过点A的圆G与y轴相切于点M(0,t),且与抛物线C在点A处有相同切线,设圆G圆心为(a,t),则∠MBG=∠ABG,所以tan∠MBG=tan∠ABG,突破方法求距离最值的思路方法解决与圆锥曲线有关的距离最值问题的基本思想是函数思想和数形结合思想,基本策略主要是代数和几何两个角度分析.由于圆锥曲线是几何图形,研究的量也往往是几何量,因此借助几何性质,利用几何直观来分析是优先选择;但几何直观往往严谨性不强,难以细致入微,在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破.对点训练1如图所示,线段AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a≥1),求弦的中点M到x轴的最小距离.考向2.求几何特征量的最值例2.(2020浙江,21)如图,已知椭圆C1:

+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A).(1)若p=

,求抛物线C2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.突破技巧求几何特征量最值的方法在利用代数法解决与圆锥曲线有关的某几何量最值时,关键是建立这个几何量与某个变量(或参数)的关系式,得到关系式后可以直接利用基本不等式求几何量的最值,也可以分离出这个几何量,建立起这个几何量与参数的函数关系,通过求这个函数的最值使问题得到解决.对点训练2(2021山东德州二模)已知抛物线E:x2=-2y,过抛物线上第四象限的点A作抛物线的切线,与x轴交于点M.过M作OA的垂线,交抛物线于B,C两点,交OA于点D.(1)求证:直线BC过定点;(1)证明:由题意,抛物线E:x2=-2y,则y=-x2,可得y'=-x,设A(2t,-2t2)(t>0),则kAM=y'|x=2t=-2t,所以lAM:y+2t2=-2t(x-2t),即y=-2tx+2t2,所以M(t,0).考向3.求关于面积的最值例3.(2021吉林省吉林市三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上的点(x0,1)到其焦点F的距离为,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于Q点.(1)求抛物线C的方程及F的坐标;突破技巧1.目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型

2.求直线与圆锥曲线相交所成的三角形的最值,一般先用某个参数表示出三角形的面积,然后再求.表示三角形的面积用三角形面积的坐标公式:在(1)求C的方程;(2)设直线l的倾斜角为,且与C交于A,B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值.突破点二

圆锥曲线中的参数范围问题

(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交直线y=-3于点M,N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.故5|k|≤15,即|k|≤3,综上,-3≤k<-1或1<k≤3.突破方法求某个量取值范围的方法求某个量的取值范围,要看清与这个量有关的条件有几个,有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式,解不等式取交集得结论.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点P的动直线l与E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围.是椭圆C上的两点.(1)求椭圆C的方程;突破方法范围问题的解题策略解决有关范围问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等),寻找不等关系,其方法有:(1)利用判别式或几何性质来构造不等式,从而确定所求范围;(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系或不等关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出所求范围;(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定所求范围;(6)利用已知,将条件转化为几个不等关系,从而求出参数的范围.对点训练5(2021甘肃兰州一模)已知抛物线y2=4x及点P(4,0).(1)以抛物线焦点F为圆心,|FP|为半径作圆,求圆F与抛物线交点的横坐标;(2)A,B是抛物线上不同的两点,且直线AB与x轴不垂直,弦AB的垂直平分线恰好经过点P,求

的范围.解:(1)由抛物线的方程可得焦点F(1,0