圆锥曲线专题之第三章 基础知识篇

圆锥曲线专题TOC\o"1-3"\h\u19383第三章圆锥曲线起手式——基础知识 234907§1亢龙有悔，椭圆篇 234255601.1椭圆的定义(和比积) 23419881.2椭圆的方程 236309651.3椭圆的基本参数 23819510§2飞龙在天，双曲线篇 253258282.1双曲线的定义(和比积) 25337672.2双曲线的方程 254297212.3双曲线的基本参数 25582132.4等轴双曲线 279147602.5双曲线的渐近线专题 28316015§3见龙在天，离心率篇 295318443.1离心率vs定值 295227723.2离心率vs范围 33419977§4鸿渐于陆，焦点三角形篇 357101574.1椭圆的焦点三角形 35793534.2双曲线的焦点三角形 368131294.3椭圆焦点三角形的内心和旁心轨迹 375202184.4双曲线的内心轨迹 37723622§5潜龙勿用，光学性质 380109325.1光学性质 380220515.2焦点在圆锥曲线切线上的射影 385252485.3以圆锥曲线焦半径为直径的圆 393225275.4光学性质的拓展二 3954555§6利涉大川，焦半径篇(第二定义) 39859816.1焦半径的代数式 398111886.2焦半径的极坐标式 40414666.3最短的焦点弦—通径？ 404245646.4焦半径和椭圆的短轴圆 405205036.5以焦半径为直径的圆 40872106.6以焦点弦为直径的圆 409224476.7焦半径vs焦点弦的综合题 4099815§7双龙取水，第一二定义与距离和最短 414218627.1三点共线(利用第一定义转化) 414233127.2垂线段最短(利用第二定义转化) 4189662§8鱼跃于渊，抛物线篇 419138618.1抛物线的定义 419269558.2抛物线的基本参数 419168248.3抛物线的定长动弦 438179238.4抛物线的焦点弦模型 44199458.5抛物线的点差法——中点斜率公式 450143068.6抛物线的等比性质和取负替换性质 457133378.7抛物线的定点三角形面积公式 46250368.8抛物线的两点式直线方程 46545428.9抛物线的切线专题(极点极线) 480135328.10抛物线两条切线的交点——双切线模型 483226438.11阿基米德三角形 495第三章圆锥曲线起手式——基础知识§1亢龙有悔，椭圆篇1.1椭圆的定义(和比积)1.第一定义之“和”平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹；其中，两个定点称做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距．椭圆方程的推导设是椭圆上任意一点，焦点和，由上述椭圆的定义可得：，将这个方程移项，两边平方得：，两边再平方，整理得：．注①表示椭圆；②表示线段；③不存在轨迹．2.第二定义之“比”平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，其中，定点为焦点，定直线叫做准线，常数e叫做离心率．椭圆方程的推导设是椭圆上任意一点，定点为，定直线为，常数，由上述椭圆的定义可得：，直译变形即可．例在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是()．A． B． C． D．答案选D．解将方程变形为：，此式可看成动点到定点与到直线的距离之比为，根据椭圆的定义，只须即可．3.第三定义之“积”已知坐标轴上关于原点对称的两个定点，那么，到这两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆，其中，定点为短轴或长轴顶点．【求轨迹的话，得去掉两个定点！】椭圆方程的推导设是椭圆上任意一点，两个定点为、，定直线为，常数，由上述椭圆的定义可得：将，变形成，于是可得，椭圆上动点到两顶点、的连线的斜率之积等于常数．注这个定义有bug，可以不必深究，你只需要清楚地知道，第三定义实质是对称点点差法的一个特例而已，后面的双曲线也是类似！例(1)已知圆的圆心为M，设A为圆上任一点，且点，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()．A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线(2)已知圆的圆心为M，设A为圆上任一点，且点，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()．A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线答案(1)

选B；(2)选C．例(1)

已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()．A． B．6 C． D．12(2)(2006四川文理)如图，把椭圆的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于、、…、七个点，F是椭圆的一个焦点，则________．答案(1)选C

；(2)35．解(1)

利用定义易得△ABC的周长是．(2)

构造另一个焦点，利用对称性，或倒序相加！1.2椭圆的方程1.椭圆的标准方程例(1)

已知椭圆的焦距为8，则这个椭圆的方程是.(2)

已知椭圆方程的离心率，则．解(1)

；；(2)

；．例(2010湖北理)设集合，，则的子集的个数是()．A．4 B．3 C．2 D．1解两个交点，故选A．例若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是．解且．2.椭圆的参数方程注(1)

参数方程中的参数不是所谓的“椭圆心角”，而是物理上的离心角，可结合离心率理解；同时，要和圆的参数方程中的圆心角分开．(2)

椭圆的参数方程vs标准方程椭圆的参数方程在数据计算上有时会有很大的优势，尤其是求解最值、相关参数的范围判断等相关题型；同时，后面在“直线与圆锥曲线”和“圆锥曲线与圆锥曲线”章节，还会有相关的串讲应用．例(1)求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值．(2)

设点在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值．答案(1)，；(2)，．3.椭圆的一般式方程【括号中的限制亦是“充要条件”！】注(1)

焦点的位置判断当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上．(2)

使用技巧在求椭圆的标准方程时，有时不知道焦点在哪一个坐标轴上，此时，可尝试使用椭圆的一般式方程，利用用待定系数法求出A、B的值即可；椭圆的一般式方程可有效的避免焦点位置的分类讨论，同时，也可以简化运算．例(1)

如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是________．(2)

已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数k的取值范围．答案(1)

；(2)

当时，有．因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，即．故实数的取值范围是．例(1)

求过两点，，中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程．(2)

求过两点，，中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程．答案(1)

；(2)

．4.椭圆的定义式方程①第一定义：；②第二定义：．注由于有些题目会给出此类定义方程作为条件，因此，要熟知其中的参数含义，并能迅速转化为标准方程．5.椭圆的极坐标方程见后面“圆锥曲线之极坐标方程”的章节！6.同离心率式的椭圆方程注意一点即可，即离心率相同，但焦点可以在不同的坐标轴；因此，和椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为：或．例(1)

求和椭圆有相同离心率且过点的椭圆方程．(2)

求和椭圆有相同离心率且通径（过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆所交的线段）长等于5的椭圆方程．(3)

求和椭圆有相同离心率，且与直线相切的椭圆方程．答案(1)

；(2)

；(3)

设所求椭圆方程为，解得，故所求椭圆方程为．7.共焦点式的椭圆方程和椭圆有相同焦点的椭圆方程可设为：（形式①）；（形式②）．注上述形式相对比较繁琐，实际上，直接计算，列出两个方程求解更简单．例(1)求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程为．(2)

过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为．答案(1)；(2)；法一利用第一定义，结合点到直线的距离公式，直接求出，又，故；法二设椭圆的标准方程为，则，又，解这两个方程组即可！1.3椭圆的基本参数1.对称性标准方程的图形，不仅关于x轴和y轴轴对称，同时，还关于原点中心对称．2.顶点，，，，或，，，．3.长轴和短轴长轴为2a，短轴为2b，注意区分长半轴为a，短半轴为b．4.焦点，；或，．5.焦距，同时，半焦距c、长半轴为a和短半轴为b是一组勾股数，满足关系式：．注对于基本概念要扎实掌握，一定要区分长轴、短轴、焦距，和长半轴、短半轴、半焦距；尤其在大题中，一定要看清！6.离心率；离心率越大，椭圆越扁．【】椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．因为，所以e的取值范围是；①e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；②反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆．注如图，点P位于短轴的顶点，①当时，有，亦有；②当，即黄金分割比时，有；简单证明如下： ．例(2000年全国联赛)在椭圆中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B．若该椭圆的离心率为，则．答案．7.①准线；或；②焦准距；③通径(为焦准距)．8.焦半径椭圆上的点到焦点的距离；设为椭圆上的一点，在负半轴，在正半轴；(1)

焦点在轴：焦半径(左加右减)；(2)

焦点在轴：焦半径(上加下减)．注①可以利用第二定义快速进行证明；②不必死记公式，结合图像，即可了然，长的加，短的减！③和函数的平移规律规律类似！！④焦半径的取值范围是，这个范围在大题中可以直接用，不需要计算判断！同时，这个在判断离心率的范围中也很常用！具体可参考离心率专题．易错提醒焦半径公式，在考试之时，不能直接使用！！9.焦点弦若过焦点的直线与椭圆相交于两点和，则称线段为焦点弦．(1)

如图，当焦点弦过左焦点时，焦点弦的长度，仅与它的中点的横坐标有关；当焦点弦过右焦点时，有．类似地，当焦点在轴上时，焦点弦，仅与它的中点的纵坐标有关．(2)

过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦点的弦）最短，通径为(为焦准距)．真命题已知椭圆的弦长，则是弦AB能过焦点的必要条件！方程和基本参数例椭圆的离心率为，则2条准线间的距离是．答案焦点在x轴：；焦点在y轴：12．例已知点是椭圆的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是()．A．0 B．1 C．2 D．答案选C；．第一定义例(2014大纲卷文理)已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，过的直线l交C于A、B两点．若的周长为，则C的方程为()．A． B． C． D．答案选A；的周长为．例(2011新课标理)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过的直线交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为．答案由于的周长为16，故，即，，故C的方程为．例(2014辽宁文理)已知椭圆，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则．答案利用椭圆的定义以及三角形的中位线(图形自理)，易知．例(2013大纲卷文)已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则C的方程为()．A． B． C． D．答案椭圆的通径，从答案入手，显然选C．离心率例(1)(2008全国卷Ⅰ文)在中，，．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率．(2)(2008全国卷Ⅰ理)在中，，．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率．答案(1)；(2)．解(1)不妨令，解三角形即可！(2)不妨令，则，即，所以，，．例已知焦点在x轴上的椭圆的方程为，随着a的增大，该椭圆的形状()．A．越接近于圆 B．越扁 C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆答案选D．解由于焦点在x轴上，故，解得．又，即，利用对勾函数的性质可知：在上，在上，因此，e关于a先增大后减小．例(2008湖北文理压轴)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①；②；③；④．其中正确式子的序号是()．A．①③ B．②③ C．①④ D．②④答案选B．解焦点F到顶点P的距离不变，易知②正确；从轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可知，椭圆越来越圆，最终变为圆，结合椭圆的离心率变化规律“越大越扁，越小越圆”，显然③正确，故应选B．参数方程例(2013上海文压轴)记椭圆围成的区域(含边界)为，当点分别在、、…上时，的最大值分别是、、…，则()．A．0 B． C．2 D．答案选．例已知椭圆与直线、，过椭圆上一点P作的平行线，分别交于M、N两点．若为定值，则的值是．答案2．解只有椭圆上的一个单独的动点P，不妨利用参数方程，设，这样的话，只含有一个参数，便于计算，而且，点P的坐标自带椭圆方程的属性，因此，后续的计算也就不用再理会椭圆方程了．设，，则OMPN为平行四边形，故．因此，，若为定值，则，即．例已知动点在椭圆上，过坐标原点的直线BC与椭圆相交，交点为B、C，点Q是三角形PBC内一点，且满足．若点A的坐标为，，，则的最小值为．答案．解易知点Q是△PBC的重心，设，进而易得．因此，．例(2017上海压轴)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆和，P为上的动点，Q为上的动点，w是的最大值．记，则中()．A．元素的个数为2 B．元素的个数为4 C．元素的个数为8 D．含有无穷个元素答案选D．解设，，则，当且仅当时，取得最大值，因此，中含有无穷个元素．例已知点A、B分别在椭圆和椭圆上，O为坐标原点，直线OA、OB的斜率之积为，M为线段AB的中点，则线段MO长度的最大值是．答案．解设，，由得：，不妨令，则点B变为，进而中点M的坐标为，故 ．例点P为椭圆在第一象限的弧上的任意一点，过P引x轴，y轴的平行线，分别交直线于Q、R两点，交y轴，x轴于M、N两点，记△OMQ与△ONR的面积为、，当时，的最小值为．答案．解注意点P是单动点，故可设，，则，，，，故，，则 ，当且仅当时取得最小值．构造椭圆解题主要是利用椭圆的第一定义，构造椭圆进行解题．例P为抛物线上的动点，，，则的最小值为．答案．解令，则点P在以A、B为焦点的椭圆上，其方程为，因此，当抛物线和该椭圆相切时，取得最小值．例已知点P在椭圆上，点、分别是椭圆C的左、右顶点，则的取值范围为．答案．解首先，当且仅当点P与左右顶点重合时取等；其次，对于最大值，可以视点、为焦点，构造椭圆，显然，当点P与上下顶点重合时取得．综合题例(2007江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则．答案；解注意到A，C为焦点，由正弦定理得：．例已知椭圆和圆，其中A为圆心，P为椭圆C上一点，M、N是圆A上满足的相异两点，则的取值范围是()．A． B． C． D．答案选B．解易知圆A和椭圆C是相离的，设MN的中点为Q，则．不妨利用调整法，先固定P，由于，则，接下来，只须求取的最小值，即可确定的上界．设，则，即，亦即．例实数m满足，，点N的坐标为．若动点满足关系式，则的最小值为()．A．20 B． C．12 D．答案选C．解由于，故点N在直线上；设，，则，且点A、B在直线上；又，故M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且长半轴，半焦距，短半轴．因此，当M为短轴的端点时，取得最小值为．例过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值等于．答案；补出另一个焦点，注意利用对称性，可知为平行四边形．例若椭圆过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆右焦点，则的周长的最小值为，的面积的最大值为．答案；．解如图所示，设为椭圆的左焦点，则四边形为平行四边形，故 ， ．例(2015新课标Ⅰ理)一个圆经过椭圆QUOTEx216+y24=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为答案．例(1)

(2012四川理)椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________．(2)

(2012四川文)椭圆(a为定值，且)的的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______．答案(1)

3；(2)．解(1)

法一利用定义转化设椭圆的右焦点为，结合椭圆的定义，可得△FAB的周长为： ，当且仅当弦AB过右焦点取得等号．法二单动点问题，利用参数方程＋焦半径公式设，则△FAB的周长为：，后略．例(2014安徽理)设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A、B两点．若，轴，则椭圆E的方程为．答案．法一常规方法，就是转化为向量，利用坐标代入法．利用点和，可解得点，将点B代入椭圆，解得．法二利用结论：，结合，解得．又，故，即，因此，椭圆E的方程为：．法三易知，利用定比点差对称轴上点公式：，解得．易错提醒定比点差轴上点公式左边的系数2很容易被遗漏！！例(2007江西文压轴、理)设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点()．A．必在圆内 B．必在圆上 C．必在圆外 D．以上三种情形都有可能答案．例(2011湖北理)如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系（其中轴与y轴重合）所在的平面，．(1)

已知平面内有一点，则点在平面内的射影P的坐标为．(2)

已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影C的方程是．答案(1)

；(2)．解设平面内的点在平面内的射影为，则，(1)

点在平面内的射影P的坐标为；(2)

将代入可得：，即．例(2005江苏)点在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为()．A． B． C． D．答案选A．例(2005重庆文理)若动点在曲线上变化，则的最大值为()．A． B． C． D．2b答案选A．解设动点为，则 ，，当，即时，上式在处取得最大值为；当，即时，上式在处取得最大值为．例(1981全国卷文理)在面积为1的△PMN中，，．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．解以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M、N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为、．根据对称性，不妨假设P在x轴上方，设，则…①，又，即…②，根据①②可解得，即P点坐标为．故，，因此，所求椭圆方程为．注也可以把点P代入椭圆方程：，即为，解得或(舍)．例(2008重庆理)如图，和是平面上的两点，动点P满足：．(1)

求点P的轨迹方程；(2)

若，求点P的坐标．答案(1)

；(2)点P的坐标为，，或．例(2007辽宁文压轴、理)设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足，则．答案2．解椭圆离心率为，依题意结合第二定义，可知，设椭圆的右焦点为，则．对于，是一特征条件，即点M是点P、F的中点，故．例(2005天津理)从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n，则能组成落在矩形区域内的椭圆个数为()．A．43 B．72 C．86 D．90答案选B．例(2005重庆文压轴)已知，B是圆（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为．答案．例在△ABC中，已知B、C两点的坐标分别为、，△ABC的重心为G，内心为I，且，求点A的轨迹方程．答案．解设，，则，由可得：，即，因此，△ABC的内切圆半径为．根据面积公式：，即，故点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，易得方程为．例如图，椭圆的短轴为，长轴端点为、，两焦点为、，将椭圆C沿短轴折成直二面角，点P在两个半椭圆所形成的轨迹上运动，则下列结论正确的是()．①取最大值时，点P在短轴的端点；②取最小值时，点P在长轴的端点．A．① B．② C．①② D．①②都不对答案选C．解根据对称性，不妨令点P在半平面上，设，，则（e为椭圆的离心率），，故 ，显然，关于x是单调递减的．

§2飞龙在天，双曲线篇2.1双曲线的定义(和比积)利用定义推导双曲线的方程，可类比椭圆，此处就略去了．1.第一定义之“和”平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数且小于的点的轨迹；其中，两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距．注=1\*GB3①当，与分别表示双曲线的一支，因此，定义中的“绝对值”必不可少．若有“绝对值”，点的轨迹表示双曲线的两支；若去掉“绝对值”，点的轨迹仅为双曲线的一支；=2\*GB3②当时，点的轨迹为以为端点的两条射线；=3\*GB3③当时，轨迹不存在(或不表示任何图形)；=4\*GB3④当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．2.第二定义之“比”平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹；其中，定直线叫做准线，常数叫做离心率．例方程表示的曲线是____________．答案双曲线；，即，即点到点的距离和到定直线的距离的比是．3.第三定义之“积”到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是双曲线；其中，定点为实轴或虚轴顶点，定值为正值．2.2双曲线的方程1.双曲线的标准方程．2.双曲线的参数方程．注参数，同椭圆类似，是物理上的离心角，结合离心率理解．3.双曲线的一般式方程注焦点位置判断当，时，焦点在轴上；当，时，焦点在轴上．当不知焦点在哪个坐标轴上，求标准方程时常用此形式．4.双曲线的定义式方程①第一定义：；②第二定义：．5.双曲线的极坐标方程见后面章节；6.共焦点式的双曲线方程和双曲线有相同焦点的椭圆方程可设为：（形式①）；（形式②）．7.同离心率、且焦点在同轴的双曲线方程和双曲线有相同的离心率的双曲线方程都具有的特征．8.同渐近线式的双曲线方程具体见下文之“渐近线方程vs双曲线的标准方程”；例已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为．答案设双曲线方程为：，代入，，即．2.3双曲线的基本参数1.对称性标准方程的图形，不仅关于x轴和y轴轴对称，同时还关于原点中心对称．2．顶点，，或，．3．实轴和虚轴实轴为2a，虚轴为2b；注意区分实半轴和虚半轴．4．焦点，；或，．5．焦距，同时，半焦距c、长半轴为a和短半轴为b是一组勾股数，满足关系式：．6.离心率，离心率越大，开口越大；双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，分析和上面的椭圆类似，譬如，当接近1时，越来越小，双曲线的“张口”越来越小．7.①准线；或；②焦准距；③通径(为焦准距)．8.焦半径设为双曲线上的一点，由于双曲线分两支，故焦半径分为两种．(1)

焦点在轴：在左支，在右支；(2)

焦点在轴：在下支，在上支．9.焦点弦若过焦点的直线与双曲线的一支相交于两点和，则称线段为焦点弦．注双曲线焦点弦的推导方法与椭圆类似，结果也是仅与弦中点的横坐标或者纵坐标有关．10.双曲线的渐近线；或．(1)

求双曲线的渐近线，把标准方程中的“1”用“0”替换，然后因式分解或者开方得到．(2)

反之，若渐近线方程为双曲线可设为：；类似，若已知渐近线的方程为，则双曲线的方程可设为：(且为常数)．(3)

与双曲线有公共渐近线的双曲线系方程是：(，焦点在轴上，，焦点在轴上)，若题目中告知双曲线渐近线方程，可设此方程，利用待定系数法进行计算．第一定义例(1)(2003上海文理压轴)给出问题：是双曲线的焦点，点P在双曲线上．若点P到焦点的距离等于9，求点P到焦点的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内．(2)(2004天津文理)设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则()．A．1或5 B．6 C．7 D．9答案(1)；(2)选C．例(2005福建文)已知定点A、B且，动点P满足，则的最小值是()．A． B． C． D．5答案选C．解由于，故P的轨迹是双曲线，而且是单支！假设A为左焦点，则点P的轨迹是双曲线的右支，易知的最小值为．例(1)(2014大纲卷理)已知双曲线C的离心率为2，焦点为，点A在C上，若，则()．A． B． C． D．(2)(2012大纲卷文理)已知为双曲线的左右焦点，点P在C上，，则()．A． B． C． D．答案(1)选A；，不妨令，，则，．(2)选C；，，，利用余弦定理计算即可．例(2013辽宁文)已知F为双曲线的左焦点，P、Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点在线段PQ上，则△PQF的周长为__________．答案A为右焦点，利用双曲线的第一定义，易得周长为44．例(2016浙江文)设双曲线的左、右焦点分别为．若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是_______．答案．解假设P在右支上，则，设法求出的取值范围即可．画图可知，可以从临界状态出发，分成两种情况：①，则，；②，则，解得，．综合①②可得．例(2011大纲卷文压轴、理)已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的平分线，则________．答案6．解，，利用角平分线定理：，又或，可解得或（舍），故应填6．例已知双曲线右支上一点P，满足，实轴长为1，分别是双曲线的左、右焦点，M为y轴上一点，则()．A． B． C． D．答案选C．解由得：，既然是选择题，直接特殊化，令M为原点O，故 ．当然，正常做，拆分一下即可，即为： ．例经过双曲线的右焦点作倾斜角为的弦AB，则的周长为．答案．解双曲线的渐近线为，故倾斜角为的弦AB交于双曲线的两支，不妨设A在左支上，则的周长为：．在中，利用余弦定理得：（变相使用极坐标公式），易解得，故的周长为．例双曲线上一点P到左焦点距离为20，则点P到右准线的距离为．答案或．例(2006江西文理)P为双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为()．A．6 B．7 C．8 D．9答案选D．解设双曲线的两个焦点分别是、，则焦点也是两圆的圆心，因此，当且仅当P、M、三点共线以及P、N、三点共线时所求的值最大，即．方程和基本参数例若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为()．A． B． C． D．答案选C．例(2016全国Ⅰ理)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()．A． B． C． D．答案选A．解，方程表示双曲线，，即，故选A．例(2012上海文)对于常数m、n，“”是“方程的曲线是椭圆”的()．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案选B．例(1)(2013湖北文)已知，则双曲线与的()．A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等(2)(2013湖北理)已知，则双曲线与的()．A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等答案(1)选D；(2)

利用，易得选D．例(2014天津文理)已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()．A． B． C． D．答案从答案入手即可．例(2006辽宁文压轴、理)曲线与曲线的()．A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同答案选A．解曲线表示焦点在x轴上的椭圆，曲线表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A．例(2012山东理)已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()．A． B． C． D．答案选D．解，排除B，双曲线的渐近线为，结合面积和对称性，可知点在C上，显然选D．通径(2016山东文理)已知双曲线，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB、CD的中点为E的两个焦点，且，则E的离心率是_______．答案2．法一考察双曲线的通径，，，故，解得或（舍）．法二赋“单位值”的思想！不妨令，，作出图象如下图所示，则，，故．例(2011新课标理)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A、B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()．A． B． C．2 D．3答案选B．解是通径，同时，注意区分实轴和实半轴，故，即．例(2012重庆文)设P为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于x轴，则双曲线的离心率．答案．解易得点P的坐标为，代入得：，令，则，，故．离心率例(2008全国卷Ⅱ文)设是等腰三角形，，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为()．A． B． C． D．答案选B．解易得，，故．例(2011福建文理)设圆锥曲线E的两个焦点分别为，若曲线E上存在点P满足，则曲线E的离心率等于()．A．或 B．或2 C．或2 D．或答案选A．解不妨令，，，若曲线E为椭圆，离心率为，若曲线E为双曲线，离心率为．例(2012浙江文)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M、N是双曲线的两顶点．若M、O、N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()．A．3 B．2 C． D．答案选B．解设椭圆为，双曲线为，则，设焦半径为c，故双曲线与椭圆的离心率的比值是．例设F为双曲线的右焦点，过点F的直线分别交两条渐近线于A、B两点，OA⊥AB，若，则该双曲线的离心率为()．A． B．2 C． D．答案选C．法一设渐近线OA的倾斜角为，则，由可得：，即，即，不妨令，，则，故选C．法二设，，，故，解得：．因此，，即，解得：，则离心率．例(2016浙江理)已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则()．A．且 B．且 C．且 D．且答案选A．解焦点重合：，故，取，，则．例(2008全国卷Ⅱ理)设，则双曲线的离心率e的取值范围是()．A． B． C． D．答案选B．解，其中．例(2015湖北文理)将离心率为的双曲线的实半轴长a和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则()．A．对任意的a、b， B．当时，；当时，C．对任意的a、b， D．当时，；当时，答案选D．解借助下面的背景，利用分析，易得选D．当然，利用特殊值法，也很容易得到答案．注糖水不等式也称作真分数的性质：若，则．拓展若，，，则，即“真分数越加越大，假分数越加越小！”例过双曲线的右焦点作斜率为的直线，分别交曲线E的左、右支于点A、B．若在曲线E上不存在点P，使得△PAB构成以A为直角顶点的直角三角形，则双曲线E的离心率为()．A． B． C．2 D．答案选D．解等价于垂直AB且过A的直线平行于渐近线．渐近线例(2014北京理)设双曲线C经过点，且与具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为．答案；．解易知渐近线方程不变，都是，设双曲线C为：，代入，可得，即C的方程为．例(2008辽宁文)已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则()．A．1 B．2 C．3 D．4答案选D．解注意到双曲线的焦点在y轴上，易知，，取顶点，一条渐近线为，，即．例(2010上海文)在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线上的点P，若（a、b），则a、b满足的一个等式是．答案．解由、可知双曲线渐近线方程为，结合焦点坐标，易求得双曲线方程为，…，可得．例(2010浙江理)设分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()．A． B． C． D．答案选C．解易知，平方解得，故，可得C．渐近线勾股三角形渐近线勾股三角形双曲线的焦点到渐近线的距离为定值b，如图所示，由于渐近线OA的斜率为，又，，显然AF的长度是定值b．渐近线勾股三角形vs双曲线的小圆如图所示，过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为P，那么，点P在渐近线上，也在左准线上，即点．例(1)(2014大纲卷文)双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()．A．2 B． C．4 D．(2)(2014新课标Ⅰ理)已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()．A． B．3 C． D．答案(1)

选C；(2)选A．解(1)显然

，又，故，，选C．(2)

双曲线的焦点到渐近线的距离是定值b，易得答案为A；对于此题，切不可强行求出焦点和渐近线，然后硬算，这样小题大做了！例(2016北京理)双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA、OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_____．(2011山东理)已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A． B． C． D．答案(1)

2；(2)选A．解(1)

双曲线的焦点到渐近线的距离为定值b，故．(2)

把圆C化成标准式：，故右焦点为，又两条渐近线均和圆C相切，由于双曲线的焦点到渐近线的距离为定值b，故，选A．例(2014江西文)过双曲线的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()．A． B． C． D．答案选A．解不妨取渐近线，点，则，△OAC为正三角形．或者利用焦点C到渐近线的距离为b，故，即．例已知双曲线的右焦点为F，若在双曲线第一象限内的渐近线上存在两点A、B满足，且，则双曲线的离心率为()．A．2 B． C．3 D．答案选A．解设线段AB的中点为M，则，，又，故，在中，利用勾股定理，易得选A．例如图，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则与的大小关系为()．A． B． C． D．以上三种都有可能答案选C．解设另一个焦点为，易知，因此，．注M、T的位置与离心率的关系：①当时，M、T重合；②当时，M在T的左边；③当时，M在T的右边．例已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆的一条切线与双曲线的渐近线在第二象限内交于点A，同时这条切线交双曲线的右支于点B，且，则双曲线的渐近线的斜率为()．A． B． C． D．答案选A．解设切线和圆的切点为Q，则切线的方程为，又渐近线方程为，恰好和切线垂直，因此，点A和点Q重合，即，故．练习已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为点A，若，且点B在以为圆心，为半径的圆内，则C的离心率的取值范围为()．A． B． C． D．答案选A；易得，，，利用余弦定理求解即可．例(2012湖北理)如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为．若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A、B、C、D．则(1)

双曲线的离心率；(2)

菱形的面积与矩形ABCD的面积的比值．答案(1)

；(2)．解(1)

利用直角三角形的等面积公式：，即，又，代入整理得：，解得（舍去）或，即．(2)

利用上述总结，可知点，当然，现推也不难！连结OB，设BC与x轴的交点为E，由勾股定理可得：；利用直角三角形的等面积公式：，即，进而．因此，，，故．注此题是以圆和菱形为载体，考察直角三角形的常用平几性质，因此，平时一定要熟练，类似性质可参考章节？例设双曲线的下焦点为，直线与圆相切于点M，与双曲线的上支交于点N，若（O为坐标原点），则此双曲线的离心率为．答案．解画出图形（此处略），易知△FON为等腰三角形，则．补出上焦点，则，因此，，即，不妨令，，则，．例已知为双曲线的左、右焦点，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，则()．A． B． C． D．答案选A．法一做辅助线，利用对称性；易知，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，根据对称性，可得：，因此，，故选A．法二转化为向量，利用直角三角形的投影；．法三利用三角形的中线长公式，故．例若是双曲线的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A、B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率()．A． B． C． D．或答案选C．解注意到隐藏的限制条件“”，设渐近线对应的倾斜角为，不妨假设FA⊥OA，则，，故，解得．例过双曲线的左焦点向圆作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为．答案2或．解不妨设切点为A，在第二象限，截得的线段，又，则；对于B，须分成两种情况：当点B在第一象限时，；当点B在第四象限时，．例设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，△FOH的内切圆与x轴切于点B，且，则C的离心率为()．A． B． C． D．答案选D．解如图所示，抽象出几何模型，则，即．例(2018江苏)在平面直角标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．答案2．解，易得离心率．渐近线与焦点圆的交点渐近线与焦点圆的交点如图，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点坐标为．不过，很多时候，题目会以“点P在渐近线上，且”的形式给出条件．证明渐近线的方程为，设，则，即，即．例双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点(P在第二象限，Q在第一象限)，，，则双曲线C的离心率为．答案4．解由易知，又，，故，代入，易得．例双曲线的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若，，则双曲线的离心率是()．A． B．2 C． D．答案选B．法一（代数法）易知，故点P坐标为，又，解得．法二（几何法）注意到是线段的垂直平分线，故．补充模型例设、是椭圆的左、右两个焦点，若椭圆上存在一点P，使得（其中O为坐标原点），且，则椭圆的离心率为()．A． B． C． D．答案选A．解由，结合中位线，易得，后略．例已知双曲线的的左、右焦点分别为、，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若，该双曲线的离心率为e，则()．A．2 B． C． D．答案选D．法一易得点M的坐标为；设双曲线的半焦距为c，由于，故点M的轨迹为双曲线，代入，解得，故．法二如图所示，作出辅助线，设，则，即，又，解得．构造双曲线解题例在△ABC中，，，△ABC的面积为，则．答案．解构造双曲线，以B、C为焦点，易得点A的轨迹方程为：．设，则，故．例在△ABC中，M是BC的中点，，，则△ABC的面积的最大值是．答案．法一如图，不妨令，以、为焦点，构造双曲线，又，故点A满足：，解得，当且仅当，即时取得等号，由于，显然，△ABC的面积的最大值是．法二利用中线长公式：，解得，又，可得：．又，因此，，即△ABC的面积的最大值是，当且仅当时取得等号．法三利用极化恒等式：，即，又，可解得，后续同法二．例求下列函数的值域：(1)

；(2)

．答案(1)

；(2)．解(1)

法一令，则等价于直线与等轴双曲线有交点，如图所示，数形结合，只须或即可，即值域为．法一(2)

由于，故等价于求的值域，令，则等价于直线与等轴双曲线有交点，如图所示，注意到：与渐近线平行的直线与双曲线相交时，有且只有一个公共点，故或，即值域为．综合题例若双曲线的右支上一点直线的距离为，则的值是()．A． B． C． D．答案选B．解设与直线的距离为的直线方程为，则，即．联立和，可得点．例(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线右支上一个动点，若点P到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．答案选．法一代数解法因为关于单调递减，故当时，故，故这里用到了分子有理化，可以有效解决两个根号相减无法判断单调性的问题。法二注意到双曲线的一条渐近线是，恰好与直线平行，故双曲线右支上的点到的距离，可以理解为双曲线右支上的动点P到渐近线的距离加上两平行线间的距离，显然，当点P无限接近渐近线，距离接近于0，故，即．例已知A、B为双曲线上经过原点的一条动弦，M为圆上的一个动点，则的最大值为．答案．解利用极化恒等式：，又，，因此的最大值为．例已知A、B是椭圆和双曲线的公共顶点，P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足，其中，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别为，若，则．答案．解设，，由可知：O、M、P三点共线，故．又，因此，，又，所以．例(2011浙江文理)已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若恰好将线段AB三等分，则()．A． B． C． D．答案选C．法一设渐近线和椭圆交于点C、D，则，可得点D的坐标为，代入整理可得：，又，易得C．法二借助硬解定理：．例(2015重庆理压轴)设双曲线的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()．A． B． C． D．答案选A．法一易得，，，根据双曲线的对称性，可知点D在x轴上．直线AC的斜率为，故直线BD的方程为：，令，可得，即D到直线BC的距离为．令，解得，故选A．法二画出草图可知，图形中有多个直角三角形，因此，可以尝试利用平几法，即利用相似三角形或直角三角形的射影定理！利用相似三角形：易证得△ABF∽△CDF，故，即．利用直角三角形的射影定理：如图所示，作出点D关于直线BC的对称点，则是菱形，由于BA⊥CD，故，在中，．例(2005江西文理压轴)以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点．其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）答案④．解①显然不对；②由可知：点P为AB的中点，在△AOB中，取OA的中点为M，，则（设圆的半径为r），故点P的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆；③两根分别为2、，故命题正确；④显然不对．例(2002全国旧课程卷理)设点P到点、距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．解设，根据题意可得：，即，，因此，点、、三点不共线，得，又，故．因此，点P是以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上，即．将代入双曲线方程，解得，因，故，解得，因此，m的取值范围为．例(2008重庆文)如图，和是平面上的两点，动点P满足：．(1)

求点P的轨迹方程；(2)

设d为点P到直线的距离，若，求的值．答案(1)

；(2)．解(2)

易知，又，故，即点P在双曲线的右支上；法一注意到直线l是双曲线的准线，由第二定义得： ，其中e为双曲线的离心率，代入得：，解得，所以．法二设，注意到（焦半径），结合，易得，故．法三由，解得，结合，故．例方程的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④的图象不经过第一象限．其中正确的序号是．答案①②③④．解由知，x、y不能同时大于0，分类讨论：当，时，表示双曲线的一部分；当，时，表示椭圆的一部分；当，时，表示双曲线的一部分；如图所示，作出图象，易知①③④正确．对于②的判断：由于是双曲线和的渐近线，所以结合图象可知曲线与直线没有交点，则不存在零点．例(2004浙江文压轴、理)已知双曲线的中心在原点，右顶点为，点P、Q在双曲线的右支上，点到直线AP的距离为1．(1)

若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；(2)

当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程．答案(1)

；(2)．解(1)

直线AP的方程，点M到直线AP的距离为1，故，即，由于，故，解得．(2)

设双曲线方程为，由于点，，故，又因为M是ΔAPQ的内心，M到AP的距离为1，所以，直线AM是∠PAQ的角平分线，且M到AQ、PQ的距离均为1．因此，，（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为，直线AP的方程，解得点，将点P代入双曲线方程，解得，因此，双曲线方程为，即．

2.4等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线的方程为，其离心率为固定值，即，且等轴双曲线的两条渐近线是相互垂直的．相关性质(1)

等轴双曲线上的点P到原点O的距离，是点P到左右焦点的距离的等比中项，即；(2)．证明如图，不妨设等轴双曲线为，设，利用焦半径公式可得：，．(1)

；(2)

令，结合(1)

可得：，解得．因此，令，解得，即．注对于(1)的证明，也可以利用直译法，参考下面的例题；此外，也可以利用三角形中线长定理，参考下面的总结．例(2007全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线相切．(1)

求圆O的方程；(2)

圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使、、成等比数列，求的取值范围．解(1)

圆O的半径，故圆O的方程为．(2)

法一，，设，由、、成等比数列可得： ，整理得：．【对于上式，估计多数同学会畏于尝试化简！！】故，由于点P在圆O内，故，解得，所以的取值范围为．法二注意到，联想到三角形的中线定理，可得： ，即，故点P在以A、B为焦点的双曲线上，易得其方程为：，后续求解同上．注上述过程中的极化恒等式和三角形中线定理的推导套路，在考试之时，要熟练书写．例椭圆在x轴上的顶点为A、B，动点P在椭圆内，且，则的取值范围是．答案．解，，设，由可得点P的轨迹方程为；联立，解得，故 ．例设，求坐标平面上的两点、之间的距离的最小值．解此题是个马甲题！它把等轴双曲线以参数方程的形式给出！！由，但是，要注意题目的隐藏限制条件：由于，则，因此，点A的轨迹实质是双曲线的右支，易得．一般情况(1)

设、是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，P是椭圆上任意一点，则．(2)

设、是双曲线的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，则．显然，上述等轴双曲线的性质是此情况的特例．下面以椭圆为例进行证明，双曲线方法类似，故略过．证法一代数法＋利用焦半径设，则；又，故得证．证法二几何法＋利用三角形的中线长定理在中，利用中线长定理：，整理即可得证．例已知椭圆，圆，椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M、N两点，求证：．证明设圆O的半径为r，则，结合上面的总结，显然成立．例已知点P是双曲线上的动点，是其左、右焦点，O坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是．答案．解利用中线长定理，易得：，因此， ．例已知双曲线的右顶点为A，与x轴平行的直线交于B、C两点，记，若的离心率为，则()．A． B． C． D．答案选B．解不妨令双曲线为：，则，设，，故 ．例设点P是双曲线上异于实轴端点上的任意一点，、分别是其左、右焦点，O为中心，，则此双曲线的离心率为()．A． B． C． D．2答案选C．

2.5双曲线的渐近线专题渐近线的常用性质四条已知双曲线，设直线l与其渐近线交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，点P为双曲线上的一点，则有如下性质：性质一(1)

渐近线的合并方程：，一般也称作“退化的双曲线”．此合并方程可以和直线进行联立，解决“直线和双渐近线”的问题！不过，要注意一点，此方程不适用硬解定理！！(2)

设AB的中点为M，则直线AB和OM的斜率，也满足“垂径定理”，即．(3)

，即AB和CD的中点是重合的．证明(1)

渐近线可以看成退化的双曲线“”．(2)

与椭圆、双曲线类似，点差法对于渐近线合并方程也是适用的．(3)

当直线AB和斜率不存在或者为0时，根据对称性，显然成立；当直线AB和斜率存在且不为0时，设CD的中点为M，对双曲线利用中点点差法可得：；设AB的中点为，对渐近线二合一方程利用中点点差法可得：；因此，，由于点M、都在直线l上，故点M、重合．例(2006湖南文理)过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是()．A． B． C． D．答案选A．法一由可知，直线l为，与渐近线联立，可解得，，故，解得，故选A．法二直线l为，与渐近线二合一方程联立：，由可知，故，解得，故选A．例在△ABC中，，的平分线交边BC于点D，，则△ABC面积的取值范围是()．A． B． C． D．答案选D．解如图所示，设直线BC的方程为，且．联立：，故 ．练习在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，角A的平分线交BC于点D，其中，则．答案．法一由得：…①；又…②由①②可得：，故．法二同上题类似，构造双曲线的渐近线，则，合并即为：，设直线BC的方程为：，；联立：，易得，故，整理得：，解得或(舍去)，因此， ．性质二设点P到两条渐近线的距离分别为、，则：(1)

；(2)

；(3)

△PEF的面积为．证明如图，假设点P在第一象限，设，则，两条渐近线为，设，则，，，．(1)；(2)；(3)．例(1)

已知P是双曲线上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是()．A． B． C． D．不能确定(2)(2012全国高中数学联赛一试)设P是函数的图象上任意一点，过点P分别向直线和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则的值是．答案(1)选A；(2)．例(2005上海春季高考)已知函数的定义域为，且.设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线和y轴的垂线，垂足分别为M、N．.(1)

求a的值；(2)

问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；(3)

设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．答案(1)

；(2)为定值1；(3)．解(1)由于

，故．(2)

设点，则，，又，故，因此，为定值1．(3)

由题意可设，则，解得：，因此，，，故 ，当且仅当时，等号成立，所以四边形OMPN面积的最小值为．例(2005北京文压轴、理)如图，直线与直线之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为，右半部分记为．(1)

分别用不等式组表示和；(2)

若区域W中的动点到的距离之积等于，求点P的轨迹C的方程；(3)

设不过原点O的直线l与(2)中的曲线C相交于两点，且与分别交于两点．求证的重心与的重心重合．答案(1)

，；(2)；(3)

略．解(2)

根据题意可得：,即，又动点在W区域，故，即．(3)

当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为，由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为，即它们的重心重合．当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为．由，得，由直线l与曲线C有两个不同交点，可知，且，设，，则，，设，，由及，解得：，．从而，所以，于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．性质三过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于G、H两点，则：(1)

；(2)

平行四边形PGOH的面积为定值．证明(1)

法一单动点，可以利用双曲线的参数方程设，直线PG的方程为：，与联立，解得，同理可得：，故；法二设，，则，代入双曲线方程： ，即，故．(2)

．例双曲线的左、右焦点分别为、，若点为C上的任意一点，过点P作C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A、B两点，若四边形PAOB的面积为，且，则m的取值范围是．答案．解由于四边形PAOB为平行四边形，设，，则，代入双曲线方程，可解得，故，解得，所以．依题意可知：，c为双曲线的半焦距，故．例已知点O是坐标原点，点M在双曲线（为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则的最小值为．答案．解过点M作双曲线C的另一条渐近线的垂线，垂足为H，则矩形MNOH的面积为定值，因此，，当且仅当时取得等号．例(1982全国卷理)如图：已知锐角内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数．今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线．解设点P的坐标为，，，则，，故，即，即，即…将代入，可得：，相应的直角方程为：，这个方程表示双曲线，由题意，动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分．性质四(1)

设，，，则．【纵坐标类似】(2)

设，、，则，.【由于，显然可以借助对勾函数的性质分析最值】证明(1)

法一．法二利用面积叉积公式：．(2)

由于，，代入，…，整理化简可得：．例(2009陕西文压轴、理)已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为．(1)

求双曲线C的方程；(2)

如图，P是双曲线C上一点，A、B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，，求面积的取值范围．答案(1)

；(2)

．解(2)

双曲线C的两条渐近线方程为，设，，且由，可得P点的坐标为，代入，化简得：．利用坐标叉积公式：，，利用对勾函数的性质，易得面积的取值范围为．注①坐标叉积公式需要推导，考试之时不能直接使用！一般可以借助向量快速推导，摆个公式，走个过场即可：，其他方法参考向量坐标面积的总结．②对勾函数的性质只能作为草稿分析使用，不能作为书面形式直接使用，考试之时需要借助导数进行书面论证，具体如下：记，则，可得在上唯一的极值点，比较端点与极值点上的函数值：，，，可得面积的取值范围为．练习已知直线l与双曲线的两条渐近线及右支依次交于P、M、N、Q（其中M、N在双曲线上），若M是PN的中点，且，则双曲线的离心率为()．A． B． C． D．答案选D．解由于，又M是PN的中点，故，设，，则点，即点，代入双曲线方程可得：，解得．渐近三角形过双曲线上一点，作双曲线的切线交两渐近线于、两点，则称△AOB为双曲线的渐近三角形，双曲线的渐切三角形有如下性质：(1)

点P处的切线方程为，即（垂径定理的极限形式）．(2)

点P是线段AB的中点，即．(3)

①渐近三角形的面积为定值，即；②，；③记AB边上的高为h，则，．(4)

①记AB与x轴交于点M，则；②记AB与y轴交于点N，则．例在双曲线的两条渐近线上分别取点A和B，使得，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是________．答案．解易知渐近线为，设，，则，即．设AB的中点为，则，故，即．例(2015四川理)如果函数在区间单调递减，则mn的最大值为()．A．16 B．18 C．25 D．答案选B．解即在恒成立，利用一次函数的保号性，只须恒成立即可，可得约束条件为，画出可行域，如图所示．常规方法，是转化为关于m或n的二次函数进行讨论，过于繁琐，如果利用上述结论，显然，只需要找到中点即可，线段的中点是，但是，故舍去；线段的中点是（从图中看很显然），验证满足题意，故mn必在点处取得最大值．练习(1)(2015四川文)设实数x，y满足，则xy的最大值为()．A． B． C．12 D．14(2)(2008上海文压轴)在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、．如果是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点P的坐标是．答案(1)选A；(2)．例已知函数，曲线在点处的切线分别与y轴和直线交于A、B两点，则A、B两点距离平方的最小值为．答案．法一易求得，，故 ，当且仅当，即时取得等号．法二注意到是以y轴和直线为渐近线的双曲线，故为定值．由于，，故 ．双曲线渐近三角形的面积拓展①双曲线上任一点的切线与两条渐近线、围成的三角形的面积是．②双曲线上任一点的切线与两条渐近线、围成的三角形的面积是．③双曲线上任一点的切线与两条渐近线、围成的三角形的面积是．例点是曲线上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x、y轴分别交于A、B两点，点O是坐标原点，有下列三个命题：①；②△OAB的面积为定值；③曲线C上存在两点M、N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中正确的命题个数是．答案2个（①、②）．例设直线、分别是函数图象上的点处的切线，与垂直相交于点P，且、分别与x轴相交于点A、B，则△PAB的面积取值范围是()．A． B． C． D．答案选B．解易知点不在同一支，如图所示，利用上述结论，易知，因此，，当且仅当点P为，即、的斜率分别为1、时取得等号；同时，当点在负无穷远处时，的斜率趋近于0，此时趋近于和y轴重合，则．当然，严格论证的话，可以设出两个切点，计算一下即可，具体过程略．例(2008宁夏、海南理压轴)设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)

求的解析式：(2)

证明：函数的图像是一