2023学年九年级数学上册重要考点题精讲精练(人教版)正多边形和圆（7大题型）（原卷版）

正多边形和圆(原卷)正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．注意：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).题型1：正多边形的相关概念1.下列关于正多边形的叙述，正确的是（）A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为720°C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【变式1-1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°【变式1-2】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（）A．30°B．45°C．55°D．60°正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.注意：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形题型2：正多边形与圆有关的计算-角度2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（）A．45° B．38° C．36° D．30°【变式2-1】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°【变式2-2】如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．题型3：正多边形与圆有关的计算-长度3.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为（）A．2 B．23 C．3 D．【变式3-1】如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若∠AOB是某正n边形的一个外角，则n的值为（）A．16 B．12 C．10 D．8【变式3-2】如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝22，则⊙O的半径为（）A．2 B．6 C．22 D．2【变式3-3】如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．题型4：正多边形与圆有关的计算-面积4.如图，已知圆O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距n，面积S．【变式4-1】已知在正六边形ABCDEF中，P是EF的中点，若阴影部分四边形ABPE的面积为9，则五边形BCDEP的面积是（）A．12 B．123 C．18 D．【变式4-2】如图，内接正八边形ABCDEFGH，若ΔADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为.正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形.

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形.再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.

②正六、三、十二边形的作法.

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分…….

注意：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.题型5：作圆的正三角形、正方形、正六边形5.尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。【变式5-1】尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．题型6：规律性问题6.如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为．【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝4）的顶点∁i的坐标是（）A．（1，-3） B．（1，3） C．（1，﹣2） D．（2，1【变式6-2】如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（）A．（﹣2，23） B．（﹣2，﹣23） C．（2，﹣23） D．（2，23）题型7：正多边形的旋转问题7.一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，大正六边形在绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（）A．S变化，l不变 B．S不变，l变化C．S变化，l变化 D．S与l均不变【变式7-1】五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．36° B．60° C．72° D．90°【变式7-2】下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形【变式7-3】如图，边长为1的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为1的圆上，其它各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为．一、单选题1．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=（）

A．85° B．95° C．105° D．115°2．半径为a的圆的内接正六边形的边心距是（）A．a2 B．2a2 C．3a3．如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O,连接BD，则∠CBD的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=()

A．35° B．70° C．110° D．140°5．若一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r1，r2，r3，则r1：r2：r3等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：2：3 D．3：2：1二、填空题6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=100°，则∠BOD=7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C．连接OA，OB，BC．若AB是⊙O的内接正六边形的一边，则∠ABC的度数为8．一个正多边形的每个内角都等于140°，则它是正边形．9．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是．三、作图题10．如图，已知⊙O，点A在圆上，请以A为一顶点作圆内接正方形ABCD.（保留作图痕迹，不写作法）四、解答题11．一个正多边形的每一个外角都等于36°，求这个多边形的边数.12．四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD，∠A=100°，点E在AD上，求∠E的度数.13．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．14．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．15．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠