2022年浙江省台州市三门县沿江中学高三数学文下学期摸底试题含解析

2022年浙江省台州市三门县沿江中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝，当x＞0时，f（x＋1）＝f（x）＋f（1），若直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为A．（2－2，2－4）

B．（＋2，＋）C．（2＋2，2＋4）

D．（4，8）参考答案：A2.已知，则函数的零点个数为

（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B3.函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，则的值（

）

A．大于

B．小于

C．等于

D．与的大小关系无法确定

参考答案：D略4.下列说法中，正确的是（

）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“，”的否定是：“，”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件参考答案：B略5.已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，动点的轨迹为，已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，则的最大值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.设函数，若，（

）A．2 B．－2 C．2019 D．－2019参考答案：B因为，所以，因此函数为奇函数，又，所以．故选B．7.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（

）A.62

B.66

C.68

D.74参考答案：B解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B。证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66。8.已知向量，若，则的最小值为（

）

A．

B．6

C．12

D．参考答案：B由，得，即。从而，所以的最小值为6，故选择B。9.均为正实数,且,，，则

A.

B.

C.

D.参考答案：A因为均为正实数，所以，即，所以。，因为，即，所以，即。，因为，所以，即，所以，选A.10.若函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若,则的值是

.参考答案：略12.已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量﹣=

．参考答案：（﹣3，﹣4）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直，数量积为0，得到关于m的方程解之．解答： 解：因为平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，所以且?=4﹣2m=0，解得m=2；所以向量﹣=（1﹣4，﹣2﹣2）=（﹣3，﹣4）；故答案为：（﹣3，﹣4）．点评：本题考查了向量垂直，数量积等于0以及向量减法的坐标运算；属于基础题．13.已知集合，集合，则_______．参考答案：14.已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角A－BD－C的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．参考答案：28π如图1，取的中点，连接.因为四边形是菱形，所以在平面上的投影为，所以，所以平面平面.

易得外接球的球心在平面内，如图2，在上取点，使，过点作垂直，过点作垂直于.

设与交于点，连接，则，则为球心.

易得垂直平分，其中，所以，所以，即外接球的表面积为，故答案为.15.已知函数则

_________

参考答案：16.若向量满足=1，=2，且与的夹角为，则=

。参考答案：略17.正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是

．参考答案：因为是它的内切球的一条弦，所以当弦经过球心时，弦的长度最大，此时.以为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性，不妨设分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为，设坐标为，则,,所以，即.因为点为正方体表面上的动点，，所以根据的对称性可知，的取值范围与点在哪个面上无关，不妨设，点在底面内，此时有，所以此时，,所以当时，，此时最小，当但位于正方形的四个顶点时，最大，此时有，所以的最大值为2.，所以，即的取值范围是.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，g(x)为f(x)的导函数．（Ⅰ）试讨论g(x)的单调性；（Ⅱ）若f(x)有唯一极值点，且对时，有满足．求证．参考答案：（Ⅰ）①当时，在上单调递增，②当时，上单调递减，在上单调递增（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）可求得，分与两类讨论即可得到的单调递增情况；（Ⅱ）由（1）知在上是增函数，由可得，又，两式作差后，分析得到，令，记，求导分析后即可证得结论成立．【详解】（Ⅰ）解：的定义域为，且，∴①当时，在上单调递增，②当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）证明：由得或，∴当存在唯一极值点时知，∴又由（1）知在上是增函数，由可得：，又，，由，，得，令，记，则，在上是增函数，而，，，即，，又在上是增函数，，即【点睛】本题主要考查了导数在函数问题与不等式证明的应用，不等式证明问题常见解法是转化为函数的最值问题，构造新的函数解决问题的关键.19.（本题满分12分）设,满足

.(1)求函数的单调递增区间；（2）设三内角所对边分别为且，求在

上的值域．参考答案：(1)的单调减区间为………6分

(2),由余弦定理可变形为，由正弦定理为

………12分略20.已知等比数列为递增数列，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）令，不等式的解集为，求所有的和.参考答案：解：（Ⅰ）设的首项为，公比为，所以，解得

又因为，所以则，，解得（舍）或所以

（Ⅱ）则,当为偶数，，即，不成立

当为奇数，，即，因为，所以组成首项为，公比为的等比数列,则所有的和略21.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．参考答案：考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系．专题：综合题；空间角．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接EO，DO．利用等腰三角形的性质，可得EO⊥AB，证明边形OBCD为正方形，可得AB⊥OD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，从而可得AB⊥ED；（Ⅱ）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为，，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；（Ⅲ）存在点F，且时，有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量，证明=0即可．解答： （Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．

…因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．

…因为EO∩OD=O所以AB⊥平面EOD．

…因为ED?平面EOD所以AB⊥ED．

…（Ⅱ）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB所以EO⊥平面ABCD，因为OD?平面ABCD，所以EO⊥OD．由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．所以，平面ABE的一个法向量为．…设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．

…（Ⅲ）解：存在点F，且时，有EC∥平面FBD．

…证明如下：由，，所以．设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有所以取a=1，得=（1，1，2）．

…因为=（1，1，﹣1）?（1，1，2）=0，且EC?平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足时，有EC∥平面FBD．

…点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键．22.（本小