过程控制系统建模方法过程控制及其MATLAB实现（第2版）课件

2过程控制系统建模方法2过程控制系统建模方法1本章学习内容2.1过程控制系统建模概念2.2机理建模方法2.3测试建模方法第二章

过程控制系统建模方法本章学习内容第二章

过程控制系统建模方法22.1.1

建模概念2.1.2过程控制系统建模的两个基本方法42.1

过程控制系统建模概念2.1.1建模概念42.1

过程控制系统建模概念32.1.1建模的概念建立被控对象的数学模型例如，典型的RLC电路ucu用方程列写的数学模型用图形表示的数学模型输出uc输入u2.1.1建模的概念建立被控对象的数学模型ucu用方程列4建模需要三类主要的信息源1、要确定明确的输入量与输出量通常选一个可控性良好，对输出量影响最大的一个输入信号作为输入量，其余的输入信号则为干扰量。

2.1.1建模的概念建模需要三类主要的信息源2.1.1建模的概念52、要有先验知识在建模中，被控对象内部所进行的物理、化学过程符合已经发现的许多定理、原理及模型。在建模中必须掌握建模对象所要用到的先验知识。3、试验数据过程的信息也能通过对对象的试验与测量而获得。合适的实验数据是验证模型和建模的重要依据。建模需要三类主要的信息源（续）2、要有先验知识3、试验数据建模需要三类主要的信息源（续）62.1.1建模的概念图2.1数学建模的信息源2.1.1建模的概念图2.1数学建模的信息源7用于控制的数学模型要求准确可靠，但并非越准确越好，这是因为：准确→复杂→实时性差→影响在线运用闭环控制本身具有一定的鲁棒性，模型的误差可以视为干扰，闭环控制在某种程度上具有自动消除干扰影响的能力。所以——适用性在建立数学模型时，要抓住主要因素，忽略次要因素，需要做很多近似处理，如：线性化、分布参数系统和模型降阶处理等。2.1.1建模的概念关于过程系统建模的说明——模型的准确性用于控制的数学模型要求准确可靠，但并非越准确越好，这是因为：842.1

过程控制系统建模概念2.1.1

建模概念2.1.2

过程控制系统建模的两个基本方法42.1

过程控制系统建模概念2.1.1建模概念9机理法建模过程系统建模方法测试法建模

2.1.2过程控制系统建模的两个基本方法机理法建模过程系统建模方法测试法建模2.1.2过程控101、机理法建模根据生产过程中实际发生的变化机理，写出各种有关的平衡方程：物质平衡方程；能量平衡方程；动量平衡方程以及反映流体流动、传热、传质、化学反应等基本规律的运动方程，物性参数方程和某些设备的特性方程等。如

RLC电路，遵循基尔霍夫定理如单容水槽，遵循物料平衡关系2.1.2过程控制系统建模的两个基本方法1、机理法建模2.1.2过程控制系统建模的两个基本方法111、机理法建模（续）机理法建模的首要条件生产过程的机理为人们充分掌握，并且可以比较确切地加以数学描述机理法建模的问题烦琐模型中某些参数难以确定机理建模的准则简单、适用、满足合理的精度和实时性要求

2.1.2过程控制系统建模的两个基本方法1、机理法建模（续）2.1.2过程控制系统建模的两个基本122、测试法建模根据工业过程的输入和输出的实测数据进行数学处理后得到的模型。特点是把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从外特性上测试和描述它的动态性质，不需要深入掌握其内部机理。2.1.2过程控制系统建模的两个基本方法输入输出二阶系统2、测试法建模2.1.2过程控制系统建模的两个基本方法输13测试建模中施加扰动的必要性为了获得动态特性，必须使被研究的过程处于被激励的状态，如施加一个阶跃扰动或脉冲扰动等。测试建模中对过程机理了解的必要性测试建模较机理建模简单测试建模的分类经典辨识法和现代辨识法2.1.2过程控制系统建模的两个基本方法2、测试法建模（续）测试建模中施加扰动的必要性2.1.2过程控制系统建模的两142.2

机理建模方法2.2.1单容对象的传递函数2.2.2具有纯迟延的单容对象特性2.2.3无自平衡能力的单容对象特性2.2.4多容对象的动态特性2.2

机理建模方法2.2.1单容对象的传递函数151、单容水槽涉及变量流入量Qi调节阀开度u流出量Qo水位h研究目标分析水位在调节阀开度扰动下的动态特性Δu~Δh2.2.1单容对象的传递函数图2.2单容水槽1—控制阀门2—水槽3—负载阀(液阻R)1、单容水槽2.2.1单容对象的传递函数图2.2单容水16各量定义如下：

Qi——输入水流量的稳态值(m3／s)ΔQi——输入水流量的增量(m3／s)Qo——输出水流量的稳态值(m3／s)ΔQo——输出水流量的增量(m3／s)h0——液位的稳态值(m)Δh——液位的增量(m)u——调节阀的开度(m2)A——液槽横截面积(m2)R——流出侧负载阀门的液阻(s／m2)2.2.1单容对象的传递函数各量定义如下：2.2.1单容对象的传递函数17根据物料平衡关系，有：初始时刻，水槽处于平衡状态：Qo=Qi，h＝h0进水阀开度发生阶跃变化Δu时：Qi→Qi+ΔQih→h+ΔhQo→Qo+ΔQo于是有下一步设法消去ΔQo，并将ΔQi折算到Δu2.2.1单容对象的传递函数根据物料平衡关系，有：2.2.1单容对象的传递函数18将ΔQi折算到ΔuΔQi是由控制阀开度变化Δu引起的，当阀前后压差不变时，ΔQi与Δu成正比关系：

其中，Ku为阀门流量系数(m／s)2.2.1单容对象的传递函数将ΔQi折算到Δu2.2.1单容对象的传递函数19设法消去ΔQo流出量与液位高度的关系为：在液位稳态值(Qo,h0)附近线性化，得：

2.2.1单容对象的传递函数设法消去ΔQo2.2.1单容对象的传递函数20单容水槽的传递函数2.2.1单容对象的传递函数单容水槽的传递函数2.2.1单容对象的传递函数21被控参数为炉内温度T,控制量为电热丝两端电压u由热力学知识，有：其中，

M为加热丝质量

C为比热

H为传热系数A为传热面积2.2.1单容对象的传递函数2、电加热炉一阶惯性环节被控参数为炉内温度T,控制量为电热丝两端电压u2.2.122单容对象特性分析单容对象的动态特性都是一阶惯性环节解微分方程得2.2.1单容对象的传递函数单容对象特性分析2.2.1单容对象的传递函数23单容对象特性分析（续）对时间常数T的说明T反映对象响应速度的快慢对单容水槽，T=RA对放大系数K的说明K是系统的稳态指标K大，系统的灵敏度高2.2.1单容对象的传递函数单容对象特性分析（续）2.2.1单容对象的传递函数242.2

机理建模方法2.2.1单容对象的传递函数2.2.2具有纯迟延的单容对象特性2.2.3无自平衡能力的单容对象特性2.2.4

多容对象的动态特性2.2

机理建模方法2.2.1单容对象的传递函数25

有一储水槽调节阀1距水槽有一段较长的距离。调节阀1开度变化所引起的流入量变化ΔQi，需要经过一段传输时间T0，才能对水槽液位产生影响，T0是纯延迟时间。2.2.2具有纯延迟的单容对象特性纯延迟现象产生的原因是由于扰动发生的地点与测定被控参数位置有一定距离。

有一储水槽调节阀1距水槽有一段较长的距离。调节阀1开度变化26无延迟的单容对象的微分方程有纯延迟的单容对象的微分方程纯延迟的单容对象的传递函数2.2.2具有纯延迟的单容对象特性无延迟的单容对象的微分方程2.2.2具有纯延迟的单容对象特272.2

机理建模方法2.2.1单容对象的传递函数2.2.2具有纯迟延的单容对象特性2.2.3无自平衡能力的单容对象特性2.2.4多容对象的动态特性2.2

机理建模方法2.2.1单容对象的传递函数28自平衡过程受扰后被调量能够自动地稳定在新的平衡点上的过程如，用惯性环节描述的单容对象自平衡过程是一种稳定的过程无自平衡过程受扰后，无法自动恢复平衡的过程如，用积分环节描述的单容对象2.2.3无自平衡能力的单容对象特性自平衡过程2.2.3无自平衡能力的单容对象特性29无自平衡能力的单容水槽

2.2.3无自平衡能力的单容对象特性无自平衡能力的单容对象流出端采用容积式计量泵排出恒定的流量Qo输入流量受扰后，水位或一直上升或一直下降无法通过控制使其平衡无自平衡能力的单容水槽

2.2.3无自平衡能力的单容对30无自平衡能力的单容对象其动态方程为将上式改写为

无自平衡能力的单容对象的特性分析2.2.3无自平衡能力的单容对象特性A——液槽截面积ε——响应速度Ta——响应时间无自平衡能力的单容对象其动态方程为无自平衡能力的单容对象的特31图2.9无自平衡能力单容对象阶跃响应曲线

2.2.3无自平衡能力的单容对象特性无自平衡能力的单容对象的特性分析（续）无自平衡能力的单容对象的传递函数这是一个积分环节图2.9无自平衡能力单容对象阶跃响应曲线2.2.3无自322.2

机理建模方法2.2.1单容对象的传递函数2.2.2具有纯迟延的单容对象特性2.2.3无自平衡能力的单容对象特性2.2.4多容对象的动态特性2.2

机理建模方法2.2.1单容对象的传递函数33具有两个水槽——双容对象1）有自衡能力的双容对象2）有自衡能力的多容对象3）无自衡能力的双容对象4）相互作用的双容对象

2.2.4多容对象的动态特性具有两个水槽——双容对象2.2.4多容对象的动态特性341）具有自平衡能力的双容对象

两个串联对象的模型流入：阀门开度的微小扰动Δu被控参数：下水槽的水位变化Δh2

Δu与Δh2间的动态方程2.2.4多容对象的动态特性1）具有自平衡能力的双容对象

两个串联对象的模型2.2.435其中：C1、C2——两液槽的容量系数；R1、R2——两液槽的出水端的阻力；T1=R1C1——第一个容器的时间常数；T2=R2C2——第二个容器的时间常数；K=KuR2——双容对象的放大系数。2.2.4多容对象的动态特性具有自平衡能力的双容对象的动态特性方程其中：2.2.4多容对象的动态特性具有自平衡能力的双容对象362.2.4多容对象的动态特性具有自平衡能力的双容对象的传递函数有纯延迟时2.2.4多容对象的动态特性具有自平衡能力的双容对象的传递37图2.11具有自平衡能力的双容对象的阶跃响应2.2.4多容对象的动态特性图2.11具有自平衡能力的双容对象的阶跃响应2.2.4382）具有自平衡能力的多容对象有n个相互独立的多容对象的时间常数为T1、T2….Tn，总放大系数为K，则传递函数为：2.2.4多容对象的动态特性2）具有自平衡能力的多容对象有n个相互独立的多容对象的时间常39若T1=T2=……=Tn=T则G(s)=若还有纯延迟，则G(s)=2）具有自平衡能力的多容对象2.2.4多容对象的动态特性若T1=T2=……=Tn=T2）具有自平衡能力的多容对象2.403）无自平衡能力的双容对象

一个有自平衡能力的单容对象和一个无自平衡能力的单容对象的串联2.2.4多容对象的动态特性一阶惯性环节积分环节由于多了一个中间液糟,作为被控参数的Δh2，并不能立即以最大速度变化3）无自平衡能力的双容对象一个有自平衡能力的单容对象和一个41R1C1+=2.2.4多容对象的动态特性多容对象的动态特性方程：2.2.4多容对象的动态特性多容对象的动态特性方程：42令T=R1C1,Ta=C2/Ku

，则得T+=

其对应的传递函数为G(s)=

2.2.4多容对象的动态特性2.2.4多容对象的动态特性43有纯延迟的情况则

G(s)=2.2.4多容对象的动态特性2.2.4多容对象的动态特性44图2.13无自平衡能力双容对象的阶跃响应曲线2.2.4多容对象的动态特性图2.13无自平衡能力双容对象的阶跃响应曲线2.2.4454）相互作用的双容对象两个水槽中，一水槽液位的高低会影响另一水槽液位变化，两者之间有相互作用，结果会改变水槽的等效时间常数。2.2.4多容对象的动态特性图2.14具有相互作用的双容模型4）相互作用的双容对象两个水槽中，一水槽液位的高低会影响另一46设被控参数为输入扰动为原来平衡时Q0=Q1=Qi,H10=h20当输入有扰动后2.2.4多容对象的动态特性4）相互作用的双容对象设被控参数为输入扰动为2.2.4多容对472.2.4多容对象的动态特性（1）（2）（4）（3）2.2.4多容对象的动态特性（1）（2）（4）（3）48可得对应的传递函数为

2.2.4多容对象的动态特性4）相互作用的双容对象若以Δh2为被控参数，则可得对应的传递函数为2.2.4多容对象的动态特性4492.1过程控制系统建模概念2.2机理建模方法2.3测试建模方法第二章

过程控制系统建模方法2.1过程控制系统建模概念第二章

过程控制系统建模方法50当生产过程机理不明、模型参数难以确定时，需要用过程辩识方法把数学模型估计出来。复杂的工业过程对象常由高阶非线性微分方程描述，求解困难。机理建模得到的近似数学模型也需用试验测量加以验证2.3

测试建模方法采用试验测定的原因当生产过程机理不明、模型参数难以确定时，需要用过程辩识方法把512.3

测试建模方法2.3.1对象特性的试验测定方法2.3.2测定动态特性的时域法2.3.3测定动态特性的频域法2.3.4测定动态特性的统计相关法2.3.5最小二乘法2.3

测试建模方法2.3.1对象特性的试验测定方法522.3.1对象特性的实验测定方法试验测定的方法施加激励试验测定方法的分类

（根据加入的激励信号和结果的分析方法分）经典辨识法（非参数模型辨识）时域法频域法相关法现代辨识法最小二乘梯度校正极大似然法由以时间或频率为自变量的试验曲线得到：1）数学模型结构2）模型参数首先假定模型的结构；然后极小化模型与过程间的误差准则函数以确定参数。2.3.1对象特性的实验测定方法试验测定的方法由以时间或53（1）时域法对被控对象施加阶跃输入，测绘出对象输出量随时间变化的响应曲线，或施加脉冲输入测绘出输出的脉冲响应曲线。由响应曲线的结果分析，确定出被控对象的传递函数。该方法测试设备简单，测试工作量小、应用广泛，缺点是测试精度不高。2.3.1对象特性的实验测定方法（1）时域法2.3.1对象特性的实验测定方法54（2）测定动态特性的频域方法对被控对象施加不同频率的正弦波，测出输入量与输出量的幅值比和相位差，获得对象的频率特性，来确定被控对象的传递函数。2.3.1对象特性的实验测定方法（2）测定动态特性的频域方法2.3.1对象特性的实验测定55（3）测定动态特性的统计相关法对被控对象施加某种随机信号或直接利用对象输入端本身存在的随机噪音进行观察和记录，可以在生产过程正常运行状态下进行，在线辨识，精度也较高。统计相关法要求积累大量数据，并要用相关仪和计算机对这些数据进行计算和处理。2.3.1对象特性的实验测定方法（3）测定动态特性的统计相关法2.3.1对象特性的实验测562.3

测试建模方法2.3.1对象特性的试验测定方法2.3.2测定动态特性的时域法2.3.3测定动态特性的频域法2.3.4测定动态特性的统计相关法2.3.5最小二乘法2.3

测试建模方法2.3.1对象特性的试验测定方法57在被控对象上，人为地加非周期信号后，测定被控对象的响应曲线，然后再根据响应曲线，求出被控对象的传递函数。2.3.2测定动态特性的时域法图2.15测试响应曲线的框图1—被测对象2—变换器3—记录仪在被控对象上，人为地加非周期信号后，测定被控对象的响应曲线，581、输入信号选择及实验注意事项阶跃输入信号是时域法首选的输入信号

∵对象的阶跃响应曲线直观地反映对象的动态特性直接来自原始的记录曲线，无需转换实验也比较简单从响应曲线中也易于直接求出其对应的传递函数2.3.2测定动态特性的时域法1、输入信号选择及实验注意事项2.3.2测定动态特性的时域591、输入信号选择及实验注意事项（续）有时生产现场运行条件受到限制，不允许被控对象的被控参数有较大幅度变化，无法测出一条完整的阶跃响应曲线，可改用矩形脉冲作为输入信号，得到脉冲响应后，再将其换成一条阶跃响应曲线。2.3.2测定动态特性的时域法1、输入信号选择及实验注意事项（续）2.3.2测定动态特性602.3.2测定动态特性的时域法图2.16由矩形脉冲响应确定阶跃响应

设：u1(t).u2(t)作用下的阶跃响应曲线为y1(t)和y2(t),则脉冲响应曲线为:而阶跃响应曲线为:2.3.2测定动态特性的时域法图2.16由矩形脉冲响应确61将时间轴按t分成n等份在区间内在区间内

依此类推，最后得到完整的阶跃响应曲线。2.3.2测定动态特性的时域法由矩形脉冲响应确定阶跃响应方法（续）2.3.2测定动态特性的时域法由矩形脉冲响应确定阶跃响应方622、实验结果的数据处理如何将实验所获得的各种不同响应曲线进行处理，以便用一些简单的典型微分方程或传递函数来近似表达，既适合工程应用，又有足够的精度，这就是数据处理要解决的问题。2.3.2测定动态特性的时域法微分方程传递函数（含结构和参数）2、实验结果的数据处理2.3.2测定动态特性的时域法微分方63典型的工业过程的传递函数（自平衡过程）：2.3.2测定动态特性的时域法一阶惯性环节加纯延迟

二阶惯性环节加纯延迟n个相同极点的n阶惯性环节加纯延迟

典型的工业过程的传递函数（自平衡过程）：2.3.2测定动态64典型的工业过程的传递函数（无自平衡过程）：其传递函数中应含有一个积分环节2.3.2测定动态特性的时域法典型的工业过程的传递函数（无自平衡过程）：2.3.2测定动65选择何种传递函数？测试者对被控对象的验前知识本人的经验与标准的一阶、二阶阶跃响应曲线比较选择传递函数阶次的原则：低阶数据处理简单，计算量也小，但准确程度较低高阶数据处理麻烦，计算量大，但拟合精度也较高2.3.2测定动态特性的时域法选择何种传递函数？2.3.2测定动态特性的时域法66以下讨论两种传递函数的参数确定方法带纯延迟的一阶惯性环节带纯延迟的二阶惯性环节2.3.2测定动态特性的时域法以下讨论两种传递函数的参数确定方法2.3.2测定动态特性的67传递函数参数的确定：1）如果传函为带纯迟延的一阶惯性环节：K的确定用参数T、τ的确定作图法两点法2.3.2测定动态特性的时域法传递函数参数的确定：2.3.2测定动态特性的时域法68对于传函作图法确定参数T、τ简单，但误差大适用于PID参数的工程整定2.3.2测定动态特性的时域法对于传函2.3.2测定动态特性的时域法69对于传函两点法确定参数T、τ∵y(t)

归一化后的y*(t)

有2.3.2测定动态特性的时域法∴根据阶跃响应曲线上两点数据((t1,y1),(t2,y2))确定参数T、τ（两个未知数两个方程）对于传函2.3.2测定动态特性的时域法70两点法结论：（2-46）

两点法确定参数T、τ（续）2.3.2测定动态特性的时域法两点法结论：（2-46）两点法确定参数T、τ（续）2.71为了计算方便，可取，则可得（2-47）2.3.2测定动态特性的时域法2.3.2测定动态特性的时域法72校验用另外两组数据检验计算出T、τ准确与否，即（2-48）

2.3.2测定动态特性的时域法2.3.2测定动态特性的时域法73传递函数参数的确定：2）如果传函为带纯延迟的二阶惯性环节增益K值仍可按式2-43计算时间纯延迟τ可根据阶跃响应曲线来确定；在考虑截去纯延迟部分后，阶跃响应y(t)为无量纲形式y*(t);

根据阶跃响应曲线上两个点的数据确定T1和T22.3.2测定动态特性的时域法传递函数参数的确定：2.3.2测定动态特性的时域法742.3.2测定动态特性的时域法2.3.2测定动态特性的时域法75式（2-39）截去纯延迟并化为无量纲形式后，所对应的传递函数形式为 G(s)=(2-49)2.3.2测定动态特性的时域法2.3.2测定动态特性的时域法76与上式对应的阶跃响应为或

(2-50)同样取两点，联立方程组，求出T1，T22.3.2测定动态特性的时域法与上式对应的阶跃响应为2.3.2测定动态特性的时域法772.3.2测定动态特性的时域法2.3.2测定动态特性的时域法78求近似解：(2-52)

2.3.2测定动态特性的时域法求近似解：(2-52)79表2.1列出高阶惯性对象1/(Ts+1)n中阶数n与t1/t2比值的关系2.3.2测定动态特性的时域法nt1/t2nt1/t210.3280.65820.469

30.53100.7140.5811

50.62120.73560.6513

70.67140.75表2.1列出高阶惯性对象1/(Ts+1)n中阶数n与t1/80表中t1和t2应是y*(t)取0.4和0.8所对应的t1、t2；中的时间常数T可由下式求得

2.3.2测定动态特性的时域法表中t1和t2应是y*(t)取0.4和0.8所对应的t1、t81两点法求n阶惯性环节的时间常数的步骤：1）取阶跃响应曲线上两点

2）根据t2/t1的值确定系统的阶次和时间常数

若一阶若二阶若根据t2/t1确定阶次n2.3.2测定动态特性的时域法两点法求n阶惯性环节的时间常数的步骤：2）根据t2/t1的值822.3.2测定动态特性的时域法拟合非自平衡过程阶跃响应曲线用带延迟的积分环节来近似该响应曲线：其中：τ=t2误差大Δu——阶跃输入幅值2.3.2测定动态特性的时域法拟合非自平衡过程阶跃响应曲线83（2）用式（2-42）来近似图2.19响应曲线、公式重写如下：由响应曲线有：延迟时间τ=t1

t1至A之间以惯性环节作用为主故T=t2-t1曲线稳态之后是积分环节作用为主故2.3.2测定动态特性的时域法（2）用式（2-42）来近似图2.19响应曲线、公式重写如下842.3.3测定动态特性的频域法2.3.1对象特性的试验测定方法2.3.2测定动态特性的时域法2.3.3测定动态特性的频域法2.3.4测定动态特性的统计相关法2.3.5最小二乘法2.3.3测定动态特性的频域法85

被控对象的动态特性可用频率特性来描述与传递函数及微分方程一样，也表征系统的运动规律。在所研究对象的输入端加入某个频率的正弦波信号，同时记录输入和输出的稳定振荡波形，可测得该被控对象的频率特性。2.3.3

测定动态特性的频域法2.3.3测定动态特性的频域法862.3.4测定动态特性的统计相关法2.3.1对象特性的试验测定方法2.3.2测定动态特性的时域法2.3.3测定动态特性的频域法2.3.4测定动态特性的统计相关法2.3.5最小二乘法2.3.4测定动态特性的统计相关法87

原理：但输入为白噪声（一种随机信号）时，输出与输入的互相关函数与脉冲响应函数成正比。2.3.4测定动态特性的统计相关法相关分析法求对象脉冲响应函数的方框图原理：但输入为白噪声（一种随机信号）时，输出与输入的互882.3.5最小二乘法2.3.1对象特性的试验测定方法2.3.2测定动态特性的时域法2.3.3测定动态特性的频域法2.3.4测定动态特性的统计相关法2.3.5最小二乘法2.3.5最小二乘法89 最小二乘的基本思想“未知量的最可能的值，是使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方和为最小的值”。2.3.5最小二乘法 最小二乘的基本思想“未知量的最可能的值，是使各次实际观90 设y是一根金属轴的长度，T是金属轴的温度，求轴长y和温度T之间的关系。 第一步:确定y和T之间关系的数学模型的类型和结构。 第二步:确定变量之间函数关系中的未知参数。

2.3.5最小二乘法 设y是一根金属轴的长度，T是金属轴的温度，求轴长y和温度91y和T之间是线性关系。y=y0(1+αT)=a+bTy0——0℃时金属轴的长度；α----膨胀系数。2.3.5最小二乘法y和T之间是线性关系。2.3.5最小二乘法92在加噪声干扰下，写成Zi=Yi（真值）+ni(随机误差)即Zi=a+bTi+ni

i=1，2，…,N2.3.5最小二乘法在加噪声干扰下，写成2.3.5最小二乘法93 根据N次（＞2）观测数据（TiZi）来估计出未知参数a和b的值。2.3.5最小二乘法 根据N次（＞2）观测数据（TiZi）来估计出未知参数a94 a和b的值确定能使观测值和模型的计算值之间误差为最小。每次观测误差为 ni=zi-yi=zi-(a+b) 相加起来的误差为

2.3.5最小二乘法 a和b的值确定能使观测值和模型的计算值之间误差为最小。每95 常用误差平方和作为总误差。即

2.3.5最小二乘法 常用误差平方和作为总误差。即96 按照求极值的原理，要使J最小，只要将J分别对a和b求偏导数，令其等于零，a和b的估计值和满足下面的条件:

2.3.5最小二乘法2.3.5最小二乘法97即和由下列方程组所确定

（2-76）2.3.5最小二乘法2.3.5最小二乘法98由式（2-76）可解出

(2-77)2.3.5最小二乘法2.3.5最小二乘法99 假定一个变量y与一组n维变量X=（x1,x2---xn）有线性关系。即 y=（2-78）2.3.5最小二乘法 假定一个变量y与一组n维变量X=（x1,x2---xn）100

N个参数的线性系统2.3.5最小二乘法2.3.5最小二乘法101 假设用y(i)和x1(i)、x2(i)---xn(i),i=1,2,..,m表示实测数据。可以通过m个线性方程的方程组表示数据之间的关系。

i=1,2,..,m回归函数，是回归系数。2.3.5最小二乘法2.3.5最小二乘法102

可以用矩阵形式表示如下

（2-80）2.3.5最小二乘法2.3.5最小二乘法103

2.3.5最小二乘法

2.3.5最小二乘法104 若m=n,根据方程通过下式求解（2-81）

只要即方阵X的逆存在，则能够唯一地求解，表示的估计值。2.3.5最小二乘法2.3.5最小二乘法105定义误差矢量且令

现在以下列性能指标J

趋于最小，来选择。2.3.5最小二乘法2.3.5最小二乘法106可将式表示成求J对于的导数并令结果为零，作为确定使J为最小的估计值的条件。于是（2-83）

2.3.5最小二乘法可将式表示成2.3.5最小二乘法107由此可得