平面向量之三点共线

平面向量之三点共线平面向量中的三点共线的应用定理1：向量a和向量b平行（不相交）的充分必要条件是向量a等于向量b的数量积。定理2：三点A、B、C共线的充分必要条件是向量AB等于向量BC的数量积，即向量OC等于向量OB加上向量BC的数量积。例1：在三角形ABC中，M是边BC上的任意一点，N是线段AM的中点，且AN等于向量AB加上向量AC的数量积。求λ加μ的值。类型一：已知三点共线，则可得x+y=1。练习：1.在三角形ABC中，G是重心，过G分别作直线与直线AB、AC交于M、N。设AM等于向量AB的数量积，AN等于向量AC的数量积。求x/y的值。2.在三角形ABC中，3AN等于NC，P是线段BN上的一点，且AP等于m倍的向量AB加上n倍的向量AC。求m加n的最小值。例2：设a、b是两个不共线的单位向量，向量c满足c等于向量a乘以3减去向量b乘以2λ再加上向量b乘以2减去向量a乘以2λ，且向量c等于向量a加上向量b的数量积的11/3倍。当向量a减去向量b的模长最小时，向量a和向量b的夹角的余弦值是多少？类型二：注意到x+y=1，可联想到三点共线。练习：1.在三角形ABC中，a+b+c=1，c等于2/3，且向量a减去向量b与向量c的夹角为120度。求ta加上（1-t）b的最小值。2.在直角坐标系中，O是原点，点A、B的坐标分别为（1，0）和（0，2）。当实数p、q满足1/p+1/q=1时，点C、D分别在x轴和y轴上，且OC等于p倍的向量OA，OD等于q倍的向量OB。求直线CD恒过的一个定点的坐标。3.在三角形ABC中，AB等于4，AC等于2，向量AB加上向量AC的λ倍的最小值为2。对于三角形ABC内的一点P，求PA乘以PB加上PC的最小值。例3：如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE等于CD。设向量AP等于向量AB加上向量AE的λ倍。求λ+μ的最小值和最大值。类型三：利用x+y=1，构造直线来求值。练习：1.在扇形OAB中，∠AOB等于60度，C是弧AB上的一个动点，且OC等于x倍的向量OA加上y倍的向量OB。求x加3y的取值范围。2.矩形ABCD中，AB等于1，BC等于2，E是BC边的中点，F在三角形DCE内（包括边界）。令AF等于向量AB乘以x加上向量AE乘以y。求x加2y的取值范围。3.在三角形OAB中，C是OA上的一点，且OC等于OA的三分之一。D是BC的中点，过点A的直线l平行于OD，P是直线l上的动点，且OP等于向量OB乘以λ1加上向量OC乘以λ2。求λ1减去λ2的值。已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DE=CD。动点P从点A出发，沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周回到AA点，其中AP=λAB+μAE。判断下列命题的正确性。1.λ≥0，μ≥0；2.当点P为AD中点时，λ+μ=1；3.若λ+μ=2，则点P有且只有一个；4.λ+μ的最大值为3。正方形ABCD的边长为1，E点位于CD延长线上，且DE=CD。动点P从点A开始，沿着正方形ABCD的边以逆时针方向运动一周，最终回到点A。假设AP=λAB+μAE，以下哪些命题是