2017年江苏数学高考真题(含答案)

2017年江苏数学高考真题(含答案)2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项：1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题~第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。填空题：21.已知集合$A=\{1,2\},B=\{a,a+3\}$，若$AB=\{1\}$，则实数$a$的值为$\underline{~~~~~~~~~1~~~~~~~~~}$。22.已知复数$z=(1+i)(1+2i)$，其中$i$是虚数单位，则$z$的模是$\underline{~~~~~~~~~3~~~~~~~~~}$。23.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取$\underline{~~~~~~~~~1~~~~~~~~~}$件。24.右图是一个算法流程图，若输入$x$的值为1，则输出的$y$的值是$\underline{~~~~~~~~~6~~~~~~~~~}$。25.若$\tan(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{4}$，则$\tan\alpha=\underline{~~~~~~~~~\frac{5}{3}~~~~~~~~~}$。26.如图，在圆柱$O_1O_2$内有一个球$O$，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱$O_1O_2$的体积为$V_1$，球$O$的体积为$V_2$，则$V_1$的值是$\underline{~~~~~~~~~\frac{16}{3}\pi~~~~~~~~~}$。27.记函数$f(x)=6+x-x^2$的定义域为$D$。在区间$[-4,5]$上随机取一个数$x$，则$x\inD$的概率是$\underline{~~~~~~~~~\frac{3}{5}~~~~~~~~~}$。28.双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的右准线与它的两条渐近线分别交于点$P,Q$，其焦点是$F_1,F_2$。则四边形$F_1PF_2Q$的面积是$\underline{~~~~~~~~~\frac{27}{2}~~~~~~~~~}$。29.等比数列$a_n$的各项均为实数，其前$n$项的和为$S_n$，已知$S_3=44$，则$a_8=\underline{~~~~~~~~~763~~~~~~~~~}$。30.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买$x$吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4$x$万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则$x$的值是$\underline{~~~~~~~~~25~~~~~~~~~}$。31.已知函数$f(x)=x^2-2x+e^{-x}$，则$f'(x)=\underline{~~~~~~~~~2x-2-e^{-x}~~~~~~~~~}$。12.已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$在同一平面内，其中$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，$|\overrightarrow{OC}|=2$，$\angleAOC=\alpha$，$\tan\alpha=7$，$\angleBOC=45^\circ$。设$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，其中$m,n\in\mathbb{R}$，求$m+n$。13.在平面直角坐标系$xOy$中，已知$A(-12,0)$，$B(0,6)$，圆$O:x^2+y^2=50$，点$P$在圆$O$上，且$PA\cdotPB\leq20$。求点$P$的横坐标的取值范围。14.设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上且周期为$1$的函数，$D=\{x\midx=n-1,n\in\mathbb{N}^+\}$，在区间$(0,1)$上，$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\inD\\x,&x\notinD\end{cases}$。求方程$f(x)-\lgx=0$的解的个数。15.如图，在三棱锥$A-BCD$中，$AB\perpAD$，$BC\perpBD$，平面$ABD\perp$平面$BCD$，点$E,F$（$E$与$A,D$不重合）分别在棱$AD,BD$上，且$EF\perpAD$。证明：（1）$EF\parallel$平面$ABC$；（2）$AD\perpAC$。16.已知向量$\boldsymbol{a}=(\cosx,\sinx)$，（1）若$\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}$，求$x$的值；（2）记$f(x)=\dfrac{\sinx}{\cos^3x+\sin^3x}$，求$f(x)$的最大值和最小值以及对应的$x$的值。17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，离心率$\dfrac{F_1F_2}{2a}=e$，两准线之间的距离为$2c=8$。点$P$在椭圆$E$上，且位于第一象限，过点$F_1$作直线$PF_1$的垂线$l_1$，过点$F_2$作直线$PF_2$的垂线$l_2$。（1）求椭圆$E$的标准方程；（2）若直线$l_1,l_2$的交点$Q$在椭圆$E$上，求点$P$的坐标。18.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器$I$和正四棱台形玻璃容器$II$的高均为$32\text{cm}$，容器$I$的底面对角线$AC$的长为$107\text{cm}$，容器$II$的两底面对角线$EG,E_1G_1$的长分别为$14\text{cm}$和$62\text{cm}$。分别在容器$I$和容器$II$中注入水，水深均为$12\text{cm}$。现有一根玻璃棒$l$，其长度为$40\text{cm}$。（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将$l$放在容器$I$中，$l$的一端置于点$A$处，另一端置于侧棱$CC_1$上，求$l$没入水中部分的长度；（2）将$l$放在容器$II$中，$l$的一端置于点$E$处，另一端置于侧棱$GG_1$上，求$l$没入水中部分的长度。1；=1'，求C1；=1'的方程。C.【选修5-1：常微分方程选讲】（本小题满分10分）已知微分方程y'y1x2，y(1)=0，求y(2)的值。D.【选修5-2：概率与统计选讲】（本小题满分10分）某公司有3名销售员A、B、C，他们的销售业绩分别为1、2、3万元，现从中任选2名销售员，求他们的销售业绩之和大于3万元的概率。2.求曲线C的方程，已知直线l的参考方程为y=2x-82，曲线C的参数方程为x=-8+t，y=2/(2t)。设曲线C上的动点为P，坐标为(x,y)。点P到直线l的距离可以表示为：|2x-y-82|/√5。要求点P到直线l的距离最小，等价于求|2x-y-82|的最小值。将曲线C的参数方程代入|2x-y-82|中，得到：|2(-8+t)-2/(2t)-82|=|-16t+1/t-82|。为了求这个式子的最小值，可以对其求导，得到：-16+1/(t^2)=0。解得t=1/2，代入曲线C的参数方程中，得到点P的坐标为(-7,4)。将点P的坐标代入直线l的参考方程中，得到点P到直线l的距离为3/√5。因此，点P到直线l的距离的最小值为3/√5。D.已知a,b,c,d为实数，且a^2+b^2=4，c^2+d^2=16，要证明ac+bd≤8。由柯西-施瓦茨不等式可得：(ac+bd)^2≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)。将已知条件代入，得到(ac+bd)^2≤64，即ac+bd≤8。因此，证毕。22.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=120º。要求：（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值。（1）由于AA1⊥平面ABCD，所以AA1与平面ABCD的法向量相同，设为n。则直线A1B的方向向量为n×AB，直线AC1的方向向量为n×AC。由于两条直线异面，所以它们的方向向量的点积为0。因此，(n×AB)·(n×AC)=AB·AC·sinθ，其中θ为所求角的角度。代入已知条件，得到cosθ=1/4，即θ=arccos(1/4)。（2）二面角B-A1D-A的正弦值可以表示为sinθ，其中θ为平面ABCD和平面A1B1C1D1的夹角。由于平面ABCD和平面A1B1C1D1平行，所以它们的夹角等于两个平面法向量的夹角。设平面ABCD的法向量为m，平面A1B1C1D1的法向量为n，则有cosθ=m·n/|m||n|。代入已知条件，得到cosθ=3/4，即θ=arccos(3/4)。因此，sinθ=√(1-cos^2θ)=√7/4。23.已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n∈N2，n≥2），这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）。（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p可以分为两种情况：第一次取到黑球，然后第二次取到编号为2的抽屉；或者第一次取到白球，然后前两次取到的球中有一个是黑球，且第二次取到编号为2的抽屉。因此，p=(n/(m+n))×(n-1)/(m+n-1)+(m/(m+n))×(n/(m+n))×2/(m+n-1)=2mn/[(m+n)(m+n-1)]。（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望。由于最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数可以表示为m+1+1/k，其中k为最后一个取出的黑球在第k次取球时被取出，所以有E(x)=∑(k=1,n)(m+1+1/k)×(1/n)+∑(k=1,m)(k+1)/(m+n)=(m+1)(n+1)/(n(m+n))+(m+2)(m+n+1)/(2n(m+n))=(3m+2n+3)/(2n)。16.本小题考查向量共线、数量积的概念及运算，同角三角函数关系、诱导公式、两角和(差)的三角函数、三角函数的图像与性质，以及运算求解能力。满分14分。已知向量$a=(cosx,sinx)$，$b=(3,-3)$，且$a\parallelb$。解：（1）由于$a\parallelb$，所以$AD\perpAC$，其中$AC$为向量$a$，$AD$为向量$AB$在向量$a$上的投影。因此，$-3cosx=3sinx$。若$cosx=\frac{1}{\sqrt{10}}$，则$sinx=\frac{3}{\sqrt{10}}$，与$sin^2x+cos^2x=1$矛盾，故$cosx\neq\frac{1}{\sqrt{10}}$。因此，$tanx=-\frac{3}{3}=-1$。又$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$，所以$x=\frac{5\pi}{6}$。（2）设$f(x)=a\cdotb=(cosx,sinx)\cdot(3,-3)=3cosx-3sinx=\frac{3}{2}cos(x+\frac{\pi}{6})$。由于$-\frac{\pi}{6}\leqx\leq\frac{\pi}{6}$，所以$-\frac{\pi}{3}\leqx+\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{3}$。因此，$-1\leqcos(x+\frac{\pi}{6})\leq\frac{1}{2}$。于是，当$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$，即$x=\frac{\pi}{6}$时，取到最大值$3$；当$x+\frac{\pi}{6}=\pi$，即$x=\frac{5\pi}{6}$时，取到最小值$-\frac{3}{2}$。17.本小题考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知识，分析问题能力和运算求解能力。满分14分。解：（1）设椭圆的半焦距为$c$。由于椭圆$E$的离心率为$\frac{1}{2}$，两准线之间的距离为$8$，所以$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$2a^2-c^2=64$。解得$a=2$，$c=1$，于是$b=\sqrt{a^2-c^2}=3$。椭圆$E$的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。（2）由（1）知，焦点$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$。设$P(x,y)$，因为点$P$为第一象限的点，所以$x>0$，$y>0$。当$x=1$时，直线$l_2$与$l_1$相交于$F_1$，与题设不符。当$x\neq1$时，直线$PF_1$的斜率为$\frac{y}{x+1}$，直线$PF_2$的斜率为$\frac{y}{x-1}$。因为$l_1\perpPF_1$，$l_2\perpPF_2$，所以直线$l_1$的斜率为$-\frac{x+1}{y}$，直线$l_2$的斜率为$-\frac{x-1}{y}$。从而直线$l_1$的方程为$y=-\frac{x+1}{y}(x+1)$，直线$l_2$的方程为$y=-\frac{x-1}{y}(x-1)$。由方程组解得$x=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{3}{2}$，所以$Q(-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$。因为点$Q$在椭圆上，由对称性，得到另一个交点$Q'(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$。因此，$P$的坐标为$(x,y)=(-\frac{1}{2},y)$，代入椭圆方程得到$4y^2+3=12y^2$，解得$y=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}$。因为$P$在第一象限，所以$y=\frac{\sqrt{21}}{3}$。因此，直线$l_1$的方程为$x+y=1$。解题思路：本题主要考查正棱柱、正棱台的概念，正弦定理、余弦定理等基础知识，空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力。解题步骤：（1）对于正棱柱，根据定义可知CC1⊥平面ABCD，平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC。记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处，由三角形ACM可得sin∠MAC=2/3，记AM与水面的焦点为P1，过P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=P1Q1=16。因此，玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm。（2）对于正棱台，根据定义可知OO1⊥平面EFGH，平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG。同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1。记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处，过G作GK⊥E1G，K为垂足，则GK=OO1=32。因为EG=14，E1G1=62，GG1=40，所以KG1=40/√147。在△ENG中，由正弦定理可得sin∠NEG=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=25/(3π)。记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2=12，从而EP2=P2Q2=20。因此，玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm。本题考查正棱柱、正棱台的概念，正弦定理、余弦定理等基础知识，以及空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力。满分16分。（1）对于正棱柱，设CC1⊥平面ABCD，平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC。记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处，由三角形ACM可得sin∠MAC=2/3。记AM与水面的焦点为P1，过P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12。因此，AP1=P1Q1=16，即玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm。（2）对于正棱台，设OO1⊥平面EFGH，平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG。同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1。记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处，过G作GK⊥E1G，K为垂足，则GK=OO1=32。因为EG=14，E1G1=62，GG1=40，所以KG1=40/√147。在△ENG中，由正弦定理可得sin∠NEG=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=25/(3π)。记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2=12。因此，EP2=P2Q2=20，即玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm。19.等差数列的性质本题考查等差数列的基础知识和数学思维能力。已知等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$为公差。我们需要证明该数列既是$P(2)$数列，又是$P(3)$数列。首先，当$n\geq4$时，有$a_{n-k}+a_{n+k}=2a_1+2(n-1)d=2a_n$，其中$k=1,2,3$。因此，等差数列$\{a_n\}$是$P(3)$数列。其次，当$n\geq3$时，有$a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}=4a_n$，且当$n\geq4$时，有$a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=6a_n$。将前两个式子相减，得到$a_{n-3}+a_{n-2}=4a_{n-1}-(a_n+a_{n+1})$，将后两个式子代入，得到$a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$。因此，$\{a_n\}$的前三项构成的数列是等差数列，设其公差为$d'$。再利用$a_2+a_3+a_5+a_6=4a_4$推导出$a_2=a_3-d'$，$a_1=a_2-2d'$，因此$\{a_n\}$是等差数列。20.导数的应用本题考查初等函数的单调性、极值和零点问题的解决能力。已知函数$f(x)=x+ax^2+bx+1$，我们需要研究它的单调性、极值和零点。首先，求出$f'(x)=3x+2ax+b$，令$f'(x)=0$，得到极值点$x=-\frac{2a}{3}$，此时$f'(x)$有极小值$b-\frac{4a^2}{9}$。其次，根据导数的符号确定$f(x)$的单调性。当$x<-\frac{2a}{3}$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；当$x>-\frac{2a}{3}$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。最后，当$f(x)=0$时，求出$x$的值。代入$f(x)$的表达式，得到$a^2x^2+(b+1)x+a=0$。由于$a>0$，因此判别式$\Delta=(b+1)^2-4a^2\leq0$。化简得到$b\leq\sqrt{4a^2-1}-1$，代入$b=\frac{1}{a^2x^2}-x-1$，得到$x\geq-\frac{1}{2a}$。因此，$f(x)=0$的解在区间$[-\frac{1}{2a},+\infty)$内。所以∠PCO=90°，又∠OBC=90°，因此PC∥BC；（2）因为AD∥BC，所以∠BAD=∠BCD，又∠BCD=∠PCO，因此∠BAD=∠PCO；（3）因为∠BAC=∠PCO，所以△ABC∽△OPC，因此AC/OP=BC/PC；（4）因为△APD∽△CPB，所以AD/BC=AP/CP；（5）综上所述，AC/OP=AD/CP，即AC·CP=AD·OP，证毕。B.[选修4-2：三角函数选讲]本小题主要考查三角函数的性质及应用，考查解题能力.满分10分.已知∠BAC=60°，AB=2，AC=√3，求sin∠ABC的值.解：由余弦定理，BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos∠BAC=7-4√3；由正弦定理，sin∠ABC=BC/2sin∠BAC=√3/(4-2√3)；化简得sin∠ABC=√3/2，故sin∠ABC的值为√3/2.所以BC=2√3，BE=2√3/3，AE=2√6/3.设向量AE=a，向量AC=b，则向量BC=b-a，向量BE=(2/3)a+(1/3)b，向量AB=a+b，向量AD=AA1-a.因为AA1AE，所以向量AA1与向量AE垂直，即AA1·a=0.因为AA1AD，所以向量AA1与向量AD垂直，即AA1·(AA1-a)=0，即a·a=9.因为AB=AD+DB，所以向量DB=AB-AD=b-a-AA1，即向量DB=b-a-3/2a=1/2(b-5a).因为向量AE与向量BE共面，所以向量AE×BE=0，即$\begin{vmatrix}i&j&k\\a_1&a_2&a_3\\2/3a_1+1/3b_1&2/3a_2+1/3b_2&2/3a_3+1/3b_3\end{vmatrix}=0$化简得a·b=4.因为向量BC垂直于向量BE，所以向量BC·BE=0，即$(b-a)·(2/3a+1/3b)=0$化简得2a·b-5a·a+2b·b/3=0，即a·b=5/3.所以$\cos\theta=\dfrac{a·b}{|a||b|}=\dfrac{5/3}{\sqrt{27}\sqrt{13}/3}=\dfrac{5}{\sqrt{351}}$，所以$\theta=\arccos\dfrac{5}{\sqrt{351}}$.又因为$\cos\alpha=\dfrac{AB·AD}{|AB||AD|}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，所以$\alpha=\arccos\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.所以二面角$\theta+\alpha=\arccos\dfrac{5}{\sqrt{351}}+\arccos\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.假设空间直角坐标系中有四个点：A(0,0,0),B(3,-1,0),D(0,2,0),E(3,0,0)和一条直线L，其中L过点A且与BD异面，交AC于点C(0,0,3)。求异面直线AB与AC所成角的余弦值和平面ADA的一个法向量。解析：1.首先求异面直线AB与AC所成角的余弦值，根据向量的内积公式cosθ=(AB·AC)/(|AB||AC|)，其中|AB|和|AC|表示向量AB和AC的模长。计算可得AB·AC=(3,-1,-3)·(3,1,3)=-7，|AB|=√(3²+(-1)²+(-3)²)=√19，|AC|=√(3²+1²+3²)=√19，代入公式计算得cosθ=-7/(√19·√19)=-7/19。2.接下来求平面ADA的一个法向量，设m=(x,y,z)为平面BA1D的一个法向量，则由平面法向量的定义可知，m与向量BA1D垂直，即m·BA1D=0。又根据向量的线性运算有BA1D=B-A1D=(3,-1,0)-(0,0,-3)=(3,-1,3)，代入可得3x-y-3z=0。又因为m垂直于向量BD，即m·BD=0，代入可得-3x+3y=0。解得x=3，y=3，z=2，因此m=(3,3,2)为平面BA1D的一个法向量。3.最后求二面角B-A1D-A的正弦值，根据余弦定理cosθ=(AB·AD)/(|AB||AD|)=(-3)/(√19·√13)，因此sinθ=√(1-cos²θ)=√(1-9/247)=√(238/247)。答案：cosθ=-7/19，平面ADA的一个法向量为m=(3,3,2)，二面角B-A1D-A的正弦值为sinθ=√(238/247)。23.有m个白球和n个黑球，将它们随机地放入编号为1~m+n的m+n个抽屉中，每个球放入任何一个抽屉的概率相等。设随机变量X表示放在编号为2的抽屉中的球的个数。求X的概率分布和期望值。解析：1.首先求X的概率分布，设放在编号为2的抽屉中的球的个数为k，由组合数的定义可知，选出k个黑球和1个白球放入编号为2的抽屉中的方案数为C(k,n)·C(1,m)，选出k个黑球和1个白球放入其他抽屉中的方案数为C(k,n)·C(1,m+n-1)，因此X的概率分布为P(X=k)=[C(k,n)·C(1,m)]/[C(m+n,m)]。2.接下来求X的期望值，根据期望的定义可知E(X)=∑k=0^min(n,m)k·P(X=k)。将P(X=k)代入可得E(X)=∑k=0^min(n,m)k·[C(k,n)·C(1,m)/C(m+n,m)]。将C(k,n)和C(1,m)展开，得到E(X)=∑k=0^min(n,m)k·[nCk·mC1/(m+n)Ck+1]。将k提出来，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·∑k=1^min(n,m)k·[(n-1)C(k-1)·(m+n-k)C(m-1)/(m+n-1)C(m+n-2)·k]。将分子分母中的阶乘展开，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·∑k=1^min(n,m)1/(m+n-2)!(k-1)!(n-k)!(m-1)!(m+n-k-1)!。将k=1到min(n,m)的项都展开，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·∑k=1^n1/(m+n-2)!(k-1)!(n-k)!(m-1)!(m+n-k-1)!+[m·n/(m+n)]·∑k=1^m1/(m+n-2)!(k-1)!(n-k)!(m-1)!(m+n-k-1)!。将上式中的分子和分母中的阶乘都化为阶乘的形式，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·∑k=1^n(m+n-2)!/(k-1)!(n-k)!(m-1)!(m+n-k-1)!+[m·n/(m+n)]·∑k=1^m(m+n-2)!/(k-1)!(n-k)!(m-1)!(m+n-k-1)!。将分母中的(n-k)!和(m+n-k-1)!合并，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·∑k=1^n(m+n-2)!/(k-1)!(m+n-k)!+[m·n/(m+n)]·∑k=1^m(m+n-2)!/(n-k)!(m+n-k-1)!。将分子中的(m+n-2)!展开，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·∑k=1^n[(m+n-3)!/(k-1)!(m+n-k)!+(m+n-3)!/k!(m+n-k-1)!]+[m·n/(m+n)]·∑k=1^m[(m+n-3)!/(n-k)!(m+n-k-1)!+(m+n-3)!/(n-k-1)!(m+n-k)!]。将分子中的(m+n-3)!拆开，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·[∑k=1^n1/(k-1)!(m+n-k)!+∑k=1^m1/(n-k)!(m+n-k-1)!+∑k=2^n1/k!(m+n-k)!+∑k=1^{m-1}1/(n-k+1)!(m+n-k)!]。将分母中的(m+n-k)!拆开，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·[∑k=1^n1/(k-1)!(n-1)!/(m+n-k)+∑k=1^m1/(n-k)!(m-1)!/(m+n-k-1)+∑k=2^n1/k!(n-1)!/(m+n-k+1)+∑k=1^{m-1}1/(n-k+1)!(m-1)!/(m+n-k)]。将分母中的(m+n-k)和(m+n-k+1)合并，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·[∑k=1^n1/(k-1)!(n-1)!/(m+n-k)+∑k=1^m1/(n-k)!(m-1)!/(m+n-k)+∑k=2^n1/k!(n-1)!/(m+n-k)+∑k=1^{m-1}1/(n-k+1)!(m-1)!/(m+n-k)]。将分母中的(m+n-k)替换为(m+n)-(k-1)，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·[∑k=1^n1/(k-1)!(n-1)!/(m+n-(k-1))+∑k=1^m1/(n-k)!(m-1)!/(m+n-(k-1))+∑k=2^n1/k!(n-1)!/(m+n-(k-1))+∑k=1^{m-1}1/(n-k+1)!(m-1)!/(m+n-(k-1))]。将分母中的(m+n)替换为(m+n-1)+1，得到E(X)=[m·n/(m+n)]·[∑k=1^n1/(k-1)!(n-1)!/(m+n-1)+∑k=1^m1/(n-k)!(m-1)!/(m+n-1)+∑k=2^n1/k!(n-