第六章《实数》教材分析定稿课件

第六章实数北京市第八十中学管庄分校李涛李瀚明

第六章实数北京市第八十中学管庄分校目录全章整体分析教学建议单元教学设计典型例题及习题目录全章整体分析教学建议单元教学设计典型例题及习题全章整体分析知识的地位及作用教学重难点课时安排本章学习目标全章整体分析知识的地位及作用教学重难点课时安排本章学习目标地位及作用数系扩充社会生活发展的需要为了计数的需要自然数集N为了刻画具有相反意义的量整数集Z负整数在自然数范围内解方程x+2=0（无解）为了测量、分配等需要有理数集Q分数在整数范围内解方程3x-2=0（无解）为了度量单位正方形的对角线长实数集R无理数

数学内部发展的需要

复数集C虚数地位及作用数系扩充社会生活发展的需要为了计数的需要自然数集N地位及作用数与代数方程与不等式数与式函数代数式有理数分式二元一次方程与方程组一元一次方程一元二次方程已有经验即将学习整式分式方程不等式与不等式组二次函数反比例函数一次函数二次根式勾股定理

解直角三角形平面直角坐标系实数三角函数地位及作用数与代数方程与不等式数与式函数代数式有理数分式二元地位及作用开方平方根立方根互为逆运算开平方开立方实数实数的概念实数的运算实数在数轴上的表示乘方通过数与数轴的对应来帮助学生建立数形结合的思想，为以后的解析几何做铺垫.数的运算是其他各个数学教学内容的基础.数学自身发展的需要偶次方根的特例奇次方根的特例地位及作用开方平方根立方根互为逆运算开平方开立方实数实数本章学习目标

1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3．了解无理数和实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．本章学习目标1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念．平方根和实数的概念．本章重难点重点难点算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念．平方根和实数的本章课时安排共9课时，其中：6.1平方根

3课时

6.2立方根

2课时6.3实数

2课时数学活动+小结

2课时本章课时安排共9课时，其中：教学建议教学建议1.

加强知识间的纵向联系突出类比的作用1.加强知识间的纵向联系突出类比的作用2.重视章节引言特点建构系统性思维方式引言的主要内容本章内容的引入（为什么学？)本章内容的概述（学什么？)学习方法的引导（怎么学？)2.重视章节引言特点建构系统性思维方式引言的主要内容本章本章内容的引入教材从生活的角度提出一个物理实际问题，阐述学习平方根概念的必要性；教材从数学的角度，即边长为１的正方形的对角线的长不是有理数说明引入无理数的必要性.2.重视章节引言特点建构系统性思维方式引入无理数重要的思维导向本章内容的引入教材从生活的角度提出一个物理实际问题，阐述学习本章内容的概述明确本章将学习平方根、立方根、实数三部分内容。2.重视章节引言特点建构系统性思维方式本章内容的概述明确本章将学习平方根、立方根、实数三部分内容。学习方法的引导学习方式：类比、数形结合.2.重视章节引言特点建构系统性思维方式学习方法的引导学习方式：类比、数形结合.2.重视章节引言特点本章概念学习方式概念形成（对内纵向）概念同化（对外横向)算数平方根平方根、立方根类比3.把握概念学习方式

落实重点突破难点本章概念学习方式概念形成（对内纵向）概念同化（对外横向)算数了解利用背景引入概念的必要性；归纳出具体实例的共同特征；定义算术平方根的概念（文字语言和符号语言）.背景引入归纳抽象概念形成算术平方根概念形成的学习方式：3.把握概念学习方式

落实重点突破难点了解利用背景引入概念的必要性；归纳出具体实例的共同特征；定义3.把握概念学习方式

落实重点突破难点算术平方根与平方根的教学建议：1、按照教材的顺序设计两个概念的教学，先学算术平方根，再学平方根；运算的发展顺序2、重视对算术平方根和平方根的符号的教学，注意对符号的分析（课本46页），符号与文字定义要联系起来；学生认知的难点3、要求学生熟练掌握1到20的平方.《课标》规定“会用平方运算求百以内整数的平方根”.3.把握概念学习方式落实重点突破难点算术平方根与平方立方根概念形成的学习方式：3.把握概念学习方式

落实重点突破难点加强新旧知识之间的联系，用类比的方法进行教学。平方根概念开平方运算平方与开平方互为逆运算平方根的特征平方根的表示平方根立方根类比李瀚明老师会在单元教学设计中分析课例.立方根概念形成的学习方式：3.把握概念学习方式落实重

教科书在第5章《相交线与平行线》中安排了一节平移，探讨得出平移前后的两个图形的对应点的连线平行且相等平移变换的基本性质，又将在第7章《平面直角坐标系》中安排了用坐标方法研究平移的内容，从坐标的角度进一步认识平移变换。本章在数轴上建立了点与实数对的一一对应关系，第七章将在平面直角坐标系建立了点与有序实数对的一一对应关系，在实数范围内研究平移的内容，为后续学习利用平移变换探索平面图形的几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计等打下基础。4.关注教材知识内容的联系教科书在第5章《相交线与平行线》中安排了一节平移，探使用计算器进行复杂运算，可以使学习的重点更好地集中到理解数学的本质上来，估算是一种具有实际应用价值的运算能力.提倡使用计算器进行复杂运算，加强估算，综合运用笔算、计算器和估算等方式培养学生的运算能力，是本章的一个教学要求.5.发挥计算器作用加强估算能力培养计算器的应用有理数估计无理数的大致范围求平方根求立方根实数计算单元教学设计中提供课例《数怎么又不够了？》.使用计算器进行复杂运算，可以使学习的重点更好地集中到6.关注数学文化无理数的发现引发了数学史上的第一次危机.资源拓展中国发现无理数（教师用书112页）中文“无理数”名称的含义（教师用书112页）进一步理解无理数的定义，突破难点.6.关注数学文化无理数的发现引发了数学史上的第一次危机.资源6.关注数学文化华罗庚先生求解完全立方数的立方根的简捷解法.学生查阅华罗庚先生相关资料，了解数学家及相关数学史.数学活动2据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．6.关注数学文化华罗庚先生求解完全立方数的立方根的简捷解法.6.关注数学文化6.关注数学文化6.关注数学文化如果已知一个数是某个整数的立方，你还有其他方法求出这个整数吗？布置学生阅读资料完成自主研究问题.通过材料阅读，现在你对立方根是不是有了新的认识？请判断12167与175616的立方根分别是多少.6.关注数学文化如果已知一个数是某个整数的立方，你还有其他方7.关注全章小结——形成知识框架运算实数按定义分按大小分有理数无理数定义有关概念非负数相反数倒数绝对值平方根和立方根近似数和科学记数法定义及分类两种分类比较大小加减乘除乘方开方数轴实数与数轴上的点一一对应数形结合分类讨论常见形式绝对值平方算术平方根图像法被开方数估算法作差法7.关注全章小结——形成知识框架运算实数按定义分按大小分有理单元教学设计单元教学设计单元教学设计有理数现实背景引入定义表示分类性质运算和运算律（相反数、绝对值、大小）（符号、图形）（外延式举例）（现实内部逻辑必然性）（确定分类标准）实数现实背景引入定义表示分类性质运算和运算律（大小、在数轴上的表示）（符号、图形）（外延式举例）（现实内部逻辑必然性）（确定分类标准）单元教学设计有理数现实背景引入定义表示分类性质运算和运算律（第六章实数单元一平方根单元二立方根单元三实数算术平方根概念性质应用（数怎么又不够了）类比概念性质应用数域扩充类比有理数单元教学设计第六章实数单元一平方根单元二立方根单元三实数算《数怎么又不够了？》探究1尝试用两个面积为1dm2

的小正方形通过剪裁拼接成一个面积为2dm2

的大正方形.

张健《数怎么又不够了？》探究1尝试用两个面积为1dm2《数怎么又不够了？》探究1尝试用两个面积为1dm2

的小正方形通过剪裁拼接成一个面积为2dm2

的大正方形.

《数怎么又不够了？》探究1尝试用两个面积为1dm2问题拼成的这个面积为2dm2

的大正方形的边长应该是多少呢？《数怎么又不够了？》?问题拼成的这个面积为2dm2的大正方形的边长应该

《数怎么又不够了？》?

《数怎么又不够了？》?

《数怎么又不够了？》?因为相比于02与32这两个被开方数来说，12和22更接近于2，所以我们在选取被开方数时，应选取更接近于2两边的数值.

《数怎么又不够了？》?因为相比于02与32这两个被开方数来

《数怎么又不够了？》

继续探究小数点后的十分位、百分位、千分位上的数字

如果从1.5开始验证因为1.52=2.25>2，所以1.6至1.9我们就不需要再计算了；而如果从1.92=3.61>2，还要继续运算1.8，1.7，1.6……所以从中间1.5开始验证相对来说效率更高.两名同学为一个小组，一名同学负责按计算器，另一名同学负责记录，两人互相检查操作是否正确.

《数怎么又不够了？》

继续探究小数点后的十分位、百分位、千

《数怎么又不够了？》问题按照这种方法，在确定了1.52=2.25>2之后，我们可以尝试计算哪个数的平方？按照这种方法，请各小组继续探究小数点后第2位、第3位…上的数字是几？

《数怎么又不够了？》问题按照这种方法，在确定了1.5

《数怎么又不够了？》观察我们的研究过程，你有什么样的发现？还能继续这样算下去吗？a2b212=1222=41.42=1.9621.52=2.251.412=1.988121.422=2.01641.4142=1.99939621.4152=2.0022251.414

21356232=1.9999999979325621.41421356242=2.000000000076098……

《数怎么又不够了？》观察我们的研究过程，你有什么样的发现？《数怎么又不够了？》欣赏课本P37的图片，并观察数字的特点：小数点后464位可不可能到小数点后第465位就结束了，或者就循环了呢？《数怎么又不够了？》欣赏课本P37的图片，并观察数字的特点：《数怎么又不够了？》

由于

是小数，所以只需确认

不是有限小数也不是无限循环小数，只要说明它不是整数也不是分数。显然

不是整数，则只需要证明

不是分数。我们可以采用反证法，假设

是有理数，于是可以用两个整数

m、n

表示为

∴2m2=n2，即2×m×m=n×n∴等式左边2m2是偶数∴等式右边n2也是偶数∴n也是偶数∴这个式子的右边有偶数个2因子，∵当m为偶数时，m×m有偶数个2的因子；

当m为奇数时，m×m没有2的因子∴这个式子的左边2×m×m有奇数个2因子，与这个式子的右边有偶数个2因子矛盾！所以假设是错误的.《数怎么又不够了？》由于是小数，所以只需确认不是有《数怎么又不够了？》既不是整数，也不是分数，它是无限不循环小数．类似用反证法也可以说明也是无限不循环小数．

我们把无限不循环小数叫做无理数．有理数和无理数统称实数．《数怎么又不够了？》既不是整数，也不是分数，它是无限《立方根1》建立研究结构1.请同学们回顾并简要叙述平方根的学习过程.2.请同学们类比平方根的学习过程，制定立方根的学习方案.李瀚明平方根概念开平方运算平方与开平方互为逆运算平方根的特征平方根的表示平方根3.请同学们用自己的方式汇报并整理立方根的相关知识.《立方根1》建立研究结构1.请同学们回顾并简要叙述平方根的学逆运算互为平方根平方根立方根概念若一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.若一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.若一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.符号表示特点a>0有两个平方根，且互为相反数.有一个立方根，是正数.a=0有一个平方根，是0.有一个平方根，是0.a<0没有平方根.有一个立方根，是负数.《立方根1》根指数被开方数思考请你说说数的平方根与数的立方根有什么异同？开平方开立方平方立方乘方开方逆运算互为逆运算互为已知与未知的转换乘方开方乘方对数逆运算互为逆运算互为逆运算平方根平方根立方根概念若一个数的平方等于a，那么这个数《立方根1》

问题请同学们再多举几组例子，你能发现什么规律？一般的：

探索立方根的性质《立方根1》

问题请同学们再多举几组例子，你能《立方根1》扩展应用，加深理解问题

我们知道平方根可以解决已知正方形面积求边长的实际问题，那么立方根可以解决哪些实际问题呢？请举例.

问题

立方根还可以解决哪些数学问题呢？请举例.

《立方根1》扩展应用，加深理解问题我们知道平方根可以解决《立方根1》课堂小结，反思提升通过对本节课的学习，你有哪些收获和体会？《立方根1》课堂小结，反思提升通过对本节课的学习，你有哪些收典型例题及习题典型例题及习题1.巩固计算严谨推理理解概念历年中考题2016年：2017年：2018年：2020年：《课程标准》：会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方根运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根.《课程标准》：了解平方根、算术平方根、立方根概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根.1.巩固计算严谨推理理解概念历年中考题2016年：21.巩固计算严谨推理理解概念重视教材例题解答过程教材中的例题，展示了求数的算术平方根和平方根的思考过程.开始阶段，宜让学生适当模仿，进一步理解概念的意义.1.巩固计算严谨推理理解概念重视教材例题解答过程教材重视逻辑推理——立足定义1.巩固计算严谨推理理解概念例如，例1求100的算术平方根“因为，所以100的算术平方根是10，即.例如，

求100的平方根“因为，所以100的算术平方根是10，即.明确算术平方根和平方根的概念,强化学生对符号的认识.重视逻辑推理——立足定义1.巩固计算严谨推理理解概念重视逻辑推理——立足定义1.巩固计算严谨推理理解概念例如，例3解方程得到的结果是x=.学生可能在此存在疑惑，是最终结果吗？会认为没有算完.老师要帮助学生正确理解的两种涵义，既是一种运算符号，又提供了一种表示算术平方根的方法.因此，x=是计算结果(进一步化简在后面“二次根式”一章还要学习）.重视逻辑推理——立足定义1.巩固计算严谨推理理解概念重视逻辑推理——立足性质一般地，=.建议对立方根的性质进行证明.证明:设，则(立方根定义）.∵，∴.∴(立方根定义）.∴.

1.巩固计算严谨推理理解概念用立方根运算求负整数的立方根.这个关系式对于任意实数都成立，求负数立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，然后再求取它的相反数.重视逻辑推理——立足性质一般地，=2.实数的大小比较《课程标准》：能用有理数估计一个无理数的大致范围.比较实数的大小图像法比较被开方数估算法作差法2.实数的大小比较《课程标准》：能用有理数估计一个无理数的大图像法——立足数轴认知基础：实数与数轴上的点一一对应.规定：对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.由图可知“数”与“形”联系起来.进一步体会“数形结合”的思想方法的作用.2.实数的大小比较《课程标准》：能用有理数估计一个无理数的大致范围.图像法——立足数轴认知基础：实数与数轴上的点一一对应.规定：问题一：请写出大于小于的所有整数.因为

，

又

4<5<9所以因为，又

9<13<16所以所以大于小于的所有整数是-3，-2，-1，0，1，2．2.实数的大小比较图像法——立足数轴问题一：请写出大于小于的所有整数.因为问题二：请写出绝对值小于的所有整数