高中数学第一章导数及其应用1.2第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学案新人教A版选修22

第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式导思1.四种常用函数的导数是什么？2．基本初等函数的导数计算公式是什么？函数f(x)＝cf(x)＝xf(x)＝x2f(x)＝eq\f(1,x)导数f′(x)＝0f′(x)＝1f′(x)＝2xf′(x)＝－eq\f(1,x2)函数y＝eq\r(x)也是常用的幂函数，它的导数是什么？提示：对于幂函数y＝xα，它的导数为y′＝αxα－1，所以y＝eq\r(x)的导数为f′(x)＝eq\f(1,2\r(x)).2．基本初等函数的导数公式函数导数函数导数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝axf′(x)＝axlna(a>0)f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)f(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？提示：f(x)＝ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)＝ex也是f′(x)＝axlna当a＝e时的特殊情况．(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数之间有何关系？提示：f(x)＝lnx是f(x)＝logax的一个特例，f(x)＝lnx的导数也是f(x)＝logax的导数的特例．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)(sinx)′＝－cosx．(×)提示：(sinx)′＝cosx．(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2).(×)提示：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝(x－1)′＝－x－2＝－eq\f(1,x2).(3)(lnx)′＝eq\f(1,x).(√)2．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于()A．0 B．2x C．6 D．9【解析】选C.因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(3)＝6.3．(教材练习改编)求下列函数的导数：(1)y＝log3x.(2)y＝8x.【解析】(1)y′＝(log3x)′＝eq\f(1,xln3).(2)y′＝(8x)′＝8xln8＝3×8xln2.类型一利用导数公式计算导数(数学运算)1．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)＝()A．8 B．12 C．8ln3 【解析】选D.f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，所以f′(x)＝0.所以f′(2)＝0.2．求下列函数的导数．(1)y＝x6.(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x).(3)y＝eq\f(1,x2).【解析】(1)y′＝(x6)′＝6x5.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)lneq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)ln2.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝(x－2)′＝－2x－3.运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项(1)对于简单的函数，直接套用公式．(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．【补偿训练】1.下列结论正确的个数为()①y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)；②y＝2x，则y′＝2xln2；③y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2).A．0 B．1 C．2 D．3【解析】选C.①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③均正确，直接利用公式即可验证．2．对于函数y＝x2，其导数值等于原函数值的点是________．【解析】y′＝2x，令2x＝x2，解得x＝0或x＝2，所以满足条件的点是(0，0)，(2，4).答案：(0，0)，(2，4)类型二导数公式的应用(数学运算，直观想象)【典例】已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，求k的值．【思路导引】设出切点的坐标，根据导数的几何意义，表示出k，再由切点既在直线上又在曲线上，建立方程组，即可求出k的值．【解析】设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝lnx，所以y′＝eq\f(1,x)，所以＝eq\f(1,x0)＝k.因为点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝lnx上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝kx0，①,y0＝lnx0.②))把k＝eq\f(1,x0)代入①式得y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e.所以k＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e).利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．1．曲线y＝eq\r(x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))处的切线方程为()A．4x－4eq\r(3)y＋2eq\r(3)－1＝0B．4x－4y＋1＝0C．4eq\r(3)x－4y＋2－eq\r(3)＝0D．4x＋4y－3＝0【解析】选B.由于y＝eq\r(x)，所以y′＝eq\f(1,2\r(x))，于是＝1，所以曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))处的切线的斜率等于1，切线方程为4x－4y＋1＝0.2．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P处的切线方程为________．【解析】由题意知，y′＝ex，曲线在点(0，1)处的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝eq\f(1,x)(x＞0)的导数为y′＝－eq\f(1,x2)(x＞0)，曲线y＝eq\f(1,x)(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－eq\f(1,m2)(m＞0)，由题意知k1k2＝－1，由此易得m＝1，n＝1，即点P的坐标为(1，1)，k2＝－1.点P处的切线方程为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝01．常数函数在任何一点处的切线是()A．上升的 B．下降的C．垂直于y轴的 D．以上都有可能【解析】选C.因为常数函数在任何一点处的导数都为零，所以其切线的斜率等于零，即任何一点处的切线垂直于y轴．2．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝eq\f(1,\r(x))，则y′＝－eq\f(1,2)eq\r(x)C．若y＝－eq\r(x)，则y′＝－eq\f(1,2\r(x))D．若y＝3x，则y′＝3【解析】选B.3．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是()A．1 B．0 C．2 D．eq\f(1,2)【解析】选D.因为y′＝eq\f(1,x)，所以＝eq\f(1,2)，故图象在x＝2处的切线斜率为eq\f(1,2).4．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标是()A．(0，0) B．(0，1