江苏省扬州市瓜洲中学2022年高三数学文期末试卷含解析

江苏省扬州市瓜洲中学2022年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm2）是（）A．4+2 B．6+ C．6+2 D．8+参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是底面为直角三角形，且一侧面垂直于底面的三棱锥，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为直角△ABC，且侧面PAB⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；过点P作PO⊥AB，垂足为O，则O为AB的中点；过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，连接PM、PN，则PM⊥BC，PN⊥AC；∴该几何体的表面积为S=S△ABC+S△PBC+S△PAC+S△PAB=×2×2+×2×+×2×+××=6+．故选：B．2.已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】导数的应用B12B已知即为方程在上有解.设，求导得：，在有唯一的极值点，且知故方程在上有解等价于.从而的取值范围为.【思路点拨】求导数确定单调性求出a的范围。3.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，且过点（2，），则双曲线C的标准方程为（）A． B． C． D．x2﹣y2=1参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率以及过点的坐标，建立方程关系进行求解即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴e==，即c=a，则b2=c2﹣a2=a2﹣a2=a2，则双曲线的方程为﹣=1，∵双曲线过点（2，），∴=1，即=1，得a2=2，b2=3，则双曲线C的标准方程为，故选：A4.等差数列中的是函数的极值点，则等于A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：【知识点】函数在某点取得极值的条件．B11A

解析：.因为，是函数的极值点,所以，是方程的两实数根,则.而为等差数列,所以,即,从而,选A.【思路点拨】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．5.在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+B．C．D．参考答案：A【分析】由向量的运算法则，结合题意可得═=，代入已知化简可得．【解答】解：由题意可得=====故选A【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题．6.已知集合，，则 （A）（B）（C）（D）参考答案：D【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为，，所以，故选D.【错选原因】错选A：误求成；错选B：集合解错，解成；错选C：集合解错，解成.7.已知“成等比数列”，“”，那么成立是成立的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又非必要条件参考答案：D成等比数列,则有，所以，所以成立是成立不充分条件.当时，有成立，但此时不成等比数列，所以成立是成立既不充分又非必要条件，选D.8.在中，是边上的一点，．若记，则用表示所得的结果为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】平面向量的基本定理及其意义．F2C

解析：如图，B，D，C三点共线，存在μ，使；∴；∴；又；∴；∴；∴；∴．故选C．【思路点拨】B，D，C三点共线，所以根据已知条件对于，能够得到，所以得到，所以．9.已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，则a的取值范围为(

) A． B． C．[，+∞） D．参考答案：C考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围．解答： 解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=ex，得y′=ex，∵曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，则设公切线与曲线C1切于点（），与曲线C2切于点（），则，将代入，可得2x2=x1+2，∴a=，记，则，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0．∴当x=2时，．∴a的范围是[）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则的取值范围为

.参考答案：(－1,6)结合不等式组,绘制可行域,得到转化目标函数,得到,，从虚线平移,运动到A点,z取到最小值，为-1，运动到C点，z取最大值，为-6，故z的范围为

12.已知直线y＝a与函数及函数的图象分别相交于A,B两点，则A,B两点之间的距离为

▲

．参考答案：13.一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为

．参考答案：由三视图可得，该几何体是一个组合体，其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，其体积为：，下半部分是半个球，球的半径R=1，其体积为据此可得，该几何体的体积为.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．14.已知直线l1∥l2，点A是l1、l2之间的定点，点A到l1、l2之间的距离分别为3和2,

点B是

l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则ΔABC的面积的最小值为______________.参考答案：6略15.若某校老、中、青教师的人数分别为、、，现要用分层抽样的方法抽取容量为的样本参加普通话测试，则应抽取的中年教师的人数为_____________．参考答案：16.若α为锐角，且sin＝，则sinα的值为________．参考答案：17.已知曲线C：y2﹣4x2n=0，则“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．参考答案：充分不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：设P（x，y）在曲线C：y2﹣4x2n=0上，把点P′（﹣x，y）代入曲线可得证明，解答：解：∵线C：y2﹣4x2n=0，则“n为正奇数”，∴设P（x，y）在曲线C：y2﹣4x2n=0上，把点P′（﹣x，y）代入曲线可得：y2﹣4（﹣x）2n=0，即y2﹣4（x）2n=0成立，∴P′（﹣x，y）点在曲线上，∴曲线C关于y轴对称，根据充分必要条件的定义可判断：“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的充分不必要故答案为：充分不必要点评：本题考查了充分必要条件的定义，点与曲线的位置关系，属于容易题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足递推式an=2an﹣1+1（n≥2），其中a3=7（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知数列（bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：考点：数列递推式；数列的求和．分析：（1）an=2an﹣1+1两边同时加上1，构造出数列{an+1}是以2为公比的等比数列，通过数列{an+1}的通项公式求出{an}的通项公式（2）由（1）求得bn==，利用错位相消法求和即可．解答：解：（1）由已知，a3=2a2+1，得a2=3，同理得a1=1在an=2an﹣1+1两边同时加上1，得出an+1=2（an﹣1+1），所以数列{an+1}是以2为公比的等比数列，首项为a1+1=2故an+1=2×2n﹣1=2n化简得数列{an}的通项公式为an=2n﹣1．（2）bn==Sn=①Sn=②①﹣②得Sn=故Sn=2﹣点评：本题考查数列的递推公式和通项公式，错位相消法求和计算，考查转化计算，构造能力．19.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：

用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“A级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%)参考数据：.参考答案：解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1）中的样本评分数据可得，则有（3）由题意知评分在之间，即之间，由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.另解：由题意知评分在，即之间，，从调查的40名用户评分数据中在共有21人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.20.设函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在定义域上单调递增，求实数a的取值范围.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）将a的值代入f(x)，先求f(e)，再求f’(e)，即可得切线方程；（2）函数单调递增则，即，整理分离未知量a，再根据x取值范围求得实数a的范围。【详解】（1）当时，，所以又因为，所以切线方程为.（2）当时，令，，所以，所以.【点睛】本题考查函数的导数，求函数中未知量的取值范围，首先分离参变量，再根据新构建的函数的性质求得未知量范围。21.如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，其对角线交点为O，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=，．（1）求证：面PAB⊥平面PDC；（2）求点O到面PAB的距离．

参考答案：（1）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，CD∩PD=D，且CD、PD?面ABCD，PA⊥面PD