黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2022-2023学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“，使”的否定是（）A．，使 B．，使C．，使 D．，使2．恩格尔系数,国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，某地区家庭2018年底恩格尔系数为，刚达到小康，预计从2019年起该地区家庭每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平至少经过（）（参考数据：，,，）A．年 B．年 C．年 D．年3．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数的导函数),若，，,则的大小关系是（）A． B． C． D．4．已知，且，.若关于的方程有三个不等的实数根，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（）A． B． C．1 D．5．已知的三边满足条件，则（）A． B． C． D．6．执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数的最小值是（）A． B． C． D．7．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为（）A．24 B．14 C．10 D．98．已知点满足，则到坐标原点的距离的点的概率为（）A． B． C． D．9．已知回归直线方程中斜率的估计值为，样本点的中心，则回归直线方程为（）A． B．C． D．10．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是25和12A．27 B．15 C．211．如图，正方体的棱长为4，动点E，F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若，，，（大于零），则四面体PEFQ的体积A．与都有关 B．与m有关，与无关C．与p有关，与无关 D．与π有关，与无关12．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是__________．14．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是__________．15．已知为数字0，1，2，…，9的一个排列，满足，且，则这样排列的个数为___（用数字作答）．16．设，函数f

是偶函数，若曲线

的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图.(I)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(II)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值.18．（12分）设数列an的前项为Sn，点n,Snn，n∈（1）求数列an（2）设bn=3an⋅an+119．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，.（1）求三棱柱的体积；（2）若点M是棱AC的中点，求直线与平面ABC所成的角的大小.20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点坐标为，直线交曲线于,两点，求的值.21．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（3）若从样本中数学成绩在，与，两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．22．（10分）某机构对某市工薪阶层的收入情况与超前消费行为进行调查，随机抽查了200人，将他们的月收入（单位：百元）频数分布及超前消费的认同人数整理得到如下表格：月收入（百元）频数204060402020认同超前消费的人数81628211316（1）根据以上统计数据填写下面列联表，并回答是否有99%的把握认为当月收入以8000元为分界点时，该市的工薪阶层对“超前消费”的态度有差异；月收入不低于8000元月收入低于8000元总计认同不认同总计（2）若从月收入在的被调查对象中随机选取2人进行调查，求至少有1个人不认同“超前消费”的概率.参考公式：（其中）.附表：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“，使”的否定是“，使”.故选A【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改量词与结论即可，属于基础题型.2、B【解析】

根据“每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加”以及列不等式，解不等式求得至少经过的年份.【详解】设经过的年份为年，依题意有，即，两边取以为底的对数得，即，故至少经过年，可使家庭恩格尔系数满足达到富裕水平.故选B.【点睛】本小题主要考查指数不等式的解法，考查对数运算，考查实际生活中的函数运用，考查阅读与理解能力，属于中档题.3、A【解析】

由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．由此能求出结果．【详解】∵函数的图象关于直线对称，∴关于轴对称，∴函数为奇函数.因为，∴当时，，函数单调递减，当时，函数单调递减.，，，，故选A【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等4、C【解析】

求出，可得，若关于的方程有三个不等的实数根，，，令，即，易知此方程最多有两根，所以，，必有两个相等，画出的图像，可得，根据图像必有，可得，，可得答案.【详解】解：由，可得，设，可得：，可得，由，可得，，可得，若关于的方程有三个不等的实数根，，，令，且，，则有，易知此方程最多有两根，所以，，必有两个相等，由，易得在上单调递增，此时；在，此时，其大致图像如图所示，可得，根据图像必有，又为的两根，即为的两根即又，故，，故.【点睛】本题主要考查微分方程，函数模型的实际应用及导数研究函数的性质等，综合性大，属于难题.5、D【解析】

由题意首先求得的值，然后确定的大小即可.【详解】由可得：，则，据此可得.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、A【解析】

列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数的取值范围，于此可得出整数的最小值.【详解】满足条件，执行第一次循环，，；满足条件，执行第二次循环，，；满足条件，执行第二次循环，，.满足条件，调出循环体，输出的值为.由上可知，，因此，输入的整数的最小值是，故选A.【点睛】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7、B【解析】分析：利用两个计数原理即可得出.详解：由题意可得，不同的选择方式.故选：B.点睛：切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行；分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．8、B【解析】

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离的点P的概率．【详解】点满足，

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，．

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，

到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，

到坐标原点O的距离的点P的概率为：

．

故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9、A【解析】

由题意得在线性回归方程中，然后根据回归方程过样本点的中心得到的值，进而可得所求方程．【详解】设线性回归方程中，由题意得，∴．又回归直线过样本点的中心，∴，∴，∴回归直线方程为．故选A．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．10、A【解析】

设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，则P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，求出P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.7【详解】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，则P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，P（C）＝P（AB）+P（AB）+P（AB）＝0.2+0.3+0.2＝0.7∴在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率：P（AB|C）=P(AB)故选：A【点睛】本题考查条件概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式的合理运用．11、C【解析】

连接、交于点，作，证明平面，可得出平面，于此得出三棱锥的高为，再由四边形为矩形知，点到的距离为，于此可计算出的面积为，最后利用锥体的体积公式可得出四面体的体积的表达式，于此可得出结论．【详解】如下图所示，连接、交于点，作，在正方体中，平面，且平面，，又四边形为正方形，则，且，平面，即平面，，平面，且，易知四边形是矩形，且，点到直线的距离为，的面积为，所以，四面体的体积为，因此，四面体的体积与有关，与、无关，故选C.【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，解题的关键在于寻找底面和高，要充分结合题中已知的线面垂直的条件，找三棱锥的高时，只需过点作垂线的平行线可得出高，考查逻辑推理能力，属于难题．12、B【解析】

根据题意得到，计算得到答案.【详解】播下3粒种子恰有2粒发芽的概率.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：根据等式左边的特点，各项数字先递增再递减，分别写出与的结论，即可得到答案.详解：根据等式左边的特点，各项数字先递增再递减，得时，左边时，左边比较两式，等式左边应添加的式子是故答案为点睛：本题主要考查数学归纳法，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子.14、【解析】分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2，根据题意列出不等式，解出p的值．详解：每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p，不出现故障的概率是p，且各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；4引擎飞机可以正常工作的概率是C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，依题意得到C43p3（1﹣p）+p4＞p2，化简得3p2﹣4p+1＜0，解得＜p＜1．故选：B．点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用．15、3456【解析】

先计算总和为45，将相加为15的3数组罗列出来，计算每个选法后另外一组的选法个数，再利排列得到答案.【详解】0，1，2，…，9所有数据之和为45相加为15的3数组有：当选择后，可以选择，，3种选择同理可得：分别有3，3，3，2，3，1，2，3，3，1共24种选择选定后只有一种排列有种排列有种排列共有中选择.故答案为3456【点睛】本题考查了排列组合的计算，将和为15的数组罗列出来是解题的关键.16、【解析】

先根据f(x)为偶函数求得，再由，解得．【详解】由题意可得f(x)=f(-x),即，变形为为任意x时都成立，所以，所以，设切点为，，由于是R上的单调递增函数，且．所以．填．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性及由曲线的斜率求切点横坐标．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解析】

(1)由题意考查两人的平均值均为82，方差甲乙分别为，结合方差可知乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛.(2)由题意可知：ξ的所有可能取值为0，1，2，结合超几何分布概率公式求得概率值，得到分布列，然后计算可得均值为.【详解】(I)学生甲的平均成绩x甲＝＝82，学生乙的平均成绩x乙＝＝82，又s＝×[(68-82)2＋(76-82)2＋(79-82)2＋(86-82)2＋(88-82)2＋(95-82)2]＝77，s＝×[(71-82)2＋(75-82)2＋(82-82)2＋(84-82)2＋(86-82)2＋(94-82)2]＝，则x甲＝x乙，s>s，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛.(II)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，则ξ的分布列为ξ012P所以均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.18、(1)an=6n-5【解析】

分析：（1）点n,Snnn∈N*均在函数y=3x-2（2）由bn=3an详解：（1）∵点n,Snn∴Snn=3n-2,当n≥2经检验：n=1时满足上式∴a（2）bnT==12点睛：在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.19、（1）（2）【解析】

（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝1，BC＝1．能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）点M是棱AC的中点，B1M在平面ABC的射影为直线MB，则∠B1MB就是直线B1M与平面ABC所成的角的大小，由此能求出直线B1M与平面ABC所成的角的大小．【详解】（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝1，BC＝1．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V12．（2）点M是棱AC的中点，B1M在平面ABC的射影为直线MB，则∠B1MB就是直线B1M与平面ABC所成的角的大小，tan∠B1MB，∴∠B1MB＝arctan．∴直线B1M与平面ABC所成的角的大小为arctan．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20、（1），；（2）.【解析】

（1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于t的二次，再由韦达定理得到.【详解】（1）由消去参数，得直线的普通方程为又由得，由得曲线的直角坐标方程为，即；（2）其代入得，则所以.21、（1）a=0.1．（2）850（人）．（3）．【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的性质能求出的值；（2）先求出数学成绩不低于分的概率，由此能求出数学成绩不低于分的人数；（3）数学成绩在的学生为分，数学成绩在的学生人数为人，由此利用列举法能求出这名学生的数学成绩之差的绝对值大于