黑龙江省大庆中学2023年高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是.现在李某单独研究项目M，且这个人组成的团队也同时研究项目M，设这个人团队解决项目M的概率为，若，则的最小值是()A．3 B．4 C．5 D．62．设a=e1eA．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c3．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．4．设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰好有三个不同的实数根，则的取值范围是()A． B． C． D．5．已知集合，，若，则实数的取值范围是()A． B． C． D．6．某人考试，共有5题，至少解对4题为及格，若他解一道题正确的概率为0.6，则他及格的概率为（）A． B． C． D．7．函数是（）A．偶函数且最小正周期为2 B．奇函数且最小正周期为2C．偶函数且最小正周期为 D．奇函数且最小正周期为8．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A． B． C． D．9．已知点满足，则到坐标原点的距离的点的概率为（）A． B． C． D．10．设，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．利用反证法证明：若，则，应假设（）A．，不都为 B．，都不为C．，不都为，且 D．，至少一个为12．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：每年体检每年未体检合计老年人7年轻人6合计50已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号、、，从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有___________种．14．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________15．有位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有人报名的方案有______．16．已知直线：，抛物线：图像上的一动点到直线与到轴距离之和的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，斜三棱柱中，侧面为菱形，底面是等腰直角三角形，，C．（1）求证：直线直线；（2）若直线与底面ABC成的角为，求二面角的余弦值．18．（12分）如图,平面平面为等边三角形,,过作平面交分别于点,设.（1）求证：平面；（2）求的值,使得平面与平面所成的锐二面角的大小为.19．（12分）已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.20．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时）2.5344.5参考公式：，，残差（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出关于的线性回归方程；（3）求第二个点的残差值，并预测加工10个零件需要多少小时？21．（12分）如图，二面角的大小为，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.22．（10分）在二项式展开式中，所有的二项式系数和为1．（1）求展开式中的最大二项式系数；（2）求展开式中所有有理项中系数最小的项．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

设这个人团队解决项目的概率为，则，由，得，由此能求出的最小值．【详解】李某智商较高，他独自一人解决项目的概率为，有个水平相同的人也在研究项目，他们各自独立地解决项目的概率都是0.1，现在李某单独研究项目，且这个人组成的团队也同时研究，设这个人团队解决项目的概率为，则，，，解得．的最小值是1．故选．【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2、B【解析】

依据y=lnx的单调性即可得出【详解】∵b=ln而a=e1e>0,c=又lna=lne1所以lnc>lna，即有c>a，因此c>a>b【点睛】本题主要考查利用函数的单调性比较大小。3、D【解析】

设，由，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【详解】设点，由，知：，

化简得：，

点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，

又点M在圆C上，圆C与圆D的关系为相交或相切，

，其中，，即可得，

故选：D．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．4、D【解析】由f(x−2)=f(x+2),可得函数的周期T=4,当x∈[−2,0]时,，∴可得(−2,6]的图象如下：从图可看出,要使f(x)的图象与y=loga(x+2)的图象恰有3个不同的交点，则需满足，求解不等式组可得的取值范围是.本题选择D选项.5、A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.6、C【解析】

由题，得他及格的情况包含答对4题和5题，根据独立重复试验的概率公式，即可得到本题答案.【详解】由题，得他及格的情况包括答对4题和5题，所以对应的概率.故选：C【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率问题，属基础题.7、C【解析】

首先化简为，再求函数的性质.【详解】，是偶函数，故选C.【点睛】本题考查了三角函数的基本性质，属于简单题型.8、C【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.9、B【解析】

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，由此利用几何概型能求出到坐标原点O的距离的点P的概率．【详解】点满足，

当，时，；

当，时，；

当，时，；

当，时，．

作出图象，得到点P的坐标围成的图形是以原点为中心的边长为正方形，

到坐标原点O的距离的点P围成的图形是以原点为圆心，半径为1的圆，

到坐标原点O的距离的点P的概率为：

．

故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10、C【解析】

分别求解出集合和，根据交集的结果可确定的范围.【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.11、A【解析】

表示“都是0”，其否定是“不都是0”.【详解】反证法是先假设结论不成立，结论表示“都是0”，结论的否定为：“不都是0”.【点睛】在简易逻辑中，“都是”的否定为“不都是”；“全是”的否定为“不全是”，而不能把它们的否定误认为是“都不是”、“全不是”.12、D【解析】分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.详解：因为，所以选D.点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设红色的三个球分别为、、，黄色的三个球分别为、、，蓝色的三个球分别为、、，列出所有符合条件的选法组合，可得出结果.【详解】设红色的三个球分别为、、，黄色的三个球分别为、、，蓝色的三个球分别为、、，现从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有：、、、、、，因此，从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有种，故答案为.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问题时，若符合条件的基本事件数较少时，可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.14、.【解析】分析：设正三棱锥P-ABC的侧棱长为2a,PO为三棱锥的高，做PD垂直于AB，连OD，则PD为侧面的高，OD为底面的高的三分之一，在三角形POD中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．详解：设正三棱锥P-ABC的侧棱长为2a,PO为三棱锥的高，做PD垂直于AB，连OD，则PD为侧面的高，OD为底面的高的三分之一，在三角形POD中故全面积为：故答案为.点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.15、【解析】

由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案．【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法，故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝1种选法，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．16、1【解析】

首先根据抛物线的性质，可将抛物线上的点到直线和轴的距离和转化为抛物线上的点到直线的距离和到焦点的距离和减1，再根据数形结合求距离和的最小值.【详解】设抛物线上的点到直线的距离为，到准线的距离为，到轴的距离为，抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离相等，，,如图所示：的最小值就是焦点到直线的距离，焦点到直线的距离，所以有：的最小值是1，故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的几何性质，意在考查转化与化归，关键是抛物线定义域的转化，属于中档题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先证平面，再证平面，可证直线直线（2）由作AB的垂线，垂足为D，则平面ABC，过A作的平行线，交于E点，则平面ABC，以AB,AC,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法可求得二面角．【详解】证明：连接，侧面为菱形，，又C，，平面，，又，，平面，平面，直线直线；解：由知，平面平面，由作AB的垂线，垂足为D，则平面ABC，，得D为AB的中点，过A作的平行线，交于E点，则平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则为平面的一个法向量，则0，，2，，，设平面的法向量，由，取，得，，故二面角的余弦值为．【点睛】利用向量法求二面角的注意事项：(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能是两法向量夹角的补角为所求；(2)求平面的法向量的方法有，①待定系数法，设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程，解之即可得法向量；②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．18、（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形相似，本题可根据得,而，因此（2）利用空间向量研究二面角，首先利用垂直关系建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解两个平面的法向量，利用向量数量积求夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系得等量关系，求的值试题解析：（1）证明：如图,以点为原点建立空间直角坐标系,不妨设,则,由,得,则.易知是平面的一个法向量,且,故,又因为平面,平面.（2）,设平面法向量为,则,故可取,又是平面的一个法向量,由为平面与平面所成锐二面角的度数),以及得,.解得或(舍去),故.考点：线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19、（1）（2）【解析】【试题分析】（1）先将不等式，即或，再求解不等式；（2）先将问题转化为，进而转化为不等式，通过解不等式可得实数的取值范围．解：（1），即或解得：或，所以；（2）存在使得不等式成立，即又，所以，解得，所以实数的取值范围是．20、（1）见解析；（2）；（3）；8.05个小时【解析】

按表中信息描点．利用所给公式分别计算出和残差，计算出即为预测值．【详解】（1）作出散点图如下：（2），，，所求线性回归方程为：（3）当代入回归直线方程，得（小时）加工10个零件大约需要8.05个小时【点睛】本题考查线性回归直线，考查学生的运算能力，属于基础题．21、(1)见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由平面可