第1章 二次函数 解答题 专题训练（含答案）

第第页第1章二次函数解答题专题训练（含答案）第1章二次函数解答题专题训练九年级上册数学浙教版（含答案）

1．如图，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线对应的函数表达式．

2．如图，已知抛物线交轴于点，点两点，交轴于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点是第一象限内线段上的一个动点，过点作轴于点，交抛物线于点．求：当线段的长最大时，点的坐标．

3．如图，直线y＝x＋m与抛物线y＝x2－2x＋l交于不同的两点M、N（点M在点N的左侧）．

(1)设抛物线的顶点为B，对称轴l与直线y＝x＋m的交点为C，连结BM、BN，若S△MBC＝S△NBC，求直线MN的解析式；

(2)在(1)条件下，已知点P(t，0)为x轴上的一个动点，

①若△PMN为直角三角形，求点P的坐标．

②若∠MPN>90°，则t的取值范围是．

4．已知二次函数．

（1）将二次函数化成的形式；

（2）在平面直角坐标系中画出的图象；

（3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．

5．阅读下列材料，解决材料后的问题：

材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝，例如17与16的友好数为f（17，16）＝＝．

材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：

[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……

（1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值；

（2）已知[a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围；

（3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，请求f（x，m2﹣m）的最小值．

6．已知抛物线（，，是常数）的开口向上且经过点，．

(1)当时，求抛物线的顶点坐标；

(2)若二次函数在时，的最大值为2，求的值；

(3)若射线与抛物线仅有一个公共点，求的取值范围．

7．抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称．

(1)求点A，B，C的坐标；

(2)求直线的解析式；

(3)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．一条隧道的截面如图所示，它的上半部分是一个半圆，下半部分是一个矩形，矩形的一边长为2.5m.

（1）求隧道截面的面积关于半圆半径的函数解析式；

（2）当半圆半径为2时，求截面的面积.（取3.14，结果精确到0.1）

9．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，经试销发现，该种商品的每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价（元/千克）45505560

销售量（千克）70605040

（1）求（千克）与（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为了尽可能提高销量且保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

10．如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点与关于抛物线的对称轴对称．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标；

(2)点是抛物线上的一点，当的面积是8，求出点的坐标

11．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接CB，在直线CB上方的抛物线上有一点M，使得△BCM的面积最大，求出M点的坐标．

12．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．

（1）若函数y1的对称轴为直线x＝2，且它的图象经过点(﹣a，b)，求函数y1的解析式．

（2）若函数y2的图象经过点(r，0)，其中r≠0，求证函数y1的图象经过点(，0)．

（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，m的值．

13．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝+bx+c经过（﹣1，+2m+1）、（0，+2m+2）两点，其中m为常数．

(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；

(2)若抛物线y＝+bx+c与x轴有公共点，求m的值；

(3)设（a，）、（a+2，）是抛物线y＝+bx+c上的两点，请比较﹣与0的大小，并说明理由．

14．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数，其中，另外每天还需支付其他各项费用元，设每天的利润为w元．

(1)求w与x的函数关系式；

(2)若每天获得元的利润，销售单价多少？

(3)每天的最大利润是多少？当利润最大时当天的销售量是多少？

15．某水果连锁店销售热带水果，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该水果的日销售（千克）与售价（元/千克）的函数图象关系，设日销售利润为元．

（1）当日销售利润为1600元时，求售价值；

（2）当售价为多少元/千克时，当日销售利润最大，最大利润为多少元？

（3）由于某种原因，该水果进价提高了元/千克，物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价的函数关系不变．若日销售最大利润是1280元，请直接写出的值．

16．如图，某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心米处达到最大高度为米，以水池直径所在的直线为轴，立柱所在的直线为轴建立平面直角坐标系．

(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；

(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？请说明理由．

17．抛物线y=ax2+bx+c与直线y=有唯一的公共点A，与直线y=交于点B，C（C在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D(3，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线y=2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．

（i）求P，Q两点的坐标；

（ii）设直线y=2x+m(m>0)与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．

18．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．

①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；

②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．

19．某名贵树木种植公司计划从甲，乙两个品种中选取一个种植并销售，市场预测每年产销x棵，已知两个品种的有关信息如表：

品种每棵售价（万元）每棵成本（万元）每年其他费用（万元）预测每年最大销量（棵）

甲12a20160

乙201260﹣2x+0.05x280

其中a为常数，且7≤a≤10，销售甲，乙两个品种的年利润分别为y1万元，y2万元．

（1）直接写出y1与x的函数关系式为．y2与x的函数关系式为．

（2）分别求出销售这两个品种的最大年利润．

（3）为了获得最大年利润，该公司应该选择哪个品种？请说明理由．

20．如图1，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴负半轴交于点，若．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，是第三象限内抛物线上的动点，过点交抛物线于点，过作轴交于点，过作轴交于点，当四边形的周长最大值时，求点的横坐标；

（3）在轴下方的抛物线上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分．如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由．

21．已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．

（1）求a，b的值；

（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．

22．在平面直角坐标系中抛物线（）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，为等腰直角三角形．

(1)写出抛物线的对称轴为直线______；

(2)求出抛物线的解析式；

(3)垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点（，），（，），其中，直线L与函数（）的图象交于点（，），若，求的取值范围．

23．新冠肺炎疫情后期，我市某药店进了一批口罩，成本价为1元/个，投入市场销售，其销售单价不低于成本，一段时间调查，发现每天销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在一次函数关系，且有两天数据为：销售价定1.3元，每天销售1080个；销售价定为1.5元，每天销售1000个．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)如果该药店销售口罩每天获得800元的利润，那么这种口罩的销售单价定为多少元？

(3)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？

24．在平面直角坐标系中，给出如下定义:已知两个函数，如果对于任意的自变量,这两个函数对应的函数值记为,恒有点和点关于点成中心对称(此三个点可以重合)，由于对称中心都在直线上，所以称这两个函数为关于直线的“相依函数”。例如:和为关于直线的“相依函数”.

（1）已知点是直线上一点，请求出点关于点成中心对称的点的坐标:

（2）若直线和它关于直线的“相依函数”的图象与轴围成的三角形的面积为，求的值;

（3）若二次函数和为关于直线的“相依函数”.

①请求出的值;

②已知点、点连接直接写出和两条抛物线与线段有目只有两个交占时对应的的取值范围.

25．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3

（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；

（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；

（3）利用图象求当x为何值时，函数值y＜0

（4）当x为何值时，y随x的增大而减小？

（5）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．

26．未来一年，重庆将在打造“森林重庆”的过程中对“两翼一圈”中的“两翼”地区实施万元增收工程，为了提高农户收入，某县决定对在森林间的空地上种植中草药实行政府补贴，规定每种植一亩中草药一次性补贴农户若干元，经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间成一次函数关系，且补贴与种植情况如下表：

补贴数额（元）100200…

种植亩数（亩）16002400…

随着补贴数额的不断增大，种植规模也不断增加，但每亩中草药的收益（元）会相应降低，该县补贴政策实施前每亩中草药的收益为3000元，而每补贴10元，每亩中草药的收益会相应减少30元．

（1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数（亩）、每亩中草药的收益（元）与政府补贴数额（元）之间的函数关系式．

（2）要使全县种植这种中草药的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少元？并求出总收益的最大值和此时的种植亩数；（总收益＝每亩收益×亩数）

（3）在取得最大收益的情况下，为了发展森林旅游，需占用其中不超过60亩的森林间空地修建一个森林公园．已知修建森林公园平均每亩的费用为650元，此外还要购置部分游乐设施，这项费用（元）等于空地面积（亩）的平方的25倍．这样，将空地用来修建森林公园比用来种植中草药时每亩的平均收益增加了2000元，在扣除所有修建费用后总收益为85000元，求修建的森林公园有多少亩？（精确到个位）（参考数据：，，）

27．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+4（m是常数）

①求证：不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点；

②把该函数图象沿y轴向下平移多少个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点？

28．已知抛物线：经过点．

(1)求抛物线的解析式．

(2)将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线，与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上的一个动点．

①当面积最大时，求点D的坐标；

②抛物线的对称轴交x轴于点G，过点D作于点E，交x轴于点F．当点F在线段上时，求的取值范围．

29．若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．

30．某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独出资A种产品，所获利润yA(万元)与出资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：

x(万元)122.535

yA(万元)0.40.811.22

信息二：如果单独出资B种产品，则所获利润yB(万元)与出资金额x(万元)之间存在二次函数关系：yB＝ax2+bx，且出资2万元时获利润2.4万元，当出资4万元时，可获利润3.2万元．

(1)求出yB与x的函数关系式；

(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系，并求出yA与x的函数关系式；

(3)如果企业同时对A、B两种产品共出资15万元，请设计一个能获得最大利润的出资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

21世纪教育网()

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参考答案：

1．y＝x2－2x＋2.

2．（1）；（2）（0,0）或（0,-3）或（0,）或（0,）；（3）

3．（1）直线MN的解析式为y=x+1；

（2）①若∠NMP1=90°，则△MOP1∽△FOM，P1的坐标为（，0）；

若∠NMP2=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP2∽△FOM，P2的坐标为（，0）；

若∠MP3N=90°，则△MOP3∽△FOM，P3的坐标为（，0）；

②＜t＜．

4．（1）y=（x＋1）2-4；（2）图见解析（3）x＜3或x＞1．

5．（1）x＝±2；（2）﹣4≤a＜﹣2；（3）当m＝时，y有最大值是﹣，此时f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是﹣．

6．(1)

(2)

(3)，或者

7．(1)，，

(2)

(3)

8．（1）;（2）当时，.

9．（1）；（2）50元；（3）定价60元，最大利润800元．

10．(1)，点的坐标为

(2)点的坐标为或或

11．（1）；（2）共存在5个点P1（1，3+），P2（1，3-），P3（1，），P4（1，-），P5（1，1），使△PBC为等腰三角形；（3）M（，）．

12．（1）或；（2）证明见解析；（3）

13．(1)b＝2，c＝

(2)m＝﹣1

(3)a≥﹣2时，，a＜﹣2时，，理由见解析

14．(1)

(2)若每天获得160元的利润，销售单价4元/袋．

(3)每天的最大利润是240元，当利润最大时当天的销售量是160袋．

15．