61.6 子空间的交与和

第六章线性空间6[1].6子空间的交与和§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和6[1].6子空间的交与和主要内容子空间的交第六节子空间的交与和子空间的和子空间的交与和的性质例题子空间的交与和的维数6[1].6子空间的交与和一、子空间的交1.定义定义1

设V1,V2

是线性空间V

的两个子空间,称V1

∩V2={|V1

且V2

}为V1,V2的交.6[1].6子空间的交与和2.性质定理1

如果V1,V2

是线性空间V

的两个子空间,那么它们的交V1

∩V2也是V

的子空间.证明首先，由0V1

，0V2

，可知0V1

∩V2

，因而V1

∩V2是非空的.其次，如果,V1

∩V2,即,V1

，而且,V2

，+V1

，+V2

，对数量乘积可以同样地证明.所以V1

∩V2是V

的子空间.证毕那么因此+V1

∩V2.6[1].6子空间的交与和3.子空间的交的运算规律1)交换律

V1

∩V2=V2

∩V1；2)结合律

(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2

∩V3)

.

推广

多个子空间的交为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为的交空间.

6[1].6子空间的交与和二、子空间的和1.定义定义2

设V1,V2

是线性空间V

的两个子空间,所谓V1

与V2

的和，是指由所有能表示成1+

2，而1V1

，2V2

的向量组成的子集合，记作V1+V2

，即V1+V2={|=1+2,1V1,2V2

}6[1].6子空间的交与和2.性质定理2

如果V1,V2

是线性空间V

的两个子空间，那么它们的和V1+V2也是

V

的子空间.证明首先，V1+V2显然是非空的.其次如果,V1+V2,即=1+2,1V1,2V2,=1+2,1V1,2V2,那么+=(1+1)+(2+2).6[1].6子空间的交与和又因为V1,V2是子空间，故有1+1V1

，2+2V2.因此+V1+V2.同样，k=k1+k2V1+V2.所以，V1+V2是V

的子空间.证毕6[1].6子空间的交与和3.子空间的和的运算规律1)交换律

V1

+V2=V2

+V1；2)结合律

(V1+V2)+V3=V1+(V2

+V3)

.

推广

多个子空间的和为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为的和空间.

6[1].6子空间的交与和1)V的两子空间的并集注意：有

证明：6[1].6子空间的交与和2）V的两子空间的并集未必为V的子空间.皆为R3的子空间，但是它们的并集

并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭，如但是例如6[1].6子空间的交与和三、子空间的交与和的性质性质1

设V1,V2,W

都是子空间，那么由W

V1

与W

V2

可推出W

V1∩V2

；而由WV1

与W

V2可推出WV1+V2.性质2

对于子空间V1,V2,以下三个论断是等价的：1)

V1

V2

；2)V1∩V2=V1

；3)V1+V2=V2.6[1].6子空间的交与和性质3

设V1,V2,W

都是子空间，W

∩

V1=W

∩

V2

，若W+V1=W+V2，V1=V2.则

V1

V2

，6[1].6子空间的交与和四、例题例1

设V1=L(1,2),V2=L(1,3)是R3两个不同的2维子空间，求V1∩V2

和V1+V2，并指它们的几何意义.解因为V1

和V2

是两个不同的子空间，所以1,2,3线性无关，从而V1=V2

与题设矛盾.于是由子空间的交与和的定义可得V1∩V2=L(1)，V1+V2=L(1,2,3)=R3.否则3可由1,2线性表示6[1].6子空间的交与和其几何意义是：V1=L(1,2)是向量1,2所确定的平面，的平面，是整个3维空间.如图6-6所示.V2=L(1,3)是向量1,3所确定V1∩V2是这两个平面的交线，V1+V26[1].6子空间的交与和例2

设V1,V2

分别是R3过原点的直线和平面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，求V1∩V2

和V1+V2，并指它们的几何意义.解由定义容易求得V1∩V2={0}，V1+V2=L(1,2,3)=R3.其几何意义如图6-7所示6[1].6子空间的交与和例3

设V1,V2

分别是P3中齐次方程组6[1].6子空间的交与和的解空间，那么V1∩V2就是齐次方程组的解空间.6[1].6子空间的交与和1）L(1,2,…,s)+L(1,2,…,t)=L(1,…,s,1,…,t)；五、子空间的交与和的维数（维数公式）2）L(1,2,…,s)∩

L(1,2,…,t)其中是与中的公共元素，.定理3

为线性空间V中两组向量，则6[1].6子空间的交与和例4、在中，设1）求

的维数的与一组基；

2）求

的维数的与一组基.

6[1].6子空间的交与和解：1)任取

设

则有

(＊)解

得

（t

为任意数）(＊)即6[1].6子空间的交与和令

t=1，

则得

的一组基

为一维的.

2)

对以为列向量的矩阵A作初等行变换

6[1].6子空间的交与和为3维的，

由B知，为的一个极大无关组.为其一组基.6[1].6子空间的交与和关于子空间的交与和的维数，有以下定理.定理4(维数公式)

如果V1,V2

是线性空间V

的两个子空间，那么维(V1)+维(V2)=维(V1+V2)+维(V1

∩

V2).6[1].6子空间的交与和证明设V1,V2的维数分别是s,t,V1∩V2

的维数是m.取V1∩V2的一组基1,2,…,m.如果m=0，这个基是空集，下面的讨论中1,2,…,m不出现，但讨论同样能进行.由它可以扩充成V1的一组基1,2,…,m,1,…,s

-m,也可以扩充成V2的一组基1,2,…,m,1,…,t

-m.6[1].6子空间的交与和我们来证明，向量组1,2,…,m,1,…,s

-m,1,…,t

-m是V1+V2的一组基.这样，V1+V2的维数就等于s+t-m,因而维数公式成立.因为V1=L(1,2,…,m,1,…,s

-m),V2=L(1,2,…,m,1,…,t

-m).所以V1+V2=L(1,…,m,1,…,s

-m,1,…,t

-m).6[1].6子空间的交与和现在来证明向量组1,2,…,m,1,…,s

-m,1,…,t

-m是线性无关的.假设有等式k11+k22+…+kmm+p11+

p22+…+ps

-ms

-m+q11+q22+…+qt

-m

t

-m=0.令=k11+…+kmm+p11+…+ps

-ms

-m=-q11-q22-…-qt

-m

t

-m.6[1].6子空间的交与和=k11+…+kmm+p11+…+ps

-ms

-m由

=-q11-q22-…-qt

-m

t

-m由可知，

V1

；可知，

V2.于是

V1∩V2，即可以被

1,2,…,m线性表示.令

=l11+…+lmm

,则l11+…+lmm+q11+…+qt

-m

t

-m=0.由于1,…,m,1,…,t

-m线性无关，所以l1=…=lm=q1=…=qt

-m=0,因而

=0.从而有6[1].6子空间的交与和k11+…+kmm+p11+…+ps

-ms

-m=0.由于1,…,m,1,…,s

-m线性无关，又得k1=…=km=p1=…=ps

-m=0.这就证明了1,2,…,m,1,…,s

-m,1,…,t

-m线性无关，式成立.证毕因而它是V1+V2的一组基，故维数公6[1].6子空间的交与和注意：从维数公式可知①②（为Vn(P)的两个子空间）6[1].6子空间的交与和

子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小.

例如，在R3中，设子空间其中，但，则，由此还可得到，是一直线.6[1].6子空间的交与和从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于4.由此说明这两张平面的交是一维的直线.6[1].6子空间的交与和推论

如果n维线性空间V

中两个子空间V1,V2

的维数之和大于n,那么V1,V2

必含有非零的公共向量.证明由假设维(V1+V2)+维(V1∩V2)=维(V1)+维(V2)>n.但因V1+V2是V的子空间而有维(V1+V2)n,所以维(V1∩V2)>0.这就是说，V1∩V2中含有非零向量.证毕6[1].6子空间的交与和

小结

1.子空间的交2.子空间的和3.子空间的交与和的性质4.子空间的交与和的维数6[1].6子空间的交与和1.在中，令

求及易知，皆为的子空间.

练习

6[1].6子空间的交与和解：任取由有由有故，从而，6[1].6子空间的交与和再求因为，6[1].6子空间的交与和所以，6[1].6子空间的交与和2.

设V=P4，V1=L(1,2,3

)，V2=L(1,2)，其中求V1,V2,V1∩V2,V1+V2的维数与基.6[1].6子空间的交与和解因为V1+V2=L(1,2,3

)+L(1,2)=L(1,2,3

,1,2),所以向量组1,2,3

,1,2的一个极大无关组就是V1+V2的一组基.把向量组1,2,3

,1,2中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵A，对A进行初等行变换，化成行最简形：6[1].6子空间的交与和行变换6[1].6子空间的交与和由A

的行最简形矩阵1,2,1线性无关，且2=1-32+41.于是1,2,1是V1+V2的一组基，维(V1+V2)=3；1,2是