解密12平面向量

解密12讲：平面向量【考点解密】考的一．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．考点二．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb考点三.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.考点四．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考点五．平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．考点六．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.考点七.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].考点八.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积考点九.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.考点十.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))【方法技巧】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．【核心题型】题型一：平面向量的基础知识1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量，必有D．若满足且与同向，则【答案】C【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.【详解】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若同向共线，，若反向共线，，若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知.综上可知对于任意向量，必有，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量模的定义可得，进而求得，利用向量的线性运算，结合向量模的定义即可求解.【详解】解：因为，所以，即，又，所以．所以．因为，所以．故选：A．3．（2022·河南·校联考一模）下列关于平面向量的说法正确的是（

）A．若共线，则点A，B，C，D必在同一直线上B．若且，则C．若G为的外心，则D．若O为的垂心，则【答案】D【分析】A向量共线知向量所在直线平行或共线；B由零向量与任意向量都平行；C由向量相加不可能等于标量；D利用向量减法的几何含义，结合垂心的性质，即可判断各选项的正误.【详解】A：若共线，则A，B，C，D在同一直线上或，错误；B：若为零向量，由任意向量都与零向量平行知，此时不一定平行，错误；C：若G为的外心，有，且不可能等于标量0，错误；D：O为的垂心，由，又，所以，同理有，，即有，正确.故选：D.题型二：平面向量的线性运算4．（2023·湖南永州·统考二模）设为所在平面内一点，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】运用平面向量加法规则计算.【详解】依题意作上图，则；故选：D.5．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果．【详解】由于M为线段BC的中点，则又，所以，又，所以，则因为三点共线，则，化得由当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1故选：B6．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把用表示，然后由三点共线可得．【详解】由题意得，，因为Q，M，A三点共线，故，化简整理得．故选：C．题型三：平面向量的共线定理7．（2023·全国·高三专题练习）的外心满足，，则的面积为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】从这个条件可以考虑设的中点为，从而得到三点共线可求.【详解】设的中点为，则可化为即为，三点共线且，为等腰三角形，由垂径定理得，代入数据得,解之：，.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2【答案】B【分析】根据平面向量共线定理可设，，，，再结合得，最后运用基本不等式可求解.【详解】设，，，，则，，，，.所以，当且仅当，时等号成立.所以的的最小值是.故选：B9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意，判断得点在线段外，从而得是直角三角形，进而表示出，可得，由，可得的取值范围.【详解】因为，所以，，三点共线，且点在线段外，因为点为线段的中点，所以，即是直角三角形，所以，由数量积的定义可得：，因为，所以，即，故选:C.题型四：平面向量的基本定理10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意过点作平行于，交于点，先利用三角形相似求出，然后利用向量的线性运算即可求解.【详解】过点作平行于，交于点，因为，则为的中点，所以且，因为，所以，由可得：，所以，因为，所以，故选：.11．（2022秋·甘肃武威·高三统考阶段练习）如图，在中，是的中点，若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得，进而求得.【详解】因为是的中点，所以．所以，所以，所以．故选：D12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长【详解】在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．设，则由，可得则，解之得，则则又，则，解之得，即的长为4故选：C题型五：平面向量的坐标运算13．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根据题意分析可得数列均是周期为6的数列，运算求解即可得结果.【详解】由题意可得：，则，∵，则，由，则，同理，，即数列均是周期为6的数列，而，故选：D.14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】方法1：由可得，由代入可反解得，最后根据且即可求得的值.方法2：建立平面直角坐标系，表示出点的坐标转化为坐标运算可求得结果.【详解】方法1：在平行四边形中，因为，所以，所以，又∵，∴，∴，又∵，∴，，（平面向量基本定理的应用）又∵，∴，解得，故选：B.方法2：如图，以A为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，，∵则，又∵，设，则即：∴，，，又∵，∴∴∴由②得，将其代入①得，故选：B.15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的数量积求得，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.【详解】，，，，以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设又，知，解得，又E为的外心，，，为等边三角形，，∴，∴．故选：A题型六：平面向量的数量积问题16．（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在平面内一点，作，，，取的中点，计算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.【详解】在平面内一点，作，，，则，则，因为，则，故为等腰直角三角形，则，取的中点，则，所以，，所以，，因为，所以，，则，所以，.当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.故选：B.17．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知△ABC中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析得到∠AEB是与的夹角，利用向量基本定理得到，，利用向量数量积公式得到，，，从而利用夹角余弦公式求出答案.【详解】由题意知：∠AEB是与的夹角，，，，，，则．故选：D．18．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.【详解】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，.故选：B.题型七：平面向量的几何应用19．（2022·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得在圆上，则，数形结合即可求出的取值范围，即可得解.【详解】由题意可得是圆心为半径为1的圆，是圆心为半径为1的圆，设中点为，，由垂径定理得，在圆上，又，由图可知，，的范围为.故选：C20．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得到为正三角形，且为的中心，结合题设条件求得，得到为边长为的正三角形，以为原点建立直角坐标系，设，根据，得到，进而求得，即可求解.【详解】由题意知，即点到三点的距离相等，可得为的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以为的垂心，所以的外心与垂心重合，所以为正三角形，且为的中心，因为，解得，所以为边长为的正三角形，如图所示，以为原点建立直角坐标系，则，因为，可得设，其中，又因为，即为的中点，可得，所以.即的最大值为.故选：B.21．（2022·全国·高三专题练习）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】易知是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径，设内切圆圆心为，根据为直径，可知，，整理，进而根据的运动情况来求解.【详解】由题可知，，所以是直角三角形，，设内切圆半径为，则，解得，设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，所以，，则，，所以，因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，所以的取值范围是，故选：C题型八：平面向量的综合问题22．（2022·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知向量，函数．(1)求函数的值域;(2)函数在上有10个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质求解即可；（2）由题知，再根据三角函数性质得，解不等式即可得答案.【详解】（1）解：，所以，的值域为.（2）解：令，即，因为，所以，因为函数在上有10个零点，所以方程在上有10个实数根，所以，解得．所以，的取值范围为.23．（2023·高三课时练习）已知点G为的重心．(1)求；(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根据已知得出与三边所在向量的关系，即可根据向量的运算得出答案；（2）根据已知得出，结合，，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，即可得出答案.【详解】（1）点G为的重心，，，，，（2）点G为的重心，，，，，，，，与共线，存在实数，使得，则，根据向量相等的定义可得，消去可得，两边同除，整理得.24．（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果.（2）令可得点T在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果.【详解】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．所以O为MN的中点，所以，所以．因为Q是BC的中点，所以，，所以，即的取值范围为；（2）令，则，∴，即：∴∴点T在BC上，又因为O为MN的中点，所以，从而，，因为，所以，即的最小值为．【高考必刷】一、单选题25．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知向量，，则（

）A．7 B． C． D．【答案】A【分析】根据向量数量积的运算，先求，再根据同角三角函数基本关系是求.【详解】由已知，得，则为锐角，所以，所以.故选：A.26．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）若非零向量，满足，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对两边同时平方可求出，设与的夹角为，由向量的夹角公式代入即可得出答案.【详解】因为，以，又，，所以，，设与的夹角为，则，因为，所以，即与的夹角为.故选：D.27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知的外接圆圆心为O，且，，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】根据题意可知△为直角三角形，△为等边三角形，即可求出的值.【详解】由知是边中点，因为是△的外接圆圆心，所以△为直角三角形，且，因为，所以△为等边三角形，所以，，所以，故选：C.28．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（

）A．4 B． C． D．8【答案】A【分析】将通过平面向量基本定理转化到上,展开计算,再将代入即可求得.【详解】解:由题知,所以,记,因为且为平行四边形,所以,解得:(舍)或.故选:A29．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量满足，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，求出，建立平面直角坐标系，设，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出的最大值.【详解】由可知,，故，如图建立坐标系，，，设，由可得：，所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，所以，几何意义为到距离的2倍，由儿何意义可知，故选：D.30．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，，交于点F，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，设，根据平面向量的线性运算，推出，由B，E，F三点共线求得λ，再将表示成以为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则得答案．【详解】如图：由，得AB＝4，AC＝3，设，则三点共线，，即，则故选：C.31．（2022·四川眉山·统考一模）已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与C交于点M，N，且，．当取最小值时，椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线和椭圆的对称性可得为平行四边形,再由及向量的数量积可求,再应用基本不等式,取等条件计算即可.【详解】因为直线与C交于点M，N，设为的中点,由为的中点,故四边形为平行四边形.则,由椭圆定义得设因为,所以,又因所以,,在中,，应用余弦定理所以,又因为,所以当且仅当,即时取最小值,此时,则故选:.32．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．8【答案】D【分析】利用共线定理求出定值，再用基本不等式即可求解.【详解】由题知，，所以，又因为为线段上任一点，所以，所以当且仅当时等号成立，此时，.故选：D.二、多选题33．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在中，已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可.【详解】如图所示：因为，所以，所以，故选项A正确，因为，所以所以，故C选项错误，由，，在，，所以，即，所以，所以，所以，即即，故选项D正确，由，所以在中，因为，所以，故B正确，故选：ABD.34．（2023·福建·统考一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（

）A．与的夹角为 B．为定值C．的最小值为 D．在上的投影向量为【答案】AD【分析】由题意可得：与的夹角，然后根据向量的运算逐项进行检验即可求解.【详解】设平面向量与的夹角为，因为对任意的实数t，恒成立，即恒成立，又，也即对任意的实数恒成立，所以，则，所以，故选项正确；对于，因为随的变化而变化，故选项错误；对于，因为，由二次函数的性质可知：当时，取最小值，故选项错误；对于，向量上的一个单位向量，由向量夹角公式可得：，由投影向量的计算公式可得：在上的投影向量为，故选项正确，故选：.35．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知O为坐标原点，点，，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，因为，，，所以，，故是正三角形，则，故A正确；对于B，因为是正三角形，是的外心，所以是的重心，故，即，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，因为，则，所以，故D错误.故选：ABC．.36．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）在中，，，，且，则（

）A．B．C．D．，，，使得【答案】ABCD【分析】根据向量共线以及三角形的面积公式可判断A，根据不等式即可求解BCD.【详解】设中所对的边分别为，由，，得，，，进而得，，，,,，故A正确，由A知，，，所以，当且仅当取等号，因此，故B正确，,同理，，当且仅当时取等号,因此存在使得，故D正确，所以，故C正确,故选：ABCD三、填空题37．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得，分析、的关系，利用特殊值法可得答案.【详解】根据题意，向量，且，则有，即，当时，，则.故答案为：（答案不唯一）38．（2023·全国·高三专题练习）在中，，点Q满足，则的最大值为___________.【答案】##【分析】设中点为M，则，根据平面向量的线性运算可得，得当时，最大，此时是等边三角形，求出即可求解.【详解】设中点为M，则，，由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，∴当时，最大，此时是等边三角形，则.故答案为：.39．（2023·陕西商洛·校考三模）已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是__________.【答案】【分析】建立如图所示坐标系，不妨设，由题意，可知，记，，则，求出点的轨迹方程，由的几何意义可得即为点的轨迹上的点到点的轨迹上的点的距离，从而可得出答案．【详解】解：建立如图所示坐标系，不妨设，由知，点在直线或上，由题意，可知，记，，则，由定弦所对的角为顶角可知点的轨迹是两个关于轴对称的圆弧，设，则，因为，即，整理得或，由对称性不妨只考虑第一象限的情况，因为的几何意义为：圆弧的点到直线上的点的距离，所以最小值为，故．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，利用坐标法求出动点的轨迹，再结合解析几何的知识求出向量模的取值范围.40．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.【答案】【分析】由，可得，