例谈数学项目学习开发路径与实践-以“量身定做的全身镜”为例

例谈数学项目学习开发路径与实践——以“量身定做的全身镜”为例

杭州市丰潭摘

要：项目学习是实施综合与实践领域课程的有效载体．本文通过“量身定制的全身镜”这一项目学习课例，分析图形与几何视角下项目学习的设计思路，形成教学目标确定、教学活动设计、教学评价实施的方法，为后续教师研究、设计和实践项目学习提供实施路径．关键词：项目学习；数学方法；学会思考一、问题提出《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求进一步加强综合与实践，以提高学生综合运用所学知识和方法解决实际问题的能力，根据不同学段学生特点，适当采用主题式学习和项目式学习的方式，设计情境真实、较为复杂的问题，引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题.初中阶段综合与实践领域，将要以跨学科项目学习的方式，整合数学与其他学科的知识和思想方法，从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，发展应用意识、创新意识和实践能力．本文以《量身定制的全身镜》为例，经历初中数学项目学习的实践过程，探寻数学核心素养视角下项目学习的设计的一般路径与方法．二、项目简述《量身定制的全身镜》项目学习课，结合现实生活中的真实情境，以“每班配一面经济实用的全身镜”为话题，促成学生自主提出本项目的驱动性问题，并利用平面镜成像知识和相关数学知识研究完成项目的具体实践过程，最终根据学生的设计为班级剪裁一面经济实用的全身镜，促使学生综合应用所学知识解决问题，提升能力．1.项目：量身定制的全身镜.2.驱动性问题：如何为班级设计一面经济实用的全身镜.3.核心知识：相似三角形、轴对称图形.4.项目具体实践过程：操作体验，探索规律，尝试解决，优化方案.

5.项目成效：(1)确定全身镜长度与身高有关.全身镜的最短镜长等于身高的，两者存在函数关系.(2)明确全身镜摆放要求.镜面最低点到地面的距离等于眼睛到脚底的.(3)美化全身镜的途径.利用黄金比以及美学的知识使设计更协调美观.(4)全身镜制作的秘籍.形成设计全身镜的一般步骤及制作要点.通过项目化学习，促使学生经历完整的数学抽象、几何证明和多学科知识整合应用的过程，掌握数学抽象、证明和数学建模的方法与步骤，进一步理解从实际生活中抽象出数学问题，利用相似三角形等知识证明得到结论的过程，培养了学生的实践能力及合作交流能力，提升数学抽象和数学运算的素养，发展了学生几何直观、推理能力、创新意识和应用意识等核心素养．三、项目学习教学实践1．提出问题，任务驱动《量身定制的全身镜》项目从“校园设计大赛”中学生的真实问题出发，引发学生深度思考，师生合作互动，共同探寻问题解决的子任务，形成学习共同体．提出问题：如何在材料有限的情况下，为班级设计一面经济实用的全身镜？任务驱动：子任务1：探究全身镜最短镜长与身高的关系.子任务2：探索并明确全身镜摆放的位置要求.子任务3：探究美化全身镜的途径，使设计更协调美观.子任务4：探索全身镜制作的秘籍，形成设计全身镜的方法和制作要点.2．探究实践，优化设计环节一操作体验，探索规律活动1请一位同学在撕开软镜贴保护纸过程中，观察何时镜子能恰好照到全身？问题1在改变镜子大小的过程中，你看到镜子里的画面有什么变化？问题2在镜子材料有限的情况下，什么时候恰好能变成一面全身镜？问题3全身镜的长度与什么因素有关？活动分析：在活动中，通过不断改变镜子的长度和学生站立位置离镜子的远近，促使学生获得直接真切的感知，并提出何时恰好成为一面全身镜等问题，水到渠成地获得项目学习的驱动性问题：“如何为班级设计一面实用且美观的全身镜”.全身镜的宽度一般是40-50cm左右，因此本项目主要探究全身镜的长度。活动2

探究镜子中像的大小与人站立点位的关系问题4思考由全身镜联想到哪些知识点(多学科知识点)？问题5根据平面镜成像的特征，作出人在平面镜中所成的像.问题6人与像关于镜面是什么数学变换？问题7

改变人与镜面的距离，像的大小是否会发生改变？问题8为什么人站得离镜面越远，我们看到自己的像越“小”？活动分析：在探究活动中，通过提供学习支架引导学生结合多学科知识作图，让学生经历数学抽象过程。人有宽度和高度，如何将人抽象成数学几何图形是学生抽象思维的难点。在不考虑宽度的情况下，学生通过感知人的高度不可无限延伸，因此将人抽象成一点线段。

借助学生所学的轴对称知识，作出人照镜子得到的像(如下图)，以此来加深学生对人和像关系的理解.通过改变人与镜面的距离，让学生感悟像的大小与人的站立点位无关。最后学生得到结论：镜子中像的大小与人站立点位无关.证明简单的猜想入手，做到了低起点，激发了学生的探究欲望，提高学生学习的积极性和主动性.活动2探究镜长与人的身高有什么关系？问题9请利用所学知识画出眼睛看到镜中全身像的光路图.活动分析：活动2让学生回忆平面镜成像的原理，为学生提供了学习支架，引导学生根据提供的蜡烛成像光路图及分析这一学习支架独立完成作图，独立思考后进行1-2分钟的小组讨论，通过准确分析光路图明确镜长与身高的关系，将其转化成数学问题.环节二数学抽象，尝试解决问题10要照到全身，至少保留镜子的哪段长度？问题11DE与AC有什么数量关系？如何证明？问题12如何根据光路图作出数学几何图形？（光学→数学）问题13如何将问题写成命题，进行严格的几何证明？问题14全身镜的最短镜长与人的身高是否存在函数关系？分析：通过五个层层递进的问题，引导学生从实际问题中抽象出数学问题，将任务链拆解，给学生思考空间，学生根据光路特点得到结论：至少需要保留线段DE才能使人照到全身，作出猜想，DE=

AC,通过引导学生将人照镜子的光路图抽象成几何图形的过程，让学生明确线段关系，探究DE与AC的关系，发展学生的几何直观和推理能力.命题：已知线段AC与线段A'C'关于DE所在的直线对称，且DE//A'C'//AC,若身高AC=x米，则最短镜长DE的长度为多少米？学生1：由反射角等于入射角、AC和A'C'关于QG对称→BD=A'D,同理得到BE=EC'且DE//A'C',得到DE=AC（三角形的中位线、平行线分线段成比例）.学生2：由AC//QG//A'C',AC和A'C'关于QG对称→△A'QD∽△A'AB，△BDE∽△BA'C'→

=

=→==→=.学生3：过点B作DE的垂线交QG于点F→△CGE≌△BEF,△BDF≌△ADG→DE=AC（全等三角形）.结论：全身镜的最短镜长是身高的.函数建模:数据收集→画图描点→一次函数→拟合检验.在此基础上，通过收集全班的身高数据，画图描点，拟合并检验函数.变量身高为x，全身镜的最短镜长yx160161162162.2163163.8164165y8080.580.581.18081.98282.5x166167168169170171172173y8383.58484.585.585.58686.5x174174.3176177.7178178.6179180y86.587.158888.858989.289.590不难发现大部分点都在函数图象附近，也有几组数据存在误差，不符合实际，有可能是测量时的读数误差等，我们可以删去一些误差较大的数据，并且使数据的取值尽量均匀，优化后的散点图如下：确定最短镜长与身高存在函数关系：y=

x.思考：确保镜子能照到全身，还要考虑哪些因素？(边实践边发现边解决)环节三优化方案，归纳总结活动3利用提供的材料剪裁一面适合组员的全身镜.分工合作，步骤如下（15分钟）：(1)每组针对核心知识和驱动性问题，先在图纸上讨论好设计方案；(2)根据设计目标剪裁一面适合组员的全身镜，具体分工和要求如下：

活动4在设计过程中遇到了什么问题？问题15在最短镜长确定后，如何明确全身镜的摆放高度？问题16镜子能够照到全身后，探究如何美化全身镜，使得画面更协调美观？活动分析：在学生掌握了核心知识后开展小组合作，加深学生对理论知识的理解，让学生在实践中继续去发现和提出问题，并在不断尝试检验中解决问题。学生依次解决设计中出现的问题：学生1：最短镜长确定后仍照不到全身可能跟镜子的张贴高度有关，即求解镜子张贴的最低点离地面的距离，从几何图形中提取出基本结构（如下图），由相似三角形得到△C'EG∽△C'BC,所以得到结论镜子最低点离地面的距离为眼睛到足底的一半，即EG=BC.学生2：借助黄金分割，优化镜子设计.活动5：如果要为全组、全班、全校设计一面经济实用的全身镜，需要搜集哪些信息？该如何计算呢？请总结出全身镜制作的秘籍形成设计全身镜的一般方法和规律.活动分析：研究全身镜的镜长最终是为了服务班级和学校，通过实践后的追问，引导学生进行更深层次的头脑风暴，探究出全身镜制作的秘籍，总结出设计全身镜的一般方法和规律，发展学生的创新意识。3．成果展示，迁移应用学生要在解决的过程中创造同伴可共享，公开获得的有形学习成果．小组展示：请小组进行创意分享，展示各组设计的镜子、设计方案和依据。小组1：为了使画面更美观，1组学生将黄金分割的相关内容融入到镜子的设计中。首先会想到将人放置在镜子的黄金点（如下图1），将镜子长度抽象成一条线段，身高已知时根据比例中项科研求出线段BC的长度。此时学生会发现仍然不够协调，将改变长度后的镜子上下移动使得人身高的黄金点与镜子的黄金点重合（如下图2），头顶是D点，足底是E点，点A为人的黄金点，线段BC和线段DE长度已知，可以求解出线段AE和线段AB的长度，从而求解得到BE的长度，即镜子需要下移的距离。

图1

图2小组2:该组成员从镜中的像出发，要使得看到的像协调美观，找到像的黄金点，使得≈0.618,小组某成员的身高是180cm,求出线段EP=111.24cm,由△BDO∽△BEP得到OG=EP=55.62cm,因此可以使得这段镜子的长度位于镜子总长的黄金点，即≈0.618,则GH=90cm,因此改变镜子的张贴高度即可使画面更协调。小组3：在最短镜长确定、张贴高度适宜的情况下，3组学生发现通过改变人的站立点位来使视觉上看到的像变“小”，让画面更协调，比如站在离镜子1.88米的距离时照出来的画面就比较美观协调。小组4：为使画面更协调，改变镜子的长和宽，使得镜子的长和宽成黄金比。规律总结：要为全班、全校设计一面经济实用的全身镜，全身镜的摆放的最高点按全班(全校)身高最高的人确定，全身镜的最低点按全班(全校)身高最矮的人确定，如下图.班级全身镜展示：4．项目评价，内化经验课堂上要关注学习目标，对学生提出具有科学标准的要求，并进行评估.项目量身定制的全身镜评价一级指标二级指标自己评小组评老师评我会参与★★★积极举手发言，积极参与讨论与交流★★能举手发言，会参与讨论与交流★少有发言，较少参与讨论与交流☆☆☆☆☆☆☆☆☆我会合作★★★在团队与成员良好合作，在小组内起到领导作用，能给出建议，并且对小组贡献大★★帮助协作，推动小组工作，对最终成果有一定贡做★有参与讨论、协作，但是参与度不高☆☆☆☆☆☆☆☆☆我会探究★★★有强烈的求知欲，不断提出与项目有关的问题，并努力寻找答案★★能提出与主题有关的问题，希望找到答案，能在遇到困难时与同伴讨论寻求解决方案★能提出问题，有时问题偏离主题，对问题不做进一步思考☆☆☆☆☆☆☆☆☆我会创新★★★全身镜的设计有亮点，且观点有一定的合理性，能不断优化设计★★学习中有一定的创新意识，能解决相关问题★学习中能开始培养创新意识☆☆☆☆☆☆☆☆☆拓展在全身镜大小确定的情况下，探究改变全身镜放置的角度，让老师和同学照镜子时更美，并确定一个最佳站立点位，使美观程度达到最佳(黄金角度)。迁移所学内容，思考为什么红绿灯要设置在一个适当高度？三、项目开发与实践的基本路径通过以上课例，我们发现项目学习是一种有指导的探究性学习，学生参与了与科学、美学和工程学相关的较为开放的探索活动，教师适当指导(项目支架)，产生可迁移的学习效果．在开展“图形与几何”主题中的项目学习时，可以通过“提出问题，任务驱动”“探究实践，优化设计”“成果展示，迁移应用”“项目评价，内化经验”四个方面对项目进行实施，可选择以下方式切入：1．提出问题，任务驱动——“化散为聚”.新课标指出项目的选取应尽可能贴近学生的现实，以利于学生经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程，并结合多学科知识解决问题。“发散”体现着多学科的知识广度，连结真实生活与问题，将其聚焦到学科价值，才能开发出灵动、吸人眼球、乐于探索的项目。对于贴近生活的情景，可以发现在道德与法治、科学、艺术、语文等学科中，有很多与数学相似度与重合度较高的主题，可以利用其特点化散为聚，以问题导入，激发兴趣，引导学生明确项目任务。例如本项目以生活中全身镜的问题作为切入点，融合了数学、科学、美学和工程等学科知识，将多学科内容交互一体，从理解光学中的平面镜成像原理开始，从实际生活中抽象出数学问题，引导学生感受现实意义，通过将分散的多学科知识整合，聚焦核心知识与关键能力，培养学生解决生活问题的创造力。2．探究实践，优化设计——“化零为整”.项目设计需要将分散的学科知识，按照知识的内在逻辑和大框架进行有序的排列重组、合理串联，将零散的知识点通过一条线串联成整体。本项目以师生互动为保障，通过创设问题和追问引导学生明确项目流程，寻找学科间的关联性。从生活实际出发，将全身镜作为串联数学、科学和美学的工具，全身镜的尺寸是数学问题，但全身镜的设计本身又涉及到科学和美学，从而将生活问题转化为合理的数学问题，利用光学中平面镜成像的原理，结合数学中图形的轴对称知识探究影响全身镜长度的因素，并从中抽象出数学几何图形，发现图形基本结构，让学生经历分析全身镜的最短镜长与身高的关系，通过几何证明得到最短镜长与身高存在函数关系，结合证明得到的结论建立简单的函数模型，最终引导学生解释数学结论的现实意义，利用两者的关系对全身镜进行剪裁设计，并结合多学科核心知识对设计进行不断优化，让学生感受结论的合理性，从而解决问题(如图1)。3．成果展示，迁移应用——“化无为有”.跨学科项目化以解决问题或制造“产品”为驱动性任务，最终可以通过所学知识与经验迁移应用，服务生活。本项目以生生合作为精髓，引导学生在具有知识储备的基础上小组合作，展示成果，形成经验。学生在经历了本项目实施的全过程后，掌握了如何从实际问题中抽象出数学问题，熟知有关图形与几何视角下项目化学习的基本步骤，借助实践探究内化经验，形成方法，解决更多的生活问题。比如服装店的秘密、红绿灯的高度设计、身份证拍摄位置等问题都能够通过化归、抽象和创新得以解决。4．项目评价，内化经验——“化一为多”.本项目以多元评价和总结经验为升华，通过项目学习，学生初步体验利用几何证明建立简单函数模型解决问题的过程，会“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”。有意识地用图形与几何、函数、美学、科学和工程学等知识解决实际问题，发展几何直观、数学抽象、推理能力、创新意识和应用意识的核心素养，从而获得项目的成效．同时，在关注学生知识技能掌握的同时，更要关注核心素养的相关表现，关注学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，对学生学习活动中操作、思考、交流、创新、作品设计优化等进行多元的评价，坚持以评促学，将单一的评价转向多元，将探究的过程内化为丰富的经验。

“图形与几何”视角下项目化开发与实践的基本路径除了以上四个主要环节外，还要关注以下内容：明确可视且可行的教学目标，设计适切的教学活动，注重学生自主探索、合作和探究的学习方式，将课堂真正地交给学生。四、项目实施的启示通过以上课例的实践，我们发现数学图形与几何视角下的项目学习设计流程(图1)在研究生活实际中的问题(跨学科)时是有效的，它是有效实施“综合与实践”课程的载体，学生通过运用多门学科的知识解决生活中的问题，促进了知识的深度融合，提升了学生的综合素养．在项目实施的过程中，我们也存在疑惑和思考．1．搭建学习脚手架，帮助学生解决问题初中阶段课标并没有明确给出图形与几何领域数学抽象与证明、建模的基本步骤，只是在活动中让学生体会数学抽象思想．项目研究的问题取材于实际，从实际问题中抽象出数学问题并通过证明应用于设计，解决生活问题，这对九年级的学生来说存在困难．因此，在项目设计时要充分考虑学生可能遇到的问题，通过适当的引导(知识联系、信息技术手段)给学生搭建脚手架，帮助学生更好的抽象数学问题后结合多学科知识得到结论和规律，也为后续开展其他有关图形与几何的