不等式性质及解法

,.知识梳理1．两个实数比较大小的方法abba2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c≥b＋d；感谢阅读(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；感谢阅读(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；感谢阅读(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．3．三个“二次”间的关系判别式＞0＝0＜0＝b2－4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集

有两相异实根x1，x2(x1＜x2){x|x＞x2或x＜x1}{x|x1＜x＜x2}

,.有两相等实根b 没有实数根x1＝x2＝－2abRx|x≠－2a∅ ∅考点一 条件判断不等式是否成立1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．谢谢阅读2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负．精品文档放心下载3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情精品文档放心下载况转化为a＞0时的情形．1 1 1 1【例1】若a＜b＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＋b＞0；③a－精品文档放心下载1 1a＞b－b；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是( )感谢阅读A．①④ B．②③ C．①③ D．②④解析 法一 特例法，特例原则，符合条件，尽量简单，一次不够再来一次谢谢阅读,.1 1因为a＜b＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误．精品文档放心下载综上所述，可排除A，B，D.1 1 1法二 由a＜b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以a＋b＜感谢阅读1 1 10，ab＞0.故有a＋b＜ab，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错精品文档放心下载误；1 1 1 1 1 1③中，因为b＜a＜0，又a＜b＜0，则－a＞－b＞0，所以a－a＞b－b，故谢谢阅读③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，谢谢阅读而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误．由谢谢阅读以上分析，知①③正确．答案 C【训练1】(1)(2014·三明模拟)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是( )精品文档放心下载1 1A.a－b＞b B．a2＜ab|b| |b|＋1C.|a|＜|a|＋1 D．an＞bn解析 (1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正感谢阅读,.|b| |b|＋1确；C项，|a|＜|a|＋1⇔|b|(|a|＋1)＜|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b|＜|a||b|＋|a|⇔|b|＜|a|，精品文档放心下载∵a＜b＜0，∴|b|＜|a|成立，故选C.考点二 一元二次不等式、函数、方程关系不等式解集的端点是方程的根（求方程根、分段、验证）【例2-1】解不等式x2＋x－12≥0解：由x2＋x－12≥0

得(x－3)(x＋4)≥0，∴x≤－4或x≥3.答案 (－∞，－4]∪[3

，＋∞)训练2-1-1】．“|x|＜2”是“x2－x－6＜0”的精品文档放心下载( )A．充分而不必要条件C．充要条件

B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析 不等式|x|＜2的解集是(－2，2)，而不等式x2－x－6＜0的解集是(－2，谢谢阅读3)，于是当x∈(－2，2)时，可得x∈(－2，3)，反之则不成立，故选A.谢谢阅读答案 A含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论（是二次吗？有根吗？根的大小确定吗？）感谢阅读例2-2】解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．精品文档放心下载,.解 ①当k＝0时，不等式的解为x＞0.1－ 1－k2②当k＞0时，若＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为精品文档放心下载k1＋1－k2＜x＜k；若≤0，即k≥1时，不等式无解．③当k＜0时，若＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，x＜1＋1－k21－1－k2k或x＞k；若＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；若＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1.感谢阅读综上所述，k≥1时，不等式的解集为 ；0＜k＜1时，不等式的解集为1－1－k21＋1－k2＜x＜x|kk；k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；当－1＜k＜0时，不等式的解集为1＋1－k21－1－k2，或x＞x|x＜kk；k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；k＜－1时，不等式的解集为R.规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对感谢阅读参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数谢谢阅读进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数感谢阅读,.为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，精品文档放心下载以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写精品文档放心下载出解集．训练2-2-1】解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．精品文档放心下载解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.谢谢阅读 2②当a＞0时，原不等式化为x－a(x＋1)≥0，谢谢阅读 2解得x≥a或x≤－1.2xa22当a＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤a；2当a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；谢谢阅读2 2当a＜－1，即－2＜a＜0时，解得a≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；谢谢阅读2当a＞0时，不等式的解集为x|x≥，或x≤－1；a2；当－2＜a＜0时，不等式的解集为x|≤x≤－1a当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；2.当a＜－2时，不等式的解集为x|－1≤x≤a,.根据解集得方程根—再解相关问题【例2-3】(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且精品文档放心下载x2－x1＝15，则a＝()571515A.2B.2C.4D.2解析法一由条件知，x1和x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2＝精品文档放心下载5152.又a＞0，所以a＝2，故选A.法二 由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因为a＞0，所以不等式感谢阅读的解集为(－2a，4a)．又不等式的解集为(x1，x2)，所以x1＝－2a，x2＝4a.从而x2－x1＝6a＝15，5解得a＝2.答案 A11x2训练2-3-1】若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为x|－＜x＜，则不等式223＋bx＋a＜0的解集是________．1 1解析 由题意，知－2和3是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a＜0，谢谢阅读,.11 b－＋＝－所以23 a.112－2×3＝aa＝－12，解得b＝－2.则不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2－2x－12＜0，其解集为{x|－2＜x＜3}．谢谢阅读答案 {x|－2＜x＜3}考点三 不等式恒成立问题动区间、定区间3-1】．(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋精品文档放心下载1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．谢谢阅读解析 二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，精品文档放心下载f（m）＝m2＋m2－1＜0，则f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1＜0，感谢阅读2解得－2＜m＜0.2答案－2，0（全体实数二次图像结合判别式，区间（含其他型）分参最值或单调性最值）感谢阅读规律方法 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当精品文档放心下载a＞0，a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是＜0.精品文档放心下载a＜0，全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，谢谢阅读 ＜0.,.【例3-2-1】设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，感谢阅读求m的取值范围；(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0；精品文档放心下载m≠0，m＜0，则＝m2＋4m＜0－4＜m＜0.所以－4＜m≤0.3训练3-2-1-1】若一元二次不等式2kx2＋kx－8＜0对一切实数x都成立，则k精品文档放心下载的取值范围为 ( )A．(－3，0] B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0)谢谢阅读k＜0，解析由题意可得3＝k2－8k×－＜0，8解得－3＜k＜0，故选D.答案 D例题3-2-2】设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒精品文档放心下载成立，求m的取值范围．含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．复杂不等式先考虑能否利用不等式性质转化简单些谢谢阅读,.解：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，感谢阅读123x＋4m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．即m－2有以下两种方法：123法一x＋4＞0，因为x2－x＋1＝－26又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜x2－x＋1.感谢阅读666因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜x2－x＋11237＋4x－267即可．6.所以，m的取值范围是m|m＜7123x＋4m－6，x∈[1，3]．法二令g(x)＝m－2当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6＜0，6 6所以m＜7，则0＜m＜7；当m＝0时，－6＜0恒成立；当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.,.6综上所述，m的取值范围是{m|m＜7}．【训练3-2-2-1】已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．因为x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x＋a解x＞0恒成立，即x2＋2x＋a＞0恒成立．即当x≥1时，a＞－(x2＋2x)恒成立．设g(x)＝－(x2＋2x)，而g(x)＝谢谢阅读－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，感谢阅读所以g(x)max＝g(1)＝－3，故a＞－3.感谢阅读所以，实数a的取值范围是{a|a＞－3}．－x2＋x，x≤1，训练3-2-2-2】已知函数f(x)＝ 1 若对任意的x∈R，不等式f(x)谢谢阅读 33≤m2－4m恒成立，则实数m的取值范围为________．精品文档放心下载121解析x＋(x≤1)，f(x)＝－x2＋x＝－－11故当x＝2时，f(x)在(－∞，1)上的最大值为4；精品文档放心下载1函数f(x)＝log3x，x∈(1，＋∞)为单调递减函数，谢谢阅读1 3故x∈(1，＋∞)时，f(x)＜f(1)＝0，综上，f(x)在R上的最大值为4.由m2－4精品文档放心下载1 1m≥4解得m≤－4或m≥1.,.1答案－∪[14变量参数是相对的-------把知区间的作为变量，要求的量作为参数谢谢阅读训练3-2-2-2】．(2015·淄博模拟)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0，精品文档放心下载2]恒成立，则a的取值范围是()