数学模型在日常生活中的应用

数学模型在日常生活中的应用李青芳咸阳师范学院数学与信息科学学院信息与计算科学专业）摘要：21实际是知识经济和信息时代，也是人才和科学技术激烈竞争的时代。为使人才和科学技术在激烈的竞争中立于不败之地，随着科学技术的发展和社会的不断进步，数学这一重要的基础科学迅速地向自然科学和社会科学的各个领域渗透，并在工程技术、经济建设及金融管理、生物医学等方面发挥出愈来愈明显的作用。特别是数学与计算机技术相结合，已经形成一种重要的、可以实现的技术。要充分发挥数学的作用，首先要将所考查的现实世界中的现实问题归结为一个相应的数学模型，即建立该问题的数学模型。数学模型一种培养综合素质的有效手段，在实践中树立建模的思想对综合素质发展有很大的帮助，通过对数学模型过程进行分析，应用数学求解实际问题。数学模型在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，本文举例说明了利用数学模型可以解决现实生活中许多问题，有利于提高生活质量。关键词：数学模型；数学建模；应用21实际是知识经济和信息时代，也是人才和科学技术激烈竞争的时代。为使人才和科学技术在激烈的竞争中立于不败之地，随着科学技术的发展和社会的不断进步，数学这一重要的基础科学迅速地向自然科学和社会科学的各个领域渗透,并在工程技术、经济建设及金融管理、生物医学等方面发挥出愈来愈明显的作用。特别是数学与计算机技术相结合，一经形成一种重要的、可以实现的技术。要充分发挥数学的作用，首先要将所考查的现实世界中的现实问题归结为一个相应的数学模型，即建立该问题的数学模型。1从生活到数学模型随着科学技术的迅速发展，数学模型在现代人的生产、工作和社会活动中发挥着重要的作用。插图P4现实对象与数学模型的关系数学模型的概念数学模型即就是将某一领域或部门的某个实际问题，经过抽象、简化、明确变量和参量，并依据某种“规律”建立变量和参量间的明确关系（数学模型），然后求解该问题，并对结果进行解释和验证，如果正确则可以投入使用，否则将重新对问题的假设进行改进，多次循环，直到正确。完成“实践—理论—实践”这一循环。数学模型的一般步骤这里所说的数学建模步骤只是大体上的规范，实际操作中应针对问题具体分析，灵活运用。建立数学模型的一半步骤如下：（1） 模型准备：对问题（事件或系统）进行观察.想象其运动变化情况.掌握研究对象的各种信息（如数据、资料等）.用非形式语言（自然语言）进行描述。（2） 模型假设：分析处理数据、资料.确定现实原型的主要因素.抛弃次要的因素.对问题进行必要的简化.用精确的语言找出必要的假设.这是非常关键的一步。（3） 模型建立：根据主要因素及所作假设.利用适当的数学工具描述有关变量和元素的关系.并建立相应的数学模型（如方程、不等式、表格、图形、函数、逻辑运算式、数值计算式等）。在建模时，数学工具的采用要根据实际问题的特征、建模的目的和要求以及建模者的数学特长而定。因此，采用的数学方法不同，建立的模型也可能不同，但应遵循一条原则，及尽量采用简单的数学工具，以使模型得到更广泛的应用。（4） 模型求解使用已知数据，观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。利用数学工具，对模型进行求解，包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、性质讨论等，以找出数学上的结果。要求建模者掌握相关技巧和计算技术。（5） 模型分析：对模型求解的结果进行数学上的分析，有时需要根据问题的性质分析各变量之间的依赖关系或性态，有时需要根据所得结果给出数学式的预测和最优决策、控制等。（6） 模型检验：把模型分析的结果返回到实际应用中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和实用性，即验证模型的正确性。通常，一个成功的模型不仅能够解释已知现象，而且还能预言一些未知现象。（7） 模型应用：如果检验结果与实际不符或与部分不符，而且求解过程没有错误，那么问题一般出在模型假设上，此时应该修改或是补充假设。如果检验结果与实际相符，并满足问题所需要的精度，则认为模型可用，便可进行模型应用。4数学模型介绍：4.1最优化介绍线性模型例1（汽车租价问题）一个汽车租赁公司有150辆小汽车，每辆小汽车租价相等，最高租价为198元，最低租价为88元。经过一段时间的经营实践，店长得到了一些数据：每辆小汽车租价为198元时，租车率为55%；每辆小汽车租价为168元时，租车率为65%；每辆小汽车租价为138元时，租车率为75%；每辆小汽车租价为108元时，租车率为85%.预使汽车租赁公司每天收入最高，每辆小汽车应如何定价？分析与思考：据店长提供的数据，小汽车租价每下降30元，租车率即提高10个百分点。相当于平均每下降1元，租车率提高1个百分点。因此，可假设随着租车价格的下降，租车率呈线性增长。这样，我们可通过建立函数模型来求解本题。设y表示汽车租赁公司一天的总收入，X表示与最高价198元相比每辆小汽车降低的租价可建立数学模型：Y=150x(198-x)X(0.55+丄x)300解得，当x=16.5时，y取最大值16471.125元，即最大收入对应的租车价格为181.5元。如果为了方便管理，租价为180元/(辆.天)月也是可以的，因为总收入y=16470元，与理论上的最高收入只差仅为1.125元。本题建模的关键在于：根据小汽车租费的降幅与租车率的升幅关系，假设两者存在着线性关系。/4.2建立方程(方程组)模型例2(航行问题)甲乙两地相距120km,船从甲到乙顺水航行需4h，从乙到甲逆水航行需6h,问船速、水速各为多少？解：设x，y分别代表船速和水速，可以列方程{4(x+y)=120 解得{x=256(x+y)=120 y=5列出方程，原问题已经转化成纯粹的数学问题。不等式模型例3(住房问题)一个星级旅馆有30间客房，其中豪华房20间，标准房10间。现将这30间房间分给A、B两地的游客，其中20间分给A地的游客，10间分给B地的游客，两地游客与旅馆经理商定每天价格如表1：表1每间豪华间价格每间标准间价格A地1000元/天800元/天B地900元/天600元/天设分给A地的标准间x间，旅馆这30间房间共获得y(元)，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；2)若要使旅馆这30间房间一天所获得的总金额不低于26800元，请说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来。解:(1)y=1000(20-x)+900x+800x+600(10-x)=26000+100x(0<x<10)由题意得：26000+100x^26800，又因为0<x<10，且x是整数，所以x取8,，9，10，故方案有3种：方案1：A地派甲型车12辆，乙型车8辆；B地派甲型车8辆，乙型车2辆；方案2:A地派甲型车11辆，乙型车9辆；B地派甲型车9辆，乙型车1辆；方案3:A地派甲型车10辆，乙型车10辆；B地派甲型车10辆。例4学校食堂定期从粮食店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费100元，食堂每天需用大米1吨，储存大米的费用为每吨每天2元，假设食堂每天将在用完大米的当天购买。（1） 该食堂每多少天购买一次大米可使平均每天支出的费用最少？（2） 粮食提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？说明理由。解：（1）设每n天购进一次大米，则购米量为n吨，那么库存费用为：2[n+（n-1）+ +2+1]=n（n+1），记平均每天总费用为，则『广丄二山（n+1）+100]+1500=门凹+巧。^15211 1n n当且仅当n=^，即n=10时，等号成立，故应每10天购买一次大米，可使平n均每天支出的费用最少。（3）显然，若接受优惠条件，则至少每20天订购一次，即每m天购一次时,有m>20，记此时每天总费用为y2，那么y2_[m（m+1）+100]+1500X0.95=m+100+1426（m>20）2— m因为y2_1-型，当m>20,时，有y2>0，2 m2 2所以函数是增函数，故当m=20时，y2最小值1451,因为1451<1521，所以接受优惠价格条件。揭示：函数与不等式往往是形影相随的伙伴，有时巧用不等式性质去解决问题能起到事半功倍的作用，帮助我们速达目的。4.2金融与经济现在经济生活中，人与金融的关系日益密切。金融的题目注重了针对性，典型性，新颖性，生活性和全面性，因而对数学能力和数学素质的要求也在力求。涉及金融与经济的建模题常见的有投资问题，证券问题，住房问题，分期付款问题等。一般就是通过数学建模把现实问题转换成初等数学中的常见只是来解决，如数列问题，幂函数问题，不等式问题等。例1（购房问题，小张年初向某银行贷款20万元用来购房，已知贷款年利率优惠10%，按复利计算。若这笔贷款要求分10次等额归还，每年一次，并从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元（精确1元，？分析与思考：已知贷款数额、贷款利率、归还年限，要求出每年的归还额。本题即可化为求每年的归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限的关系。不妨先把这个问题作一般化处理。设某人向银行贷款元M0,年利率为a,按复利计算(即本年的利息记入次年的本金生息)，并从借款后次年年初开始每次k元等额归还，第n次全部还清。那么，一年后欠款数M1=(1+a)M°-k两年后欠款数M2=(1+a)M1-k=(1+a)2M0-k[(1+a)+1n年后欠款数Mn=(1+a)Mn-1-k=(1+a)M0一K[(1+a)2-1]由M=0可得k=a(1+a)_+M0n (1+a)n-1这就是每年归还额与贷款数额、贷款利率