学生数学思考的激发

利用数字资源提高教与学的实效性一、走进数学思维二、资源项目的价值三、如何利用好资源

五、对培训者的建议四、观课互动1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。

课程目标——总目标《标准（修订稿）》的重大进展1：基础知识基本技能“双基”基础知识基本技能基本思想基本活动经验“四基”四基体现了“全面知识观”“显性”基础知识基本技能基本思想基本活动经验“四基”“隐性”分析问题能力解决问题能力“两能”发现问题能力提出问题能力分析问题能力解决问题能力“四能”《标准（修订稿）》的重大进展2：数学思维：一个持续的热点现实中的思想障碍与问题： 第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维； 第二，在现实中我们并可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。当务之急如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作，特别是: 第一，清楚的界定； 第二，很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。一、从数学抽象谈起父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从而不用橘子。（《译林•文摘版》）

数学最基本的特性：抽象性

“甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征：第一是它的抽象性，……。抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。”（亚历山大洛夫）数学与现实第一，数学抽象源于现实生活，包括具体的事物与现象，以及人们的运作；第二，数学抽象又高于现实，并是一种建构的活动，即是包含了与现实世界在一定程度上的分离。分析与思考数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种“解读”。对照：学习主要是一个“顺应”的过程，即是如何对主体已有的认知框架作出必要的调整或重建。[例一]这个学生缺的究竟是什么？

任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？”一位学生是这样解题的：52×150×12=……接下来的对话“告诉我，你为什么这么列式？”“老师，我错了。”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的。”“为什么是除呢？”“老师，我又错了。”“你说，对的该是怎样呢？”“应该把它们加起来。”启而不发？“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？”“老师，我早上不吃大饼的。”“那你吃什么？”“我经常吃粽子。”“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”“老师，我一天根本吃不了两个粽子。”“那你能吃几个粽子？”“吃半个就可以了。”“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？”“两个半。”“怎么算出来的？”“两天一个，5天两个半。”……结论之一学会数学思维的首要涵义：学会数学抽象（模式化）。数学：模式的科学。这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。[例二]这能否算一堂真正的数学课？这是关于“问题解决”的一个教学实例，教师要求一群三年级的学生求解以下的问题：

“某女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和三条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？”教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题：学生拿出了笔和纸，开始在纸上实际地画出各种可能的搭配……结果表明，在大多数情况下学生都可凭借自身的努力（单独地或合作地）得出正确的解答。事后的思考学生通过这一教学活动究竟学到了什么，特别是，这些学生能否被认为已经掌握了相应的数学知识？更多的问题某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种不同的搭配方法？有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？有三个军官和四个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？结论之二帮助学生学会数学抽象的关键：应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。（“去情境化”）相关的论述：数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。[例三]“找规律”

（黄爱华、胡爱民）“师：在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里，我们把第一个音唱做‘咚’，第二个音唱做‘哒’，第三个音唱做‘啦’，所以这个乐句就变成│咚哒啦│咚哒啦│咚哒啦│……“请想一想：第16个音符是什么？为了能让别人看得一清二白，请你在草稿本上用一种合适的方式表示出来，可以写一写、画一画、算一算。”方法一：用音乐简谱符号表示XXX，XXX，XXX，XXX，XXX，123456789101112131415X。16方法二：用图形表示│□○△│□○△│□○△│□○△││□○△│□方法三：用数字表示│123│123│123│123│123│1结论之三模式化的一个重要手段：引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。

特别指出的是要尊重孩子的“示意图”，对于学生的创造积极性要予以保护。理论指导下的自觉实践：变式理论关键：对照与变化（1）“标准变式”与“非标准变式”：变化中的不变因素。 特别是，我们在教学中不应唯一地局限于平时所经常用到的一些实例（“标准变式”），也应有意识地引入一些“非标准变式”，从而就可帮助学生切实地掌握相关概念的本质属性。（2）“概念变式”与“非概念变式” 就概念的理解而言，“非概念变式”事实上起到了“反例”的作用，这样，通过与“正例”（“概念变式”）的对照，也就可以帮助学生更好地去掌握概念的本质。二、数学中的分类数学课应当很好体现数学课所应当具有的“数学味”。相应的思考：究竟什么是所说的“数学味”？

[例四]几何模块的分类

常见的组织方式。问题：我们是否应当同样地去肯定学生所提出的各种分类方法，包括按形状、颜色和材料等进行分类？什么是数学中的分类？分析与思考有益的对照：自然数的认识。

进一步的思考：数学中又为什么要进行分类？[例四]“100以内加减法练习”“师：刚才全体小朋友认认真真地做好了六道100以内的加减计算题，并且做得很对。现在我们再来仔细观察这六道题，如果我们把它们分成两类，你有什么好办法？为什么可以这样分？34+42=7637+17=5469-15=5459+17=76

91-15=7683–29=54方法一：按照得数相同来分；方法二：按加法和减法来分；方法三：按不进位加法和不退位减法、以及进位加法和退位减法来分；方法四：把37+17、59+17分成一组，把34+42、69-15、91-15、83-29分成一组。方法五：把34+42=76分成一组，剩下的为一组。……

教师的总结“教学中教师有意识地引导学生从不同的角度来分析问题——进行合理的分类，让学生通过相互的交流，从中感受到分类结果在不同标准下的多样性，感受到不同标准的分类有着不同的意义和作用，就能使学生的思维得到发散，使学生的不同思想方法得到充分有效的交流。”但是，我们究竟为什么要进行分类？结论之四分类应当具有明确的目的性。 第一，归类：数学抽象的直接基础； 第二，不同类别的区分：由简到繁、由特殊到一般地去开展研究。分类问题也需要优化。（用数学家的眼光去看待世界、分析问题、解决问题。）

[例五]“三角形的分类”究竟什么应是这一堂课的教学重点：

是角的度量？

还是分类的必要性与合理性？结论之五学会数学思维的又一重要内涵：思维的必要优化。三、数学中的特殊化与一般化什么是数学中的“特殊化”？

“是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小子集，或仅仅一个对象。”（波利亚）什么是数学中的“一般化”？

“是从考虑一个对象过渡到包含该对象的一个集合，或者从考虑一个该小的集合过渡到包含该较小集合的更大集合。”（波利亚）小学数学中的特殊化与一般化问题：小学数学中是否也有特殊化与一般化？[例六]

“小数乘整数”与找规律

“师：有些小数和整数相乘很简单，同学们口算就可以解决了，请看——

0.1×4=0.4；（师：“这样的8份呢？”）

0.01×4=0.04；（师：“这样的23份呢？”）

0.001×9=0.009。（“师：这样的129个呢？）“师：刚才口算的这些乘法，都是哪些小数与整数相乘？

“生：都是0.1，0.01，0.001与整数相乘。

“师：当0.1，0.01，0.001与一个整数相乘时，你们为什么这么快就得出了结果？有什么规律吗？“生1：乘得的结果越来越小。

“生2：都和几个零点几有关系。

“生3：乘得的结果都是小数。

“师：同学们观察得很仔细，当0.1，0.01，0.001乘一个整数时，它们的计算结果是几位小数和谁有关系呢？……

“师：也就是说，因数中有几位小数，积——“生：就有几位小数。”

然后，教师又将学生他们的注意力引向了“更为一般的小数与整数相乘”的情况。“师：谁知道0.8×3的积是多少？

“生：0.8×3=2.4。

“师：你是怎么想的？

“生：我先不看小数点前面的0，用8乘3等于24，再等于2.4。“师：先不看0.8前面的0，这里的8就表示——

“生：8个0.1。

“师：8个0.1怎样列式？

“生：8×0.1。

“师：再乘3呢？

“生：8×0.1×3。

“师：在这道算式里，可以先算8×3，对吗？

“生：对。”板书：8×3×0.1=24×0.1=2.4。（下略）问题数学中的特殊化与一般化究竟有什么用？数学中的特殊化与一般化之间又有什么样的关系？[例7]一般化的实例在掌握了“三角形的内角和为180°”以后，我们显然就应进一步去思考如何才能求得四边形、五边形、乃至n边形后者的内角和？在解决了“如何由长方形的长和宽去求取它的对角线”以后，我们就可进而去考虑“如何由长方体的长、宽、高去求取它的对角线”；乃至……[例8]“除非它们都能站起来！”这是发生在20世纪60年代的一个真实故事：当时“新数运动”作为风靡全球的改革运动正处于高潮之中，其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造，由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置，因此，下述情况的出现就无足为奇了。在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲：“我们今天学了‘集合’！”父亲：“老师是怎么教的？”女儿：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，……最后，教师问全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答复。”父：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？” 迟疑了一会，女儿最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！”

分析与思考有益的启示：应当针对小学数学的实际更为深入地开展研究，切实防止简单的移植（集合与分类；函数与变化；极限与无限等等。）又一关键性的问题：应当如何去进行数学思维的教学？问题的深化：如何进行渗透、如何用思维方法的分析带动、促进具体知识内容的教学？结论之六用思维分析带动具体知识内容的教学的关键：方法论的重建，从而实现化神奇为平凡、化难为易。意义之一：使数学教学真正讲活、讲懂、讲深；意义之二：使数学思维真正成为可以理解的、可以学到手的、和可以加以推广应用的。“讲活”：教师应当通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；“讲懂”：教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”：教师不仅应帮助学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法。一个建议：努力加强数学思维（数学方法论）的学习。关键：不要求全，而要求用，也即应当密切联系自己的教学实践去进行学习，学以致用。长期的努力方向：理论指导指导下的自觉实践。二、资源项目的价值以开足、开好国家规定课程为目标，提高教育质量，促进义务教育均衡发展，更好服务农村边远地区适龄儿童就近接受良好教育的需要。

资源内容以中等难度为基准，兼顾基础和发展，即使所有学生都能借助这些资源，掌握基本的知识与技能，并在各自的基础上都能有进一步的发展。农村学校对数字化课程资源的需求表现在：（1）在总体原则上要能体现新课程标准的要求，特别是在“教学内容的呈现方式、学生的学习方式、教师的教学方式和师生互动方式的变革”等方面给农村教师切实可行的思路、方法与工具，最终利于农村学生的现阶段学习和终身学习。在资源分布上则有一定的覆盖面和系统性。

基础性——小学数学教学资源的开发应立足于落实小学数学课程的基本目标，突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识和推理能力，为教师提供与教材内容同步的各类基本教学素材。（2）在资源的内容上具备以下四个特点：

趣味性——整个教学资源的开发都尽可能使资源的表现形式与该年龄段儿童的心理特征相符合，设计小学生喜闻乐见的卡通形象，配合生动活泼的视音频素材，多运用激励、鼓舞性的评价方式，激发学生的学习兴趣，培养探究性的学习方式。（2）在资源的内容上具备以下四个特点：

实践性——教学素材的设计应尽可能采用学生生活实践中的现实内容，有助于教师运用教学素材，激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。（2）在资源的内容上具备以下四个特点：

开放性——小学数学学科在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力上有着独特的作用，数学教学资源的设计应利用现代信息技术，大力开发丰富的、开放的学习资源，使其有利于学生主动进行观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学学习活动，在开放的环境下，关注学生的学习结果，更关注其学习过程，养成积极、主动的探究学习方式，提高数学思维能力和应用数学知识提出问题和解决问题的能力。（2）在资源的内容上具备以下四个特点：（3）在媒体表现形式上，主要有文本、动画、音视频、图片、课件等。（4）在技术上，则要关注在“农远工程”设计的三种模式环境下应用的可能性与现实性。（5）在资源关系上，则强调资源间的相关性，如教学设计方案与提供的教学课件、重难点辅导实录在内容和方法策略上应有一致性，并与必要的多媒体素材资源具有链接关系。三、如何利用好资源

四、观课互动

看了杨乐老师执教的《1000以内数的认识》视频，你们的整体评价怎样？

你们最喜欢该作品中哪个教学活动，为什么？

你们认为该作品中哪个教学活动需要改进，如何改进？富有儿童情趣的情景，积极的参与到数学活动中去，让儿童乐于学习。用好玩有趣的游戏让学生“玩”起来；用丰富多彩的活动让学生“动”起来；用小悬念把学生的好奇心“提”起来；用多彩的画面让学生眼睛“亮”起来；用简单易行的比赛让学生“比”起来让数学课堂散发着浓郁的生活味

在生活中运用数学，变“演练”为“探究”。＊改变作业形式：避免从概念到概念、从书本到书本的机械演练。＊引导学生用数学的眼光去观察、分析、解决生活中的问题。将课本中静态的、平面的、抽象的、死板的数学学科世界，变成生动的、立体的、直观的、活泼的学生生活世界。五、对培训者的建议（一）课标解疑在对课标进行解读时，我们尽可能地从老师们的实际出发，根据他们对课标存在的疑难问题，来对课标进行解读。我们之间的解读可能还比较好沟通，但是我们面对教学点的老师就更需要用到案例的方法，课标解读是根据老师当中的问题，这几个问题分散看一下是不是能涵盖课程标准的这几大板块，用解疑的方法解读课程标准可能就会更有重点，也让我们听者更容易接受。（二）本土资源教学点的老师要尽可能地