第9章-线性系统的状态空间分析与综合课件

第九章状态空间分析方法1第九章状态空间分析方法1第9章状态空间分析方法9-1状态空间方法基础9-2线性系统的可控性和可观性9-3线性系统的线性变换9-4线性定常系统地反馈结构及观测器9-5李雅普诺夫第二方法2第9章状态空间分析方法9-1状态空间方法基础9-2经典控制理论、现代控制理论比较经典控制理论(50年代前)现代控制理论(50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统可以比较复杂数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多,经验起很大作用。主要在复数域进行。设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。3经典控制理论、现代控制理论比较经典控制理论现代控制理论研究对基本要求

掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。正确理解线性变换,熟练掌握线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。

4基本要求掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态结构图、能将可控系统化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统,可进行闭环极点配置和观测器极点配置。正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法,能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。基本要求

5能将可控系统化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。状态空间方法基础在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。6状态空间方法基础在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基本概念已知时状态，时的输入，可确定时任一变量的运动状况。状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变量。7状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基状态空间：由张成的n维向量空间。状态向量：如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状态变量，那么状态向量定义为X(t)对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。8状态空间：由张成的n维向量空间。状态向量：如果完全描99例设一RLC网络如图所示。回路方程为选择状态变量10例设一RLC网络如图所示。选择状态变量10则有写成输出11则有写成输出11写成若选另一组状态变量则有12写成若选另一组状态变量则有12

若给出(t=0)时的初值、、…、和时就可确定系统的行为。单输入-单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式13若给出(t=0)时的初值、1414或写成15或写成15系统结构图如图所示16系统结构图如图所示16例输入为u，输出为y。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统取状态变量状态方程为解：17例输入为u，输出为y。试求系统的状态方程和输出方程。考线性定常系统状态方程的解式中均为列向量。齐次向量微分方程方程的解为1、齐次状态方程的解18线性定常系统状态方程的解式中均可得代入方程将方程两边系数必相等,即19可得代入方程将方程两边系数必相等,定义因此，齐次状态方程的解为将t=0代入解中得为n×n矩阵，称矩阵指数。20定义因此，齐次状态方程的解为将t=0代入解中得为n×n矩于是齐次状态方程的解为2、用拉氏变换法求解0)(xetxAt=21于是齐次状态方程的解为2、用拉氏变换法求解0)(xetxAt拉氏反变换后得到22拉氏反变换后得到22最终得到与前一种解法所得结果一致。式中23最终得到与前一种解法所得结果一致。式中23状态转移矩阵具有以下性质：24状态转移矩阵具有以下性质：24例设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。解：求状态转移矩阵为其中25例设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。解：求状态转移矩阵为其可以写出方程解为设系统状态方程为试求状态方程的解。解例26可以写出方程解为设系统状态方程为试求状态方程的解。解例26状态方程之解为27状态方程之解为27改写为用左乘等式两边2非齐次状态方程的解非齐次方程积分上式得用乘上式两边28改写为用左乘等式两边2非齐讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法则式可以写成拉氏反变换得由于由卷积定理有29讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法则式可以写成拉氏反变换得由于因此由于最后得到30因此由于最后得到30例求下述系统状态的时间响应控制量u为单位阶跃函数。解：由状态转移矩阵31例求下述系统状态的时间响应控制量u为单位阶跃函数。解：由状态若初始状态为零状态，则32若初始状态为零状态，则32四、传递函数矩阵系统状态方程输出方程拉氏变换为解出定义传递函数矩阵为33四、传递函数矩阵系统状态方程输出方程拉氏变换为所以特征方程为设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。例34所以特征方程为设系统的动态方程为例34解：已知35解：已知35例设系统的状态方程为解：系统的特征方程为特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。试求系统的特征方程和特征值。36例设系统的状态方程为解：系统的特征方程为特征方程的根五、动态方程的线性变换其中P是n×n矩阵37五、动态方程的线性变换其中P是n×n矩阵37特征多项式特征多项式没有改变。38特征多项式特征多项式没有改变。38传递函数阵传递函数阵没有改变39传递函数阵传递函数阵没有改变39例系统进行坐标变换，其变换关系为试求变换后系统的特征方程和特征值。40例系统进行坐标变换，其变换关系为40解：根据题意求变换矩阵代入41解：根据题意求变换矩阵代入41特征方程为特征值为-1，-2，-3，与上例结果相同。可得42特征方程为特征值为-1，-2，-3，与上例结果相同。可得42

线性系统的可控性和可观测性在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是否能控制状态的变化’’和“状态的变化能否由输出反映出来’’这样两个问题。43线性系统的可控性和可观测性在状态空间法中，对系统的描述一、准备知识设A是n×n矩阵,x是n×1向量,齐次方程组若|A|=0,上式存在非零解；若|A|≠0,上式只有零解。Ax=01、齐次方程组的非零解44一、准备知识设A是n×n矩阵,x是n×1向量2、Cayley-Hamilton定理Cayley-Hamilton定理指出，矩阵A满足自己的特征多项式。则A满足A的特征多项式452、Cayley-Hamilton定理Cayley-Ha应用Cayley-Hamilton定理46应用Cayley-Hamilton定理463引理的充分必要条件是：存在使非奇异。这里A:n×n,b:n×1.473引理的充分必要条件是：存在使非奇异。这里A若对任意状态，存在一个有限时刻和控制量，能在时刻将状态转移到0，则称此系统的状态完全可控。二、线性系统的可控性1定义对于任意时刻和，若存在控制向量，能将的每个初始状态转移到时刻的另一任意状态,则称此系统的状态完全可控。等价的定义48若对任意状态，存在一个有限时刻和控制量2可控性判据其中A(n×n),b(n×1),c(1×n),d(1×1)系统可控的充分必要条件是单变量线性定常系统492可控性判据其中A(n×n),b(n×1),c3约当型方程的可控性判据约当块的一般形式为由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。503约当型方程的可控性判据约当块的一般形式为由前面讨论可控的充分必要条件为①同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。②每一约当块最后一行，所对应的b中的元素不为零。这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。51可控的充分必要条件为①同一特征值对应的约当块只有一块，即各约例系统状态方程为试确定系统可控时，应满足的条件。52例系统状态方程为试确定系统可控时，解：因为A阵有两个若当块，根据判据的(1)应有，由判据的(2)，A的第二行所对应的b中的元素b2,b4均不为零，因此系统可控的充要条件为53解：因为A阵有两个若当块，根据判据的(1)应有4、可控标准形则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形式544、可控标准形则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形上式的形式被称为单输入系统的可控标准形。对于一般的单输入n维动态方程

其中A，b分别为n×n,n×1的矩阵。成立以下定理：若n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。55上式的形式被称为单输入系统的可控标准形。对于一般的单输入n下面给出变换矩阵P的构成方法

计算可控性矩阵S；计算，并记的最后一行为h。构造矩阵P令

即可求出变换后的系统状态方程。56下面给出变换矩阵P的构成方法即可求出变换后的系统状态方程。例设系统状态方程为

试将系统状态方程化为可控标准形。解：先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。故系统可控。一定可将它化为可控标准形。

57例设系统状态方程为解：先判断可控性，再计算变换矩阵，将此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征式的系数，但符号相反。则变换矩阵为58此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征式的系数，但可求出59可求出59系统按可控性进行分解

系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，现在研究不可控的情况，这时应有下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理

60系统按可控性进行分解系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可不可控系统经过线性变换

式中是n1维向量,是n2维向量，并且61不可控系统经过线性变换式中是n1维向量,是系统按可控性分解62系统按可控性分解62从上图可见，控制输入不能直接改变也不能通过影响间接改变，故这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。63从上图可见，控制输入不能直接改变也不能通过影响间接改例设有系统方程如下

其传递函数为

试进行可控性分解。64例设有系统方程如下64解：系统的可控性矩阵由于S的第3列是第1列与第2列的线性组合，系统不可控。选取65解：系统的可控性矩阵由于S的第3列是第1列与第2列的线性组合计算出

构成66计算出构成66故有因而得67故有因而得67线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为如果在有限时间间隔[0,t1]内，根据输出值y(t)和输入值u(t)，能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每一个分量，则称此系统是完全可观测的，简称可观的。式中A,b,c分别为矩阵。1、可观测性的定义68线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为2可观测性判据

可观测的充分必要条件是上式中的矩阵称为可观性矩阵。并记为V。692可观测性判据可观测的充分必要条件是上式中的矩阵称为可试判断系统的可观测性。设系统动态方程为例解：系统的可观性矩阵是奇异的，故系统不可观测。系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。

70试判断系统的可观测性。设系统动态方程为例解：系统的可观性矩阵3对偶原理上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称系统Ⅰ、Ⅱ是互为对偶

的系统。

系统Ⅰ系统Ⅱ713对偶原理上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间对偶原理

系统Ⅰ的可控性(可观性)等价于系统Ⅱ的可观性(可控性)。只要写出系统Ⅰ的可控性矩阵(可观性矩阵)和系统Ⅱ的可观性矩阵(可控性矩阵)即可证明以上结论。利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。72对偶原理系统Ⅰ的可控性(可观性)等价于系统Ⅱ的可观性(可控4可观测标准形

一个单输出系统如果其A,c阵有如下的标准形式，它一定是可观测的。上式称为单输出系统的可观测标准形。

734可观测标准形上式称为单输出系统的可观测标准形。73通过对偶原理证明：给定系统方程如下若有等价变换将其化为可观测标准形74通过对偶原理证明：给定系统方程如下若有等价变换74构造原系统的对偶系统根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系统一定可控。化为下列的可控标准形，其变换矩阵为P.75构造原系统的对偶系统根据对偶原理，因原系统为可观测，所因此有比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。76因此有比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程例系统动态方程为将系统动态方程化为可观标准形，并求出变换矩阵。77例77解：显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的A,b阵，分别为根据A,b阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出P阵：78解：显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的计算可控性矩阵S由(9-128)式求出P阵由(1-60)式求出M阵79计算可控性矩阵S由(9-128)式求出P阵由(1-60)式求80805系统按可观性进行分解

系统可观测，则通过等价变换可以化为可观测标准形。现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。若系统不可观测，且815系统按可观性进行分解系统可观测，则通过等价变换可以则存在可逆矩阵P，将动态方程化为式中是n2维向量,是n-n2维向量，并且82则存在可逆矩阵P，将动态方程化为式中是n2维向量,表明n2维的子系统(A1b1c1)是可观的；这部分状态变量是不可观的；(9-138)式表明传递函数未能反映系统的不可观部分。系统按可观性分解的结果这可以用前面证明可观标准形的方法论证。83表明n2维的子系统(A1b1c1)是可观的；系统按可观测性分解由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。84系统按可观测性分解由图上可以看出传递函数完全由图中虚线状态反馈与状态观测器本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方程如下令一、状态反馈和极点配置问题式中的v是参考输入，k称为状态反馈增益矩阵，这里它是1×n的向量。85状态反馈与状态观测器本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。上图所示的闭环系统的状态空间表达式为式中A-bk为闭环系统的系统矩阵。86上图所示的闭环系统的状态空间表达式为式中A-bk为闭环系统的计算闭环系统的可控性矩阵，因为1状态反馈不影响可控性87计算闭环系统的可控性矩阵，因为1状态反馈不影响可控性87上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有因此有88上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有因此有88

状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析。前式表明，若原来系统可控，加上任意的状态反馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控，不论用什么k阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍然不可控。这一性质称为状态反馈不改变系统的可控性。89状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观的2状态反馈对闭环特征值的影响闭环方程的系统矩阵A-bk的特征值，一般称为闭环的极点。闭环系统的品质主要由闭环的极点所决定，而稳定性则完全由闭环极点所决定。通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值在复平面上的位置，称为状态反馈进行极点配置问题。902状态反馈对闭环特征值的影响闭环方程的系统矩阵A式中现引入证明：定理：系统矩阵A-bk的特征值可以由状态反馈增益阵k配置到复平面的任意位置，其充分必要条件是系统可控。91式中现引入证明：定理：系统矩阵A-bk的特征值可以由状态反状态反馈式可写为：考虑矩阵92状态反馈式可写为：考虑矩阵92它的特征式为由于故的特征式即是的特征式，所以和有相同的特征值。93它的特征式为由于故的特征式即是设任意给定的闭环极点为,且94设任意给定的闭环极点为以上定理的充分性证明中，已给出通过可控标准形来选择k阵，使闭环具有任意要求的特征值的计算步骤，现归纳如下计算A的特征式由所给的n个期望特征值，计算期望的多项式95以上定理的充分性证明中，已给出通过可控标准形来选根据(9-94)式，计算化可控标准形的坐标变换阵P求出反馈增益阵上述步骤中有化可控标准形这一步。如果不经过这步，也可直接求k。求96根据(9-94)式，计算化可控标准形的坐标变换阵P求出反馈系统状态方程为若加状态反馈使闭环特征值分布为{-1,-2,-1+j,-1-j}，试求状态反馈增益阵k。例97系统状态方程为若加状态反馈使闭环特征值分布为例97计算A的特征式由所给的4个期望特征值，计算期望的多项式解：方法一、通过化可控标准形求解98计算A的特征式由所给的4个期望特征值，计算期望的多项式解：求出反馈增益阵=[-0.4-1-21.4-6]根据(9-94)式，计算化可控标准形的坐标变换阵P求99求出反馈增益阵=[-0.4-1-21.4方法二：令，计算A-bk的特征式比较两个特征式的系数可得所以可得k=[-0.4-1-21.4-6]100方法二：令二、状态观测器为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。因此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型来对状态变量进行估计。状态观测器又称状态渐近估计器。101二、状态观测器为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，见图。102一个明显的方法是利用计算机构成一个与实际系统具有同样一般系统的输入量u和输出量y均为已知，因此希望利用y=cx与的偏差信号来修正的值，这样就形成了后图的闭环估计方案。

由于前图中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以用图9-17得到的估计值是一个开环估值。103一般系统的输入量u和输出量y均为已知，因此希望利用y状态的闭环估计方案104状态的闭环估计方案104根据前图可写出观测器部分的状态方程由上式和系统方程式可求出观测误差应满足的方程式105根据前图可写出观测器部分的状态方程由上式和系统方程式可求出定理：若系统(Abc)可观测,则(9-169)式给出了系统的一个n维状态观测器，并且观测器的极点可以任意配置。只要A-Hc的特征值均在复平面的左半部，随着t的增长而趋向于零，而且趋于零的速度由A-Hc的特征值所决定。于是有下面极点可任意设置的状态观测器定理106定理：若系统(Abc)可观测,则(9-169)式例系统的动态方程为

试设计一个状态观测器，观测器的特征值要求设置在{-10,-10}。107例系统的动态方程为107解：观测器的特征方程为将观测器增益矩阵H写成108解：观测器的特征方程为将观测器增益矩阵H写成108根据给定的特征值，可求出期望的多项式为比较上述两多项式中s的同次项系数得因此观测器的方程为109根据给定的特征值，可求出期望的多项式为比较上述两多项式中s的三、由被控对象、观测器和状态反馈构成的闭环系统若原系统(对象)方程为现以状态观测器所得到的状态估计值代替原系统的状态变量x形成状态反馈，即而观测器的方程为110三、由被控对象、观测器和状态反馈构成的闭环系统若原系统(对象带观测器的状态反馈系统由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方框图如下图示。111带观测器的状态反馈系统由对象、观测器和状态反馈组合而取状态变量为112取状态变量为112所得到的动态方程为：113所得到的动态方程为：113由式可知，这时闭环系